徐斌
【摘 要】《信號與系統》中的系統時域分析時,系統響應在0時刻具有不連續性的特點。沖激函數匹配法是0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的有效方法之一。針對目前教材和教學參考書中關于沖激函數匹配法的介紹不系統,學生對該法的學習感到困難的問題。本文對沖激函數匹配法在求解系統響應時的應用進行系統研究。
【關鍵詞】沖擊函數;教學;信號與系統
1.引言
《信號與系統》課程中,時域經典方法求解線性時不變系統響應比較繁瑣,很多教材淡化了該部分內容。如果不將時域求解系統響應上升到物理層面,對后面三大變換的學習和理解有困難。系統響應求解離不開系統初始狀態(0-狀態)到初始條件(0+狀態)的跳變這一問題,而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數匹配法。該方法是一種數學的通用解法,具有廣泛應用價值。但筆者在多年教學中發現,關于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣,邏輯分析不嚴謹,導致教師對該法的教和學生的學均感到困難。一些教材為了繞過這一教學障礙,淡化甚至回避這一內容,因此如何讓沖激函數匹配法的教學淺顯易懂在《信號與系統》課程教學中具有重要意義。
2.系統響應的劃分和初始條件的跳變情況
2.1零輸入響應
零輸入響應是激勵為零,起始狀態單獨作用時引起的響應分量。既然輸入為零,那么,系統就沒有沖激或者階躍信號作用。因此,系統零輸入響應rzi(t)及其各階導數項在零時刻都不會跳變,rzi(0+)=rzi(0-)。
2.2零狀態響應
零狀態響應是初始狀態為零,單獨由激勵源作用時引起的。既然起始狀態為零,那么rzs(0-)=rzs′(0-)=…=rzs(n)(0-)=0。此時,系統響應及其各階導數在零時刻可能會發生跳變。
2.3全響應
求全響應時,系統初始狀態不為零,激勵源也不為零,因此系統響應在0時刻可能有跳變,但該跳變與求零狀態響應時的跳變不一樣,是在初始狀態(不為零)的基礎上跳變。
3.沖擊函數配備法的數學描述
如果系統的數學模型抽象為
r′(t)+2r(t)=δ(t) (1)
由方程可知,右端δ(t)不是屬于r′(t)就是屬于2r(t)。由于討論的是系統響應從0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的跳變,因此將討論區間定義在鄰域[0-,0+]上。不妨假設右端δ(t)屬于2r(t)。既然r(t)含有δ(t),那么r′(t)就含有δ′(t);但是方程右端又沒有δ′(t),為了平衡r′(t)中的δ′(t),r(t)中應該含有負的δ′(t),這樣r′(t)中就必須含有δ″(t)。同樣的道理,方程右端又沒有δ″(t),為了平衡r′(t)中的δ″(t),r(t)中應該含有負的δ″(t),這樣r′(t)中就必須含有δ?蓯(t)。這樣循環下去,就成了一個死循環。
顯然上述假設是不成立的,即右端自由項δ(t)應該屬于r′(t)。定義函數△u(t)為函數u(t)上截取區間[0-,0+]這一部分。既然r′(t)中含有δ(t),那么r(t)就應該含有△u(t),方程右端又沒有△u(t),所以r′(t)中必有與之相消的負△u(t);這樣的話,r(t)中應該還有△u(t)的積分項△tu(t);二方程右端又沒有△tu(t),所以也應該r′(t)中必定有與之相消的負△tu(t);按這樣分析下去的話,好像也陷入了死循環。但是我們是在區間[0-,0+]上討論系統響應r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況,而函數t及其各次冪函數在該區間上連續,且恒等于零。因此△tu(t)及其后面的各項不會影響r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況。因此,只需要討論到△u(t)這一項即可,函數在零時刻有沒有跳變取決于其表達式是否存在△u(t),跳變的大小等于△u(t)的系數。
針對上述方程,不妨設
r′(t)=aδ(t)+b△u(t) (2)
對上式積分得
r′(t)=a△u(t) (3)
由于跳變量取決于△u(t)的系數,因此系統響應r(t)就有a個單位的跳變,r′(t)有b個單位的跳變。將(2)和(3)式代入(1)式比較系數得a=1,b=-2,那么r(0+)=r(0-)+1;r′(0+)=r′(0-)-1。
4.實例分析
假設某一系統初始狀態r(0-)=1;r′(0-)=0其微分方程表示如下:
r″(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e′(t) (4)
求激勵e(t)=u(t),時系統全響應及零輸入響應和零狀態響應分量。
先求零輸入響應。激勵e(t)=0,則:
rzi″(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0 (5)
其解為rzi(t)=[Ae-t+Be-2t]u(t),因為沒有激勵作用,其響應及其導數項在零時刻不會跳變。則有rzi(0+)=rzi(0-)=1;rzi′(0+)=rzi′(0-)=0。將該初始條件代入(5)式可求得
rzi(t)=[2e-t-e-2t]u(t) (6)
再求零狀態響應。此時系統狀態r(0-)=r′(0-)=0將激勵e(t)=u(t)代入(4)式得
rzs″(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2δ(t) (7)
t>0時,上述方程的通解為:
rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u(t) (8)
設
rzs″(t)=aδ(t)+b△u(t) rzs′(t)=a△u(t) rzs(t)在零時刻連續 (9)
將(9)式代入(7)式比較系數得a=1,因此r′zs(0+)=rzs′(0-)+a=1。rzs(0+)=rzs(0-)+0=0將此條件代入(8)式得,其零狀態響應:
rzs(t)=0.5e-2tu(t) (10)
求全響應時。微分方程的形式(8)式完全相同,因此其通解的形式如(8)式相同,全響應初始條件是在r(0-)=1;r′(0-)=0的基礎上跳變,因此,r(0+)=r(0-)+0=1;r′(0+)=r′(0-)+a=1將該條件代入(8)式得
r(t)=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut(t) (11)
5.總結
經典法是分析系統響應的基本方法,也是學習其他方法的基礎。本文運用沖擊函數匹配法的原理介紹和數學分析,解釋了系統響應在0時刻發生跳變的本質和跳變的基礎,解決了求不同響應所代初始條件不同的問題。該研究對于深入認識系統響應的起因及其分類具有重要的意義。
【參考文獻】
[1]鄭君里,應啟珩,楊為理.信號與系統.北京:高等教育出版社,第2版
(作者單位:湖北工業大學)
【摘 要】《信號與系統》中的系統時域分析時,系統響應在0時刻具有不連續性的特點。沖激函數匹配法是0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的有效方法之一。針對目前教材和教學參考書中關于沖激函數匹配法的介紹不系統,學生對該法的學習感到困難的問題。本文對沖激函數匹配法在求解系統響應時的應用進行系統研究。
【關鍵詞】沖擊函數;教學;信號與系統
1.引言
《信號與系統》課程中,時域經典方法求解線性時不變系統響應比較繁瑣,很多教材淡化了該部分內容。如果不將時域求解系統響應上升到物理層面,對后面三大變換的學習和理解有困難。系統響應求解離不開系統初始狀態(0-狀態)到初始條件(0+狀態)的跳變這一問題,而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數匹配法。該方法是一種數學的通用解法,具有廣泛應用價值。但筆者在多年教學中發現,關于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣,邏輯分析不嚴謹,導致教師對該法的教和學生的學均感到困難。一些教材為了繞過這一教學障礙,淡化甚至回避這一內容,因此如何讓沖激函數匹配法的教學淺顯易懂在《信號與系統》課程教學中具有重要意義。
2.系統響應的劃分和初始條件的跳變情況
2.1零輸入響應
零輸入響應是激勵為零,起始狀態單獨作用時引起的響應分量。既然輸入為零,那么,系統就沒有沖激或者階躍信號作用。因此,系統零輸入響應rzi(t)及其各階導數項在零時刻都不會跳變,rzi(0+)=rzi(0-)。
2.2零狀態響應
零狀態響應是初始狀態為零,單獨由激勵源作用時引起的。既然起始狀態為零,那么rzs(0-)=rzs′(0-)=…=rzs(n)(0-)=0。此時,系統響應及其各階導數在零時刻可能會發生跳變。
2.3全響應
求全響應時,系統初始狀態不為零,激勵源也不為零,因此系統響應在0時刻可能有跳變,但該跳變與求零狀態響應時的跳變不一樣,是在初始狀態(不為零)的基礎上跳變。
3.沖擊函數配備法的數學描述
如果系統的數學模型抽象為
r′(t)+2r(t)=δ(t) (1)
由方程可知,右端δ(t)不是屬于r′(t)就是屬于2r(t)。由于討論的是系統響應從0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的跳變,因此將討論區間定義在鄰域[0-,0+]上。不妨假設右端δ(t)屬于2r(t)。既然r(t)含有δ(t),那么r′(t)就含有δ′(t);但是方程右端又沒有δ′(t),為了平衡r′(t)中的δ′(t),r(t)中應該含有負的δ′(t),這樣r′(t)中就必須含有δ″(t)。同樣的道理,方程右端又沒有δ″(t),為了平衡r′(t)中的δ″(t),r(t)中應該含有負的δ″(t),這樣r′(t)中就必須含有δ?蓯(t)。這樣循環下去,就成了一個死循環。
顯然上述假設是不成立的,即右端自由項δ(t)應該屬于r′(t)。定義函數△u(t)為函數u(t)上截取區間[0-,0+]這一部分。既然r′(t)中含有δ(t),那么r(t)就應該含有△u(t),方程右端又沒有△u(t),所以r′(t)中必有與之相消的負△u(t);這樣的話,r(t)中應該還有△u(t)的積分項△tu(t);二方程右端又沒有△tu(t),所以也應該r′(t)中必定有與之相消的負△tu(t);按這樣分析下去的話,好像也陷入了死循環。但是我們是在區間[0-,0+]上討論系統響應r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況,而函數t及其各次冪函數在該區間上連續,且恒等于零。因此△tu(t)及其后面的各項不會影響r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況。因此,只需要討論到△u(t)這一項即可,函數在零時刻有沒有跳變取決于其表達式是否存在△u(t),跳變的大小等于△u(t)的系數。
針對上述方程,不妨設
r′(t)=aδ(t)+b△u(t) (2)
對上式積分得
r′(t)=a△u(t) (3)
由于跳變量取決于△u(t)的系數,因此系統響應r(t)就有a個單位的跳變,r′(t)有b個單位的跳變。將(2)和(3)式代入(1)式比較系數得a=1,b=-2,那么r(0+)=r(0-)+1;r′(0+)=r′(0-)-1。
4.實例分析
假設某一系統初始狀態r(0-)=1;r′(0-)=0其微分方程表示如下:
r″(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e′(t) (4)
求激勵e(t)=u(t),時系統全響應及零輸入響應和零狀態響應分量。
先求零輸入響應。激勵e(t)=0,則:
rzi″(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0 (5)
其解為rzi(t)=[Ae-t+Be-2t]u(t),因為沒有激勵作用,其響應及其導數項在零時刻不會跳變。則有rzi(0+)=rzi(0-)=1;rzi′(0+)=rzi′(0-)=0。將該初始條件代入(5)式可求得
rzi(t)=[2e-t-e-2t]u(t) (6)
再求零狀態響應。此時系統狀態r(0-)=r′(0-)=0將激勵e(t)=u(t)代入(4)式得
rzs″(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2δ(t) (7)
t>0時,上述方程的通解為:
rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u(t) (8)
設
rzs″(t)=aδ(t)+b△u(t) rzs′(t)=a△u(t) rzs(t)在零時刻連續 (9)
將(9)式代入(7)式比較系數得a=1,因此r′zs(0+)=rzs′(0-)+a=1。rzs(0+)=rzs(0-)+0=0將此條件代入(8)式得,其零狀態響應:
rzs(t)=0.5e-2tu(t) (10)
求全響應時。微分方程的形式(8)式完全相同,因此其通解的形式如(8)式相同,全響應初始條件是在r(0-)=1;r′(0-)=0的基礎上跳變,因此,r(0+)=r(0-)+0=1;r′(0+)=r′(0-)+a=1將該條件代入(8)式得
r(t)=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut(t) (11)
5.總結
經典法是分析系統響應的基本方法,也是學習其他方法的基礎。本文運用沖擊函數匹配法的原理介紹和數學分析,解釋了系統響應在0時刻發生跳變的本質和跳變的基礎,解決了求不同響應所代初始條件不同的問題。該研究對于深入認識系統響應的起因及其分類具有重要的意義。
【參考文獻】
[1]鄭君里,應啟珩,楊為理.信號與系統.北京:高等教育出版社,第2版
(作者單位:湖北工業大學)
【摘 要】《信號與系統》中的系統時域分析時,系統響應在0時刻具有不連續性的特點。沖激函數匹配法是0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的有效方法之一。針對目前教材和教學參考書中關于沖激函數匹配法的介紹不系統,學生對該法的學習感到困難的問題。本文對沖激函數匹配法在求解系統響應時的應用進行系統研究。
【關鍵詞】沖擊函數;教學;信號與系統
1.引言
《信號與系統》課程中,時域經典方法求解線性時不變系統響應比較繁瑣,很多教材淡化了該部分內容。如果不將時域求解系統響應上升到物理層面,對后面三大變換的學習和理解有困難。系統響應求解離不開系統初始狀態(0-狀態)到初始條件(0+狀態)的跳變這一問題,而解決這一問題的最有效方法即為沖激函數匹配法。該方法是一種數學的通用解法,具有廣泛應用價值。但筆者在多年教學中發現,關于沖激函匹配法的介紹都比較繁瑣,邏輯分析不嚴謹,導致教師對該法的教和學生的學均感到困難。一些教材為了繞過這一教學障礙,淡化甚至回避這一內容,因此如何讓沖激函數匹配法的教學淺顯易懂在《信號與系統》課程教學中具有重要意義。
2.系統響應的劃分和初始條件的跳變情況
2.1零輸入響應
零輸入響應是激勵為零,起始狀態單獨作用時引起的響應分量。既然輸入為零,那么,系統就沒有沖激或者階躍信號作用。因此,系統零輸入響應rzi(t)及其各階導數項在零時刻都不會跳變,rzi(0+)=rzi(0-)。
2.2零狀態響應
零狀態響應是初始狀態為零,單獨由激勵源作用時引起的。既然起始狀態為零,那么rzs(0-)=rzs′(0-)=…=rzs(n)(0-)=0。此時,系統響應及其各階導數在零時刻可能會發生跳變。
2.3全響應
求全響應時,系統初始狀態不為零,激勵源也不為零,因此系統響應在0時刻可能有跳變,但該跳變與求零狀態響應時的跳變不一樣,是在初始狀態(不為零)的基礎上跳變。
3.沖擊函數配備法的數學描述
如果系統的數學模型抽象為
r′(t)+2r(t)=δ(t) (1)
由方程可知,右端δ(t)不是屬于r′(t)就是屬于2r(t)。由于討論的是系統響應從0-狀態(起始狀態)求0+狀態(初始條件)的跳變,因此將討論區間定義在鄰域[0-,0+]上。不妨假設右端δ(t)屬于2r(t)。既然r(t)含有δ(t),那么r′(t)就含有δ′(t);但是方程右端又沒有δ′(t),為了平衡r′(t)中的δ′(t),r(t)中應該含有負的δ′(t),這樣r′(t)中就必須含有δ″(t)。同樣的道理,方程右端又沒有δ″(t),為了平衡r′(t)中的δ″(t),r(t)中應該含有負的δ″(t),這樣r′(t)中就必須含有δ?蓯(t)。這樣循環下去,就成了一個死循環。
顯然上述假設是不成立的,即右端自由項δ(t)應該屬于r′(t)。定義函數△u(t)為函數u(t)上截取區間[0-,0+]這一部分。既然r′(t)中含有δ(t),那么r(t)就應該含有△u(t),方程右端又沒有△u(t),所以r′(t)中必有與之相消的負△u(t);這樣的話,r(t)中應該還有△u(t)的積分項△tu(t);二方程右端又沒有△tu(t),所以也應該r′(t)中必定有與之相消的負△tu(t);按這樣分析下去的話,好像也陷入了死循環。但是我們是在區間[0-,0+]上討論系統響應r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況,而函數t及其各次冪函數在該區間上連續,且恒等于零。因此△tu(t)及其后面的各項不會影響r(t)及其導數項在零時刻的跳變情況。因此,只需要討論到△u(t)這一項即可,函數在零時刻有沒有跳變取決于其表達式是否存在△u(t),跳變的大小等于△u(t)的系數。
針對上述方程,不妨設
r′(t)=aδ(t)+b△u(t) (2)
對上式積分得
r′(t)=a△u(t) (3)
由于跳變量取決于△u(t)的系數,因此系統響應r(t)就有a個單位的跳變,r′(t)有b個單位的跳變。將(2)和(3)式代入(1)式比較系數得a=1,b=-2,那么r(0+)=r(0-)+1;r′(0+)=r′(0-)-1。
4.實例分析
假設某一系統初始狀態r(0-)=1;r′(0-)=0其微分方程表示如下:
r″(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+2e′(t) (4)
求激勵e(t)=u(t),時系統全響應及零輸入響應和零狀態響應分量。
先求零輸入響應。激勵e(t)=0,則:
rzi″(t)+3rzi(t)+2rzi(t)=0 (5)
其解為rzi(t)=[Ae-t+Be-2t]u(t),因為沒有激勵作用,其響應及其導數項在零時刻不會跳變。則有rzi(0+)=rzi(0-)=1;rzi′(0+)=rzi′(0-)=0。將該初始條件代入(5)式可求得
rzi(t)=[2e-t-e-2t]u(t) (6)
再求零狀態響應。此時系統狀態r(0-)=r′(0-)=0將激勵e(t)=u(t)代入(4)式得
rzs″(t)+3rzs(t)+2rzs(t)=u(t)+2δ(t) (7)
t>0時,上述方程的通解為:
rzs=[Ce-t+De-2t+0.5]u(t) (8)
設
rzs″(t)=aδ(t)+b△u(t) rzs′(t)=a△u(t) rzs(t)在零時刻連續 (9)
將(9)式代入(7)式比較系數得a=1,因此r′zs(0+)=rzs′(0-)+a=1。rzs(0+)=rzs(0-)+0=0將此條件代入(8)式得,其零狀態響應:
rzs(t)=0.5e-2tu(t) (10)
求全響應時。微分方程的形式(8)式完全相同,因此其通解的形式如(8)式相同,全響應初始條件是在r(0-)=1;r′(0-)=0的基礎上跳變,因此,r(0+)=r(0-)+0=1;r′(0+)=r′(0-)+a=1將該條件代入(8)式得
r(t)=[2e-t-1.5e-2t+0.5]ut(t) (11)
5.總結
經典法是分析系統響應的基本方法,也是學習其他方法的基礎。本文運用沖擊函數匹配法的原理介紹和數學分析,解釋了系統響應在0時刻發生跳變的本質和跳變的基礎,解決了求不同響應所代初始條件不同的問題。該研究對于深入認識系統響應的起因及其分類具有重要的意義。
【參考文獻】
[1]鄭君里,應啟珩,楊為理.信號與系統.北京:高等教育出版社,第2版
(作者單位:湖北工業大學)