一個帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程

溫丹華， 趙曉焱

(1.鄭州師范學院 河南鄭州450044;2.河南師范大學計算機與信息工程學院 河南新鄉453007)

0 引言

有效求出孤立子方程的精確解并研究其解的性質一直是非常重要而又基本的課題.隨著孤立子理論的不斷發展，如何構造帶自相容源的孤立子方程并對其求解變得非常重要，由胡星標和王紅艷提出的源生成法［1-3］是解決此類問題的有效方法.

本文用源生成法來構造和求解帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程，并給出其一組貝殼隆變換［4］，考慮變系數(3+1)維 KP方程［5］?通過對數變換，方程(1)可以化為雙線性形式，

其中D是Hirota雙線性算子，并且方程(2)有Gramm型行列式解［5－6］，

其中函數φi，ψi滿足微分方程:

1 帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程

根據源生成法的步驟，首先對(3)式的函數f作改變，

其中pfaff式的元素定義為:

此時，還需要引進一些新的函數Gj(t)和Hj(t)，其定義為:

定理1 式(6)～(8)所定義的函數f，Gj，Hj滿足雙線性方程:

證明 利用pfaff式技巧和式(4)、(5)，通過計算得f的微分公式:

把以上微分公式代入雙線性方程(9)中，得到K+1個pfaff恒等式，

由此說明函數 f，Gj，Hj滿足雙線性方程(9)．

類似地，可以證明函數f，Gj，Hj滿足雙線性方程(10)～(13)．

方程(9)～(13)就構成了雙線性的帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程，而式(6)～(8)中的函數f，Gj，Hj就是方程(9)～ (13)的行列式解．

則式(9)～(13)就轉化為非線性發展方程:此方程即是帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程．

2 帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程的雙線性B¨acklund變換

定理2 雙線性帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程(9)～(13)有雙線性形式的acklund變換，

證明 為證明該定理，只需證明當函數f，Gj，Hj滿足方程(9)～(13)時，滿足方程(14)的函數f'，G'j，H'j也滿足方程(9)～(13)，事實上:

因此，證明了函數f'，G'j，H'j滿足雙線性方程(9)～(13)，故式(14)是帶自相容源的變系數(3+1)維KP方程的雙線性B¨acklund變換．

［1］ Hu Xingbiao，Wang Hongyan.New type of KP equation with self-consistent sources and its bilinear B?cklund transformation［J］.Inverse Problems，2007，23(4):1433-1444.

［2］ Wang Hongyan，Hu Xingbiao，Tam H W.A(2+1)-dimensional Sasa-Satsuma equation with self-consistent source［J］.J Phys Soc Jpn，2007，76(2):024007.

［3］ 王紅艷，胡星標.帶自相容源的孤立子方程［M］.北京:清華大學出版社，2008:16-21.

［4］ 王鴻業，溫丹華.一個帶自相容源的(3+1)維KP方程［J］.鄭州大學學報:理學版，2012，44(4):6-9.

［5］ 徐娟.變系數維KP方程的Wronskian和Grammian解［J］.溫州大學學報:自然科學版，2013，34(1):13-17.

［6］ 孟祥華.基于符號計算的光纖通信等若干領域中變系數非線性模型的研究［D］.北京:北京郵電大學，2009:124-125.