耗散系統中原子和場的熵交換與糾纏

岳轉林，閆學群

(天津工業大學理學院，天津300387)

1 引 言

量子關聯研究中，發現熵交換可以說明量子系統由純態變為混合態時損失的有效信息. Jaynes-Cummings (J-C)模型是一種描述原子與場相互作用的理想量子動力學模型［1-3］. 因而，該模型中原子與場相關聯的熵演化現象已經成為量子信息學的研究熱點［4-7］. Phoenix 和Knight 研究了純態下原子與場相關聯的熵演化現象，并證明了原子與場兩子系統的約化熵在演化過程中始終相等［8］. 之后，很多科學家對原子與場處于混合態的該現象進行了深入研究. Boukobza 和Tannor 發現了原子與場的初態均處于混合態時，它們的約化熵不一定相等，并在一定條件下發生熵交換，兩者之間出現反相關聯的現象［9］. 此外，糾纏是量子信息處理中不可或缺的物理資源［10-13］. 我們已經知道純態雙子系統的糾纏可以用約化熵度量，Boukoba 等也研究了混合系統中熵交換和糾纏［9］.文獻［14］研究了單模場中，原子與場的熵交換與糾纏在演化過程中呈相反的變化趨勢. 近年來，兩子系統的熵交換與糾纏的關系被廣泛研究［16-17］. 然而這些研究忽略了場腔與外界環境相互作用對兩子系統熵交換和糾纏的影響. 在實際情況中，原子與場相互作用系統的熵交換和糾纏在演化過程中總會受到場的能量損耗的影響. 因此，研究耗散腔中的原子與場的熵交換與糾纏更有實際意義.

本文考慮了場腔耗散的影響，利用解線性微分方程組的方法，對共振情況下的二能級原子和耗散場相互作用體系的劉維方程進行精確求解.計算了原子與場的約化熵和兩子系統間的糾纏度，并利用結果討論了原子與耗散場的熵交換條件，還發現原子與場發生熵交換時，兩者之間的糾纏為零.

2 系統模型與密度矩陣

兩能級原子置于單模場中，在偶極作用和旋波近似下的系統哈密頓量為(這里令? =1)［17］:

這里假設場的初態為單模熱態:

其中Pn= ［mn/ (m + 1)n+1］，這里m 代表腔中的平均光子數.

設原子的初始態為混合態:

其中0 ≤Pe ≤1 ，且Pg = 1 -Pe 是原子混合態的參數，Pe = 0 代表原子處于基態，Pe = 1 代表原子處于激發態.

那么系統的初始態可以定義為:

在我們討論的問題中，考慮下列含有耗散項的演化方程:

其中，γ 是耗散系數. 將方程(1)，(4)代入方程(5)中，可以計算得到系統的密度算符的表達式，(為簡單起見而又不失一般性，令ω - ω0= 0)

這里，

3 原子與場的熵交換與糾纏

量子系統的熵定義為:

其中^ρ 是給定量子系統的密度算符. 這里我們令玻爾茲曼常數為1，密度算符^ρ 可以寫成矩陣形式，容易計算出它的本征譜為{λi}. 因此熵可以寫成:

為了研究原子與場之間的熵關聯，必須計算出原子和場的約化熵. 以下我們標記兩個子系統為a 和f，兩個子系統總的密度算符為^ρ，子系統的密度算符為^ρa和^ρf，子系統的密度算符由下式

給出:

因此兩個子系統的熵分別為:

這里，

其中，

由(13)式得到場與原子的熵:

由(26)，(27)式可得到原子與場的熵的數值結果:

4 數值分析

通過上面的理論計算，我們分析現有模型中原子和場的熵變換的數值結果. 進而證明了在一定條件下，原子與場的熵交換是反相關聯的.

圖1(a)中描述的是當場的初始態是弱激發熱態m = 0.2 ，原子的初始態是混合態Pe = 0.8時，原子與場的熵變化ΔS(t)隨時間γt 的變化趨勢. 其中，實線代表的是場的熵變化，虛線代表的是原子的熵變化. 從圖中我們看到隨時間γt 的增加，原子與場的熵變化趨勢逐漸不同，這與孤立系統中的變化趨勢(原子與場的熵變化是同時上升或者是同時下降)有所不同. 導致這種現象的原因是耗散場要向外界不斷的輻射光子，熵增加的更快一些，致使場的熵增加得快一些. 這與熱力學中的熵增加原理完全相符合. 圖1(b)中Pe= 0.1 ，m = 0.2 ，我們可以清楚的看到原子與場的熵變化呈現相反的變化趨勢，ΔSa+ ΔSf也呈振蕩變化. 當Pe 和m 取合適的值時，ΔSa+ΔSf的圖像是一條光滑的曲線，變化方向與場約化熵的變化方向相同.

圖1 當κ/γ = 20 時部分熵ΔS 隨時間變化趨勢. (a)場的初始態是熱激發場m =0.2 ，原子的初始態是接近于激發態Pe=0.8.(圖中實線代表場的熵變化，虛線代表原子的熵變化). (b)場的初始態是熱激發場m = 0.2 ，原子的初始態是混合態Pe =0.1，(實線代表場的熵變化，虛線代表原子的熵變化，點畫線代表的是場與原子熵變化的和)Fig.1 Plots of the change of partial entropy with time ΔS(t)for=20. (a)The field is initially in a weakly excited thermal field m = 0.2 and the atom in the mixed state Pe = 0.8(field:solid line，atom:dotted line);(b)The field is initially in a weakly excited thermal field m = 0.2 and the atom in the mixed state Pe = 0.1(field:solid line，atom:dotted line，atom plus field:dash-dot line)

圖2 曲線上對應的Pe 和m 的值，是原子與場的熵交換呈現反相關聯的條件. 并且我們發現固定Pe 的值不變，減小m 的值，場的熵是負值，原子的熵是正值，即這些點落到A 區域ΔSf＜0 ，ΔSa＞0 ，增大m 的值，這些點落到B 區域ΔSf＞0 ，ΔSa＜0 . 圖2 中的曲線與無耗散項的曲線上的點都代表原子與場的熵交換時對應的Pe 和m的值，但這些點代表的物理意義有所不同. 無耗散項的曲線上的點表示原子與場熵變化量之和是相等的，即Sa(t)- Sa(0)= -［Sf(t)- Sf(0)］.而本文討論的有耗散項曲線上的點代表的是原子的熵變化量小于場的熵變化量. 因為，本文的量子系統是開放系統，隨著時間t 的變化，腔中有光子向外輻射，場熵的增加要比原子的熵增加快一些，Sa(t)- Sa(0)＜-［Sf(t)- Sf(0)］. 這一點我們在下面將給出證明.

圖2 圖中的實線代表的是場的熵變化量大于原子的熵變化量:Sa(t)- Sa(0)＜-(Sf(t)- Sf(0))，在A 區域，有ΔSf ＜0，ΔSa ＞0 ，在B 區域，有ΔSf ＞0 ，ΔSa＜0Fig.2 The solid line represents the field entropy change being larger than that of atomSa(t)- Sa(0)＜- (Sf(t)- Sf(0)).In region A，ΔSf ＜0 and ΔSa ＞0 ，in region B，ΔSf ＞0 and ΔSa ＜0

為不失一般性，我們選擇一點Pe = 0.23 ，對應圖2 中曲線上的m 值，m 的值是介于0.42 和0.43 之間. 圖3 (a)中當m = 0.42 時，場熵變化是負值(ΔSf＜0 )，原子的熵變化為正值(ΔSa＞0 ). 圖3 (c)中當m = 0.43 時，原子和場的發生了熵交換，場的熵變化是正值(ΔSf＞0 )，原子的熵變化是負值(ΔSa＜0 ). 同時可以發現當場的熵變化是正值時，ΔSa+ΔSf＞0 ，當場的熵變化是負值時，ΔSa+ ΔSf＜0 . 也就是說，當Pe和m 取不同的適當的值時，都會存在場熵變化量的絕對值總是大于原子熵變化量的絕對值. 故而可以證明場熵的增加要比原子的熵增加快一些，即Sa(t)- Sa(0)＜-［Sf(t)- Sf(0)］.

原子與場的熵變化的發生交換時，Pe = 0.23，m = 0.42 或m = 0.43 ，由圖3 (b)和(d)可知，這時它們的糾纏是零.

圖3 (a)和(c)κ/γ = 20 時，原子與場的熵交換. (實線代表場的熵交換，虛線代表原子的熵交換，點畫線代表原子與場的熵變換的和). (b)和(d)是原子與場的糾纏圖. (a)和(b)Pe=0.23，m=0.42;(c)和(d)Pe=0.23，m=0.43Fig.3 (a)and (c)are partial entropy change (field:solid line，atom:dotted line，atom plus field:dash -dot line)for κ/γ = 20 . (b)and (d)are the concurrence between atom and field for κ/γ = 20 .(a)and(b)Pe = 0.23，m = 0.42 ;(c)and (d)Pe =0.23，m = 0.43

圖4 當κ/γ = 20 時，原子與場的熵交換和糾纏度. (a)和(b)Pe = 0.8 ，m = 1.1 ;(c)和(d)Pe = 0.8 ，m= 3.1Fig.4 The atom and field partial entropy changes ΔS(t)and concurrence C against the scales time γt with κ/γ=20.(a)and (b)Pe = 0.8，m = 1.1;(c)and (d)Pe= 0.8，m = 3.1

用我們的理論計算結果作圖時發現，當Pe 的值一定時，改變m 的值，總會出現原子與場熵交換現象，但是當Pe 值大于0.45 時，原子與場熵的圖像相交錯亂. 改變m 值，很難出現原子與場的熵交換的情況. 因此，我們可以得出這樣的一個結論，在耗散腔中，存在原子與場發生熵交換的條件為:0 ＜Pe ＜0.45，0 ＜m ＜5 .

通過對圖4 (a)和圖4 (c)的比較，我們發現場的平均光子數能影響場與原子的的熵變化.圖4 (a)原子的初始態為Pe = 0.8 ，場的初始態為m = 1.1 . 從圖中我們可以看到場和原子的熵的曲線沒有完全分開，因為某些原因，這兩條曲線會在某些時刻處相交. 圖4 (b)與圖4 (a)原子與場的參數完全相同，我們發現在沒有發生完全熵交換的情況下兩子系統的糾纏不為零. 原子的初始態不變，場的初始態由1.1 變為3.1 時，在圖4 (c)中我們看到原子與場的熵變化完全分開，此時它們之間的糾纏為零見圖4 (d)(與原子和場熵交換時的糾纏是一樣的). 這與在孤立系統中隨著平均光子數的增加，原子與場之間的糾纏在減小的結論是相符的.

5 結 論

利用J-C 模型，我們研究了含有耗散項的兩能級原子和單模場的熵變換，發現兩者的熵變化存在正相關聯和反相關聯. 這與無耗散項的兩能級原子和單模場的熵關聯是一致的，只是在含有耗散項模型的演化過程中，原子與場的熵變化的幅度逐漸減小. 當原子與場的熵交換時，無耗散項的原子與場的熵變化的總和是不變的，即Sa(t)+ Sf(t)= Sf(0)- Sa(0)，而在耗散腔的模型中，由于耗散腔不斷向外輻射光子，由熵增加原理可知，場的熵變化要比原子的熵變化快一些，即Sa(t)- Sa(0)＜- (Sf(t)- Sf(0)). 通過數值計算發現原子與場的熵交換的條件為:0 ＜Pe ＜

0.45，0 ＜m ＜5 ，在這個范圍內，只要選擇適當原子初態和場的平均光子數，就可以使得原子的熵和場的熵交換，即兩者呈反相關的關系. 當原子與場的熵發生交換時，它們二者的糾纏為零. 原子與場的熵沒有完全分開時，它們之間的糾纏是不為零的.

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