換一些新思路去理解函數(shù)的奇偶性

丁亮+楊星光

函數(shù)幾乎貫穿整個數(shù)學(xué)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以理解好、掌握好函數(shù)的奇偶性非常重要。經(jīng)過反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，對高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的奇偶性，提出三點全新的理解，并通過具體例子加以說明，旨在拋磚引玉，與同仁切磋探討。

函數(shù)奇偶性全新的理解奇數(shù)偶數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)函數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科中比較難的部分，其邏輯性強，內(nèi)容枯燥，理解難度大，讓很多學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生乏味心理。但是函數(shù)同時也是職業(yè)教育數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)教師必須教好它，學(xué)生必須學(xué)好它。函數(shù)的重要性質(zhì)是把握函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以掌握好函數(shù)的奇偶性尤為重要。為此，筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，獨辟蹊徑，對函數(shù)的奇偶性進行全新的、有趣的三點理解，供同仁參考。

一、從冪指數(shù)是整數(shù)的情形開始思考

二、結(jié)合初中內(nèi)容，再提出一個特別實用的新思路，處理奇、偶函數(shù)混合的情況

作為老師，我們知道：“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。但是，我們怎么樣，讓學(xué)生輕松地記住這些結(jié)果呢？

我們提出一個極其簡單的記憶口訣，即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，來讓學(xué)生聯(lián)系地記住上述結(jié)果。初中學(xué)過“負(fù)×負(fù)得正，負(fù)×正得負(fù)，正×負(fù)得負(fù)，正×正得正，正÷正得正，負(fù)+負(fù)得負(fù)，正+正=正”，這樣，這個內(nèi)容正好依次對應(yīng)符合“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。不但如此，我們還都知道“奇函數(shù)×奇函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)”，這正好也符合“負(fù)×負(fù)×負(fù)得負(fù)”，因為我們把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)來處理奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況。同樣的道理，我們還知道“奇函數(shù)×偶函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)”。其實，這同樣符合初中學(xué)的“負(fù)×正×正得負(fù)”。像這樣的例子太多了，此時，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過把“奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”來判斷奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性、多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性以及多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性特別實用。

雖然對于“奇函數(shù)-奇函數(shù)”即“負(fù)-負(fù)”，我們無法判斷結(jié)果的正負(fù)號，因此無法判斷出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷奇、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性了，但是對于奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況或者多個奇函數(shù)的“+-×÷”的情況或者多個多個偶函數(shù)的“+×÷”的情況，用我們提出的方法，凡是“+×÷”能判斷出結(jié)果是正數(shù)是負(fù)數(shù)的，我們都可以判斷出“這個混合的奇、偶函數(shù)”到底是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，這是一件好事，畢竟用教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷比較復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性比較麻煩。

三、結(jié)合本文第一點和第二點，談冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形

我國著名數(shù)學(xué)家、著名教育家陳省身院士曾指出“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”筆者通過這篇文章對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的奇偶性提出了一些全新的理解方式，并且給出了具體應(yīng)用，旨在與同仁們一起進步。

參考文獻：

[1]劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]胡炯濤，張芃.胡炯濤中學(xué)數(shù)學(xué)教法縱橫談[M].濟南：山東教育出版社，1997，9.

[3]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1989，6.endprint

函數(shù)幾乎貫穿整個數(shù)學(xué)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以理解好、掌握好函數(shù)的奇偶性非常重要。經(jīng)過反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，對高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的奇偶性，提出三點全新的理解，并通過具體例子加以說明，旨在拋磚引玉，與同仁切磋探討。

函數(shù)奇偶性全新的理解奇數(shù)偶數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)函數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科中比較難的部分，其邏輯性強，內(nèi)容枯燥，理解難度大，讓很多學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生乏味心理。但是函數(shù)同時也是職業(yè)教育數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)教師必須教好它，學(xué)生必須學(xué)好它。函數(shù)的重要性質(zhì)是把握函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以掌握好函數(shù)的奇偶性尤為重要。為此，筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，獨辟蹊徑，對函數(shù)的奇偶性進行全新的、有趣的三點理解，供同仁參考。

一、從冪指數(shù)是整數(shù)的情形開始思考

二、結(jié)合初中內(nèi)容，再提出一個特別實用的新思路，處理奇、偶函數(shù)混合的情況

作為老師，我們知道：“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。但是，我們怎么樣，讓學(xué)生輕松地記住這些結(jié)果呢？

我們提出一個極其簡單的記憶口訣，即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，來讓學(xué)生聯(lián)系地記住上述結(jié)果。初中學(xué)過“負(fù)×負(fù)得正，負(fù)×正得負(fù)，正×負(fù)得負(fù)，正×正得正，正÷正得正，負(fù)+負(fù)得負(fù)，正+正=正”，這樣，這個內(nèi)容正好依次對應(yīng)符合“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。不但如此，我們還都知道“奇函數(shù)×奇函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)”，這正好也符合“負(fù)×負(fù)×負(fù)得負(fù)”，因為我們把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)來處理奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況。同樣的道理，我們還知道“奇函數(shù)×偶函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)”。其實，這同樣符合初中學(xué)的“負(fù)×正×正得負(fù)”。像這樣的例子太多了，此時，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過把“奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”來判斷奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性、多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性以及多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性特別實用。

雖然對于“奇函數(shù)-奇函數(shù)”即“負(fù)-負(fù)”，我們無法判斷結(jié)果的正負(fù)號，因此無法判斷出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷奇、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性了，但是對于奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況或者多個奇函數(shù)的“+-×÷”的情況或者多個多個偶函數(shù)的“+×÷”的情況，用我們提出的方法，凡是“+×÷”能判斷出結(jié)果是正數(shù)是負(fù)數(shù)的，我們都可以判斷出“這個混合的奇、偶函數(shù)”到底是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，這是一件好事，畢竟用教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷比較復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性比較麻煩。

三、結(jié)合本文第一點和第二點，談冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形

我國著名數(shù)學(xué)家、著名教育家陳省身院士曾指出“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”筆者通過這篇文章對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的奇偶性提出了一些全新的理解方式，并且給出了具體應(yīng)用，旨在與同仁們一起進步。

參考文獻：

[1]劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]胡炯濤，張芃.胡炯濤中學(xué)數(shù)學(xué)教法縱橫談[M].濟南：山東教育出版社，1997，9.

[3]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1989，6.endprint

函數(shù)幾乎貫穿整個數(shù)學(xué)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以理解好、掌握好函數(shù)的奇偶性非常重要。經(jīng)過反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，對高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的奇偶性，提出三點全新的理解，并通過具體例子加以說明，旨在拋磚引玉，與同仁切磋探討。

函數(shù)奇偶性全新的理解奇數(shù)偶數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)函數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科中比較難的部分，其邏輯性強，內(nèi)容枯燥，理解難度大，讓很多學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生乏味心理。但是函數(shù)同時也是職業(yè)教育數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)教師必須教好它，學(xué)生必須學(xué)好它。函數(shù)的重要性質(zhì)是把握函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以掌握好函數(shù)的奇偶性尤為重要。為此，筆者們反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實踐，獨辟蹊徑，對函數(shù)的奇偶性進行全新的、有趣的三點理解，供同仁參考。

一、從冪指數(shù)是整數(shù)的情形開始思考

二、結(jié)合初中內(nèi)容，再提出一個特別實用的新思路，處理奇、偶函數(shù)混合的情況

作為老師，我們知道：“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。但是，我們怎么樣，讓學(xué)生輕松地記住這些結(jié)果呢？

我們提出一個極其簡單的記憶口訣，即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，來讓學(xué)生聯(lián)系地記住上述結(jié)果。初中學(xué)過“負(fù)×負(fù)得正，負(fù)×正得負(fù)，正×負(fù)得負(fù)，正×正得正，正÷正得正，負(fù)+負(fù)得負(fù)，正+正=正”，這樣，這個內(nèi)容正好依次對應(yīng)符合“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。不但如此，我們還都知道“奇函數(shù)×奇函數(shù) ×奇函數(shù)=奇函數(shù)”，這正好也符合“負(fù)×負(fù)×負(fù)得負(fù)”，因為我們把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)來處理奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況。同樣的道理，我們還知道“奇函數(shù)×偶函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)”。其實，這同樣符合初中學(xué)的“負(fù)×正×正得負(fù)”。像這樣的例子太多了，此時，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過把“奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”來判斷奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性、多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性以及多個奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性特別實用。

雖然對于“奇函數(shù)-奇函數(shù)”即“負(fù)-負(fù)”，我們無法判斷結(jié)果的正負(fù)號，因此無法判斷出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷奇、偶函數(shù)同時存在的函數(shù)的奇偶性了，但是對于奇函數(shù)、偶函數(shù)同時存在的情況或者多個奇函數(shù)的“+-×÷”的情況或者多個多個偶函數(shù)的“+×÷”的情況，用我們提出的方法，凡是“+×÷”能判斷出結(jié)果是正數(shù)是負(fù)數(shù)的，我們都可以判斷出“這個混合的奇、偶函數(shù)”到底是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，這是一件好事，畢竟用教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷比較復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性比較麻煩。

三、結(jié)合本文第一點和第二點，談冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形

我國著名數(shù)學(xué)家、著名教育家陳省身院士曾指出“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會有很好的效果。”筆者通過這篇文章對高中數(shù)學(xué)中函數(shù)的奇偶性提出了一些全新的理解方式，并且給出了具體應(yīng)用，旨在與同仁們一起進步。

參考文獻：

[1]劉紹學(xué).高中數(shù)學(xué)必修1[M].北京：人民教育出版社，2007，1.

[2]胡炯濤，張芃.胡炯濤中學(xué)數(shù)學(xué)教法縱橫談[M].濟南：山東教育出版社，1997，9.

[3]蘇步青.談?wù)勗鯓訉W(xué)好數(shù)學(xué)[M].上海：上海教育出版社，1989，6.endprint