利用可加性求一類(lèi)獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布

王凡彬

（1.內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641100；2.四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川內(nèi)江 641100）

設(shè)X和Y是兩個(gè)獨(dú)立的一維隨機(jī)變量，如何求二者之和Z=X+Y的分布？目前有一些方法，也有較多討論，得到了一些可應(yīng)用的結(jié)果〔1-10〕。在連續(xù)隨機(jī)變量的情形，常用的方法之一是應(yīng)用卷積公式：

或

其中PZ(z),PX(x) ,PY(y)分別是Z, X, Y的密度函數(shù)。

不過(guò)，公式（1）、（2）在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常因?yàn)榉e分的繁難，而導(dǎo)致結(jié)果不易得到，或造成錯(cuò)誤。

但是，我們還可利用某些隨機(jī)變量具有的可加性，即“同一類(lèi)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的分布仍屬于此分布”，來(lái)求得Z=X+Y的分布。像正態(tài)分布，二項(xiàng)分布，泊松分布，Γ分布等，就具有可加性。在一些實(shí)際問(wèn)題中，通過(guò)仔細(xì)觀察，如果發(fā)現(xiàn)其隨機(jī)變量是具有可加性的，就可應(yīng)用可加性來(lái)解決問(wèn)題，常可收到事半功倍的效果。

1 主要結(jié)果

下面我們主要通過(guò)一例來(lái)說(shuō)明上述觀點(diǎn)。

例 某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為

設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求①兩周需求量的密度函數(shù)P2(x)；②三周需求量的密度函數(shù)P3(x)。

該例如果用卷積公式（1）或（2）是可以解決的，但是比較繁難。例如用公式（1），設(shè)Z2為兩周的需求量，X1、X2分別是第一周、第二周的需求量，則Z2=X1+X2，

我們注意到（4）式只需在P1(x-y)P1(y)≠0的區(qū)域積分即可。但要滿足這個(gè)條件，須x-y＞0，且y＞0，從而x＞y＞0，故

即

問(wèn)題①得到解決。

再設(shè)Z3為三周的需求量，X3為第三周的需求量，則Z3=Z2+X3，

與前面類(lèi)似，經(jīng)過(guò)討論，須在x＞y＞0時(shí)，P1(x-y)P2(y)≠0，故

即

至此，問(wèn)題②得到解決。

從上述過(guò)程來(lái)看，雖然解決了兩個(gè)問(wèn)題，但積分的過(guò)程有點(diǎn)繁難；且如果問(wèn)題的周數(shù)換成較大的數(shù)字，如求100周的需求量的密度函數(shù)，或更一般的，求n周的需求量的密度函數(shù)，那用卷積公式（1）或（2）就很困難了，或許只有理論上的意義。

但是，如果利用可加性，本題或相類(lèi)似的一些問(wèn)題可能就變得容易了。考察Γ分布，其密度函數(shù)

仔細(xì)觀察（3）式，發(fā)現(xiàn)實(shí)際一周的需求量X是服從參數(shù)為α=2,λ=1的Γ分布的，即X～Ga(2,1)。而我們知道，Γ分布是滿足可加性的。即設(shè)隨機(jī)變量X1，X2相互獨(dú)立，X1～Ga(α1,λ), X2～Ga(α2,λ)，則

再看本例，設(shè)第i周的需求量為Xi，則Xi～Ga(2,1), i=1,2,…，且諸Xi間相互獨(dú)立。問(wèn)題①就是求Z2=X1+X2的密度函數(shù)，由（9），Z2～Ga(2+2,1)=Ga(4,1)，從而

而問(wèn)題②就是求Z3=X1+X2+X3的密度函數(shù)。由（9），Z3～Ga(2+2+2,1)=Ga(6,1)，從而

這樣，由Γ分布的可加性，輕松解決了問(wèn)題①和②。

2 結(jié)果的推廣

實(shí)際上，本例的利用可加性的方法還可以推廣。例如前面提到的，如要求前100周的需求量Z100的密度函數(shù)P100(x)，則Z100～Ga(100×2,1)=Ga(200,1)，

更一般的，前n周的需求量Zn～Ga(2n,1)，其密度函數(shù)Pn(x)為

這都可以輕松得到結(jié)果，而上述結(jié)果用卷積公式操作起來(lái)相當(dāng)麻煩，幾乎是不可能完成的。

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