含參變量的拉普拉斯逆變換及其應用

符云錦

（鳳凰縣兩林學區，湖南鳳凰 416211）

1 背景知識

文〔1〕給出了含參變量的拉普拉斯變換的定義如下。

定義 設函數f(t)在區間[λ,+∞]上有定義，如果含參變量s,λ的無窮積分對s的某一取值范圍是收斂的，則稱無窮積分

為函數f(t)的含參變量λ的拉普拉斯變換。f(t)稱為原函數，稱為象函數，并記作。同時，含參變量λ的拉普拉斯的逆變換記作

要注意的是在（1）式中，參數λ和變量s均可以為復數。同時，文〔1〕中還給出了含參變量的拉普拉斯變換的存在性和基本性質，利用含參變量的拉普拉斯變換導出了一些常用函數的含參變量λ的拉普拉斯變換表達式。本文對含參變量的拉普拉斯變換的逆變換進行了研討，得出其唯一性和相關性質，并舉例說明其應用。

2 含參變量λ的拉普拉斯逆變換的性質

與拉普拉斯逆變換〔2-4〕一樣，含參變量的拉普拉斯逆變換同樣具有相應的性質。

性質1（唯一性定理）若給定一個關于s，λ的函數F(s,λ)，則存在唯一的函數f(t)使得

其中f(t)滿足文〔1〕中性質1的條件。

證明:用假設法。假設存在兩個滿足文〔1〕中性質1的條件的不同函數f1(t)，f2(t)都是函數F(s,λ)含參變量λ的拉普拉斯逆變換的原函數，即：

則，根據定義，有：

把上兩式作差，利用含參變量的拉普拉斯變換的線性性質，得

性質2 （線性性質）若L[f1(t),λ]=F1(s,λ)，L[f2(t),λ]=F2(s,λ)，則

其中α，β是常數。

性質3（位移性質）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

其中Res(s)＞a。

性質4（延遲性質）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

其中t＞Res(a)。

性質5（積分性質）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

性質6 （象函數的微分性質）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，則

特別地，n=1時，L-1[F'(s,1)]=-tL-1[F(s,1)]。

性質8（卷積性質）若L[f(t)]=F(s,λ)，L[g(t)]=G(s,λ)，則

3 含參變量λ的拉普拉斯逆變換的應用

含參變量的拉普拉斯逆變換的計算，可以參照拉普拉斯變換〔5-12〕的計算方法。但要注意的是，在查表時，要根據參變量λ的值而定，題中給定參變量λ的值，在表中要取相應的參變量的值來分解象函數F(s,λ)，從而求得原函數f(t)的表達式。

例1 求象函數

在參變量λ=1的原函數f(t)。

解：根據拉普拉斯逆變換性質，可得原函數為f(t)=δ(t)+2。

例2 求象函數

在參變量λ=-1的原函數f(t)。

所以，由位移性質，可得原函數為f(t)=t+te2t。

例3 求象函數

在參變量λ=-2的原函數f(t)。

從而可得原函數為f(t)=sin(-t)。

例4 求象函數

在參變量λ=α的原函數f(t)。

解：因為

根據線性性質，可得原函數為f(t)=t+1。

例5 求象函數

在參變量λ=3的原函數f(t)。

例6 求象函數

根據線性性質，可得原函數為f(t)=3t+e×e3t=3t+e3t+1。

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