雙連續C半群的Vornonvskaja型逼近問題*

倉定幫，閆守峰，苗文靜

(華北科技學院基礎部，北京 101601)

當今，強連續半群的理論已經成為許多領域的重要工具。這些領域除了傳統的偏微分方程和隨機過程外，還包括量子力學、無窮維控制理論、積分-微分方程、泛函微分方程及無窮維動力系統等等[1]。

然而在實際問題中發現，許多情況下對應的半群不是強連續的，Kuhnemund[2]指出，存在Banach空間上的一些特殊的非強連續的半群，并通過對這些半群的具體研究；Kuhnemund在Banach空間上附加一個比范數拓撲粗的局部拓撲，使得半群在局部拓撲下強連續，從而提出了雙連續半群的概念。文[2]還指出序列完備的局部凸空間上的等度連續半群滿足的條件比雙連續半群強，且等度連續對實際的問題對實際的問題的應用不是很廣，許多情況所對應的空間是Banach空間，可以賦予一個比范數拓撲粗的局部拓撲，從而說明雙連續半群理論有非常好的應用價值。文[3]給出了雙連續半群的Trotter-Kato定理，文[4]分析了局部凸拓撲下的Riemann-Stieltjes積分，給出了雙連續半群的逼近定理及其應用。文[5]研究了局部有界的雙連續C半群，結合雙連續半群和C半群的逼近定理，得到了雙連續C半群的逼近定理。逼近理論是半群的重要的研究分支，20世紀80年代開始，數學家們開始利用概率論這一有力工具解決算子半群中的逼近問題，并取得了豐富的成果[6-11]。本文借助于雙正則核這一工具，試從不同的角度研究了雙連續C半群的表示形式，給出了雙連續C半群Vornonvskaja型逼近定理。

1 若干定義

假設X是Banach空間，X′是它的共軛空間，τ是X上的一個局部凸拓撲，并且具有以下的性質：

(i)空間(X,τ)是在‖g‖-有界集上序列完備，即每個‖g‖-有界的τ柯西列在(X,τ)中收斂；

(ii)τ拓撲比‖g‖拓撲粗且τ是Hausdorff拓撲；

(iii)(X,‖g‖)中的范數可以由空間(X,τ)′定義，即對每個x∈X有‖x‖=sup{|φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,‖g‖)′≤1}。

記Φ={φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,‖g‖)′≤1}，Pτ是上的局部凸拓撲所對應的半范數蔟，由假設不失一般性，不妨認為p(x)≤‖x‖，x∈X，p∈Pτ。本文中的所有算子均為線性算子，D(A)表示算子的定義域。

都成立，其中ξi∈(si-1,si)，|π|=max(|si-si-1|)。

定義4[2]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為局部等度雙連續，若對每個t0≥0，子集{T(t):0≤t≤t0}等度雙連續。

定義5[2]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數有界的雙連續C半群，簡稱為雙連續C半群，如果滿足

(i)T(0)=C，T(t+s)C=T(t)T(s),?t,s≥0；

(ii){T(t)}t≥0強τ-連續；

(iii){T(t)}t≥0局部等度連續；

(iv){T(t)}t≥0指數有界，即?M,ω≥0使得‖T(t)‖≤Meωt，?t≥0。

線性算子A稱為雙連續C半群{T(t)}t≥0的生成元，如果

A的預解集為ρ(A)={λ:λ-A為單射λ,lm(C)?lm(λ-A)}，A的預解式為

由雙連續C半群的定義可以發現S(kt)=[C-1S(t)k]C。

定義6 設φ(t)>0，若Wη(t,μ)滿足下面條件(a)、(b)時，稱Wη(t,μ)為雙正則核。

2 主要結論

證明?x∈X,t≥0，

由于{S(t)}t≥0是雙連續的，所以?ε>0,?δ>0,當|μ-t|<δ，有p[S(t)x-S(t)x]<ε，因此

p[Sη(t)x-S(t)x]≤

p[Sη(t)x-S(t)x]≤

結合定義6可得p[Sη(t)x-S(t)x]≤ε+(ε+Meωt)o(η)+M(1+eωt)o(η)，得證。

進一步，我們假設Wη(t,μ)還滿足下面的兩個條件：

m(μ-t)m-1Wη(t,μ)]dμ)=

證明?t≥0,η>0,由Schwarz不等式得

在上面的定理4中令α→0+可得如下推論1。

證明令L(λ)=(λ-A)-1C，則(λ-A)L(λ)=C，對該式微分k次得

下面給出雙連續C半群的Vornonvskaja型逼近定理。

定理7 設{S(t)}t≥0是指數有界的雙連續C半群，Wη(t,μ)滿足條件(c)和(d)，若x∈D(A2S(t0))則有:

[S(μ)x-S(t)x)]dμ)=I1+I2

因而當η→0+,ε→0+時有I1=o(1)。結合定理2、4、7可得如下推論2。

推論2 設{S(t)}t≥0是指數有界的雙連續C半群，若x∈D(A2S(t0))則

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