萊布尼茨的概念代數及其外延解釋

朱建平

(蘇州大學 政治與公共管理學院，江蘇 蘇州 215123)

萊布尼茨的概念代數及其外延解釋

朱建平

(蘇州大學 政治與公共管理學院，江蘇 蘇州 215123)

根據傳統的觀點，萊布尼茨被視為數理邏輯的最偉大的前弗雷格先驅，但后人同時認為他的失敗歸之于他對三段論模式和主謂句法過于拘泥。這種近乎矛盾的說法無法解釋萊布尼茨既是弗雷格的偉大先驅，同時又是傳統三段論的集大成者的歷史事實。萊布尼茨作為一位邏輯巨人的歷史地位是建立在他對古老三段論的隱藏力量和范圍繼承及發展的基礎上的，正是這種繼承和發展決定了他比同時代的任何人都更加清晰地預見了新邏輯的誕生。萊布尼茨的概念代數就是這樣一個承上啟下的系統，但由于種種原因，這一承啟作用只體現于邏輯史的重構中。

萊布尼茨；概念代數；外延解釋；三段論

萊布尼茨的理智訓練屬于經院主義傳統和文藝復興的人文主義，萊布尼茨的邏輯研究在極大程度上聯系到亞里士多德的三段論，但萊布尼茨真正的目的是構造概念邏輯的一般演算。這種演算能夠嚴格地證明三段論的傳統理論。更重要的是，他要構造一種能對各種推理的有效性作出裁決的普遍演算。從這種意義上講，當代的邏輯實踐正在踐行著萊布尼茨的理想。本文不同意萊布尼茨是在非不足道的意義上的數理邏輯先驅的概念，也拒絕他的失敗可歸之于他對三段論句法過于拘泥的說法。萊布尼茨作為一位邏輯巨人的資格，并不僅是建立在對即將到來的新邏輯的預見方面，而且是建立在他對古老的三段論隱藏的力量和范圍的承認和擴展的基礎之上的。本文以萊布尼茨概念代數的重構為例，對上述觀點作出了論證。[1]

一、萊布尼茨的概念代數AC

萊布尼茨普遍演算的起點是傳統的亞里士多德三段論，三段論具有全稱或特稱，肯定或否定命題的范疇形式，這些命題表達了概念A和B之間的下列關系：

U.A. 所有的A是B U.N. 所有的A不是B

P.A. 有些A是B P.N. 有些A不是B

在所謂“經院”三段論框架中，否定的概念“非A”也給予了說明，在這里我們用～A加以表示。按照換質法的原理，U.N.：所有的A都不是B等同于否定謂詞的U.A.：每一個A是非B。因而按照眾所周知的對立法則P.N.是U.A.(命題)的否定(在本文中命題否定用”┐“表示)。P.A.是U.N.的否定。范疇形式可統一表示如下：

U.A. 所有的A是B U.N. 沒有A是B

P.A. ┐(所有的 A是～B) P.N. ┐(所有的A是B)

萊布尼茨大約在1686年前后發展起來的概念代數，尤其是在1686年GI中發展起來的三段論框架有三個成就：首先，他不再使用“每一個”，以及U.A.簡單地用公式表達為“A是B”，或者“A包含B”。這一基本命題被萊布尼茨符號化為“A∈B”，┐ (A∈B)簡寫為A?B。其次，萊布尼茨引入了概念合取的新算子，該算子將兩個概念A和B組合并置為AB。第三，萊布尼茨不理會關于三段論前提的數目以及包含在前提中的概念數目的限制。因而任何一種形式為A∈B或者A?B的句子之間的推理都是許可的，其中的概念A和B可以是任意復雜的，即它們可以包含其他概念的否定和合取。對這樣一種語言，我們稱之為概念代數AC(algebra of concept)。

AC的公理化僅以否定、合取和∈關系為初始概念算子(除了假定的命題函項連接詞┐、∨、∧、→和?)。至于概念包含關系A∈B，重要的是要注意到萊布尼茨的公式“A包含B”適合于作為概念的內涵解釋，盡管在這里我們要按照個體的集合發展一種外延的解釋。萊布尼茨在《人類理解新論》中解釋了內涵和外延之間的相互關系：

陳述的通常方式涉及個體，而亞里士多德更喜歡指概念或共相。因為當我說“所有的人都是動物”時，我的意思是說所有的人包含在所有的動物之中；但是與此同時我也意味著動物的概念被包含在人的概念之中。“動物”比“人”包含了更多的個體，但是“人”包含了更多的概念或者屬性：動物有更多的實例，而人有更大程度的現實性；動物有較大的外延，而人有較大的內涵。[2]

如果概念A的內涵和外延被發表簡寫為“Int (A)”和“Ext (A)”，那么所謂的概念內涵與外延之間的反比律可形式化表述為：

(1)Int (A) ?Int (B) ? Ext (A)? Ext (B)

這一原理蘊涵著兩個概念有相同的內涵當且僅當它們有相同的外延：

(2)Int (A) = Int (B) ? Ext (A) = Ext (B)

但后一個法則顯然是假的。按照我們現代對概念內涵和外延的理解，存在著許多概念或者謂詞A和B，它們有相同的外延，卻有不同的內涵。例如，蒯因著名的“有心臟的”和“有腎臟的”概念的例子，或者(受蒯因的啟發)索亞對(1)的更加最近的反對。

例如，可能湊巧所有騎自行車的人是數學家，這樣“是騎車人”的概念的外延是概念“是數學家”的外延的子集。但是很少有哲學家會得出在任何意義上“是數學家”的概念包含在是“騎車人”的概念之中。[3]

然而，這些例子不可能真正駁倒萊布尼茨所理解的反比律。對萊布尼茨來說，一謂詞A的外延并不恰好就是被歸入概念A的所有現存個體的集合，而寧可說是所有的具有那種性質的可能個體的集合。因而，萊布尼茨的確承認“數學家”的內涵或者概念并不包括在“騎車人”的概念之中。但是，他會指出即便是在真實世界中，所有的數學家的集合偶然也會與所有“騎車人”的集合相重合。顯然在其他的可能世界存在著其他的可能個體，這些可能個體是數學家而不是騎車人(或者是騎車人而不是數學家)。一般地說，當兩個概念A和B在內涵上不同，那么有可能存在著一個個體，該個體有一種性質而沒有另一種性質。因而，假定了萊布尼茨對是什么構成了概念外延的理解，它就會推出A和B在外延方面也是不同的。

根據德國學者倫曾的研究，萊布尼茨的內涵和外延的精確定義滿足上述反比定律(1)。[4]因而，萊布尼茨的觀點變成了可證等值的，即可翻譯為或者可轉換為更加通常的集合論的觀點，只要概念的外延是從話語的領域U中得到的，并被認為是可能個體的集合即可。特別是，按照內涵命題A∈B，概念A包含概念B必定被外延地解釋為所有A的集合被包含在所有B的集合之中。一個概念代數的外延解釋的定義的首要條件如下：

(DEF1) 令U是(可能個體的)的非空集，令Ф是對每一概念字母A，使Ф(A)? B的函項。那么，Ф是萊布尼茨的概念邏輯AC的外延解釋，如果(1)Ф(A∈B)=真當且僅當Ф(A)?Ф(B)。

下一步考慮兩概念的同一和重合，萊布尼茨通常使用現代記號“=”或者符號“∞”表示這個關系，但有時他也非形式地談論兩個概念是相同的。例如，在G1,§30中，同一或者重合能夠被定義為相互蘊涵：“A是B且B是A與A與B重合是相同的”。

(DEF2) A=B? A∈B∧B∈A

這一定義立刻產生了下列Ф的外延解釋的條件：

(1) Ф(A=B)=真當且僅當ФA=ФB

在大多數的普遍演算的草稿中，萊布尼茨都是通過并置AB的形式符號化概念A和B的合取。只是在加減演算的語境中，他喜歡使用數學的‘+’號來表達A和B 的合取。它的意思是AB的外延式歸屬于兩個概念的所有可能的個體的集合，即屬于A和B的外延的交集。

(2)Ф(AB)=真當且僅當Ф(A)∩Ф(B)

(DEF3) A∈B? dfA=AB

顯然，一集合Ф(A)與交集ФA∩ФB相重合，當且僅當ФA是ФB的子集。進一步地說，按照萊布尼茨的評論，關系“A在B中”可以簡單地被定義為A∈B的逆反。[5]

(DEF4)AιB?B∈A。

邏輯代數的下一個元素是否定，人們認為萊布尼茨在這一問題上遇到了困難。萊布尼茨表達概念否定的方式有時與他表達命題的否定方式類似，即并非(not)。這特別體現于他的GI。一概念A包含著另一個概念B的否定的陳述表達為“A不是～B”，盡管相關的短語“A不是B”必須被理解為只是“A包含B”的否定。在整個普遍演算的發展期間，萊布尼茨一直在奮力把握“A不是～B”和“A不是B”之間的不同。盡管他在其他地方也指出它們之間的不等值，但在這里他一次次錯誤地將二者視為等同。概念A的否定被表達為～A，盡管命題的否定通常被記為“┐”。因而“A不是～B”必須被表達為“A∈～B”，而“A不是B”必須被表達為“┐(A∈B)”或者“A?B”。而表達～A的外延的解釋應當是集合論的A的外延的補。因為每一個體或者屬于A或者屬于否定的概念～A，因而：

(1)Ф(～A)= ～Ф(A)

與否定算子緊密相關的是概念的可能性和自我一致性，萊布尼茨用各種方式表達它們。他經常說“A是可能的”或者“A存在”。因而，大寫字母P通常被簡寫為概念A的可能性，而A的不可能性或者不一致通常被簡寫為“I(A)”。按照GI，算子P能夠被定義如下：A不是A是一種矛盾。可能是不包含矛盾或者A不是～A。

(DEF5)P(B) ?dfB?A～A

從我們早先給定的條件(1)、(3)、(4)可推出P(A)是真的(在Ф的外延解釋的條件下)當且僅當Ф(A)是非空集。

(2)Ф(P(A))=真當且僅當Ф(A)≠φ

初看起來，這一條件是不充分的，因為確有些概念(如獨角獸)湊巧是空集，然而卻能被看作是可能的，即不涉及矛盾。在AC外延基礎上的論域并不是僅由實際存在的對象組成的，而且也包含了所有可能的對象。因而A的外延的非空是保證A的自我一致的充分和必要條件。顯然，如果A是可能的，那么至少存在著一個歸屬于于A的可能個體。

二、萊布尼茨概念代數AC的主要元素和基本法則

萊布尼茨概念代數AC的主要元素可概括為：

元素 符號化表達 萊布尼茨的記號 集合論解釋

同一 A=B A=B；A∞B Ф(A)=Ф(B)

包含 A∈B A包含B Ф(A)?Ф(B)

逆包含 AιB A逆包含B Ф(A)?Ф(B)

合取 AB A+B；AB Ф(A) ∩ Ф(B)

否定 ～A 非A ～Ф(A)

可能性 P(A) 可能A Ф(A) ≠φ

以下是AC的基本法則。這些法則都是萊布尼茨本人陳述的，它比布爾的集合代數的推演還要充分。

AC的法則 形式版本 萊布尼茨版本

包含1 A∈A B是B(GI,37)

包含2 A∈B∧B∈C→A∈C 如A是B,且B是C,那么A是C(GI,18)

包含3 A∈B?A=AB 一般說，‘A∈B’與‘A=AB’是同樣的(GI,83)

合取1 A∈BC?A∈B∧A∈C A包含和A包含C與A包含B和C是同樣的

合取2 AB∈A AB是A(C,263)

合取3 AB∈B AB是B (GI,38)

合取4 AA=A AA=A (GI,171)

合取5 AB=BA AB∞BA (C,235)

否定1 A=～～A 非非A=A(GI,96)

否定2 A≠～A 命題A與非A相同是假的(GI,11)

否定3 A∈B?～B∈～A 一般地說，A是B與～B是～A相同(GI,77)

否定4 ～A∈┐(AB) 非A不是AB(GI,76)

否定5 [P(A)∧]A∈B→AB 如果A是B，那么A不是非B (91)

可能1 I(A～B) ?A∈B 如果‘A不是～B’，那就等于說“A包含B”

可能2 A∈B∧P(A) →P(B) 如果A包含著B且A是真的，那么B也是真的

可能3 I(A～A) A且非A是不可能的

可能4 A～A∈B

包含1和包含2表明，包含關系是自返和傳遞的。包含3表明基本關系A∈B可以按照概念的合取(加否定)來定義。包含1是關于合取的決定性特征公理，它確立了概念合取和命題合取之間的聯系：概念A包含概念B和C當且僅當A包含B和A也包含C。定理包含2-5可以從包含1以及相應的重言式中推出。

否定可按照3個原則被公理化：雙重否定(否定1)的原則，一致性原則(否定2)說每一概念不同于它自己的否定。否定3是換質位原則。否定4能夠按照合取2從否定3中推出。

原則可能1說，概念A包含概念B當且僅當A和非B的合取是不可能的。這一原則也間接地刻畫了否定，因為按照定義4概念的自我一致的算子是按照否定和合取可定義的。可能2說包含在自我一致的詞項A的詞項B其本身也是自我一致的。可能3容易地按照包含1從可能1中推出。可能4是命題邏輯原則的對應的原則：不一致概念包含任何其他概念。萊布尼茨并沒有清楚地陳述這條原則，但它仍有可能被看作是真正的萊布尼茨定理，因為它能從可能1和可能3，以及A-A和A┐(AB)是不一致的觀察推出。

原理{包含1，包含2，合取1，否定1，可能1，可能2}提供了概念代數的完全公理化，它與布爾的集合代數是同構的。

三、萊布尼茨的其他邏輯

除了完整的概念代數演算AC之外，萊布尼茨還構造了其他的邏輯。這里僅作一簡單描述。

1.加減演算

該演算是在1686-1687年間由兩篇論文發展而來的。在這兩篇論文中，萊布尼茨從數學加減的普通理論逐步發展出“實”加和“實”減的思想。嚴格地說，加減演算不僅僅是一個邏輯演算，更多的是一種允許相當不同的應用和解釋的更一般的演算。在他的最抽象的形式中，它最好被看作集合論的蘊涵A?B、集合論的加A∪B、集合論的減A-B、集合論的并A∩B等基本的邏輯運算。他的加減演算可應用于概念的外延，進而獲得兩個邏輯演算。它是全概念代數的一子系統，因而能夠給出一外延性的解釋。

然而，我們不能忽略他的實加和實減的理論上的不完全。首先，被萊布尼茨所發現的公理和定律實際上對于提供算子(=、﹢、φ、-、com、?)的集合的公理化是不充分的；其次，當與全代數集合加以比較時，萊布尼茨的算子被證明是概念上弱的。特別是它不可能按照減來定義否定和補運算。

2.真勢和道義模態邏輯

盡管萊布尼茨從沒有花費很多時間用于命題邏輯的適當法則的研究，但他在這些領域也有重要的發現：通過簡單方式將概念代數轉換為命題代數；為解釋模態算子而發展了可能世界語義學思想；發現了對道義算子(禁止，義務和允許)和真勢算子(不可能、必然和可能)的邏輯定律之間的嚴格類比，而且預見了用后者定義前者的思想。

3.萊布尼茨的嚴格蘊涵演算

萊布尼茨指出了概念間的蘊涵關系和命題間的蘊涵關系之間的平行。明確指出一命題是真的當且僅當它的謂詞包含在它的主詞之中。更進一步，人們論證說從CL1到PL1存在一種映射，該映射產生出近似于劉易斯S2形式的嚴格蘊涵。然而，這并不意味著萊布尼茨已經明確承認且贊同這種模態邏輯演算的弱系統。例如，萊布尼茨的確已經認同真公理□p→p的有效性。但是，基于純句法的理由，這些定律不可能通過萊布尼茨的命題系統而獲得。萊布尼茨不僅熟悉(□p?～◇～p)與(～◇p?□～p)等關系，而且根據“可能情況”及可能世界的模態算子的語義學分析，以清晰的方式證明了這些關系。他明確指出，一命題p是可能的當且僅當它至少在一種情況下為真；p是不可能的當且僅當它不在任何情況下為真；p是必然的當且僅當它在所有情況下為真；p是偶然的當且僅當它至少在一種情況下不為真。他還有(□p→◇P)和(～◇p→～□p)的思想。而且萊布尼茨通過將它們還原為相應的(全稱和存在)量詞的法則來證明這些定律。但是，在萊布尼茨的著作中沒有任何對應于世界之間的可通關系的思想，因而幾乎不可能判定像T、S4、S5等各種現代系統中哪一個與萊布尼茨的觀點相一致。

4.不確定的概念(量詞)

不確定概念主要起一種涉及概念的量詞的作用。萊布尼茨察覺到不確定概念的作用與存在量詞和全稱量詞有些不同。但是他的系統難以足夠清晰和精確地闡明這種不同。萊布尼茨預見了某些量化邏輯的基本法則，因而至少可以被看作是現代量化理論的先驅者。

5.謂詞的量化(QTP)

萊布尼茨在若干個場合強調了謂詞量化的重要性，把它看作三段論理論格和式的所有規則的基礎。為了討論萊布尼茨的謂詞量化，讓我們首先考慮全稱肯定命題：當我說所有的A是B時，我把它理解為被稱之為A的東西與被稱之為是B的那些中的某些東西是同樣的。那么何種實體是非形式量化表達式“所有的”和“有些”假定指稱的對象？如何理解“被稱為”A(或B)的關系？作為一個當代邏輯學家，他可能自然地將量詞解釋為指稱集合A(或者謂詞A應用的)的元素的個體。在這種情況下，人們得到了下列TPQ版本。

全稱肯定命題“所有的A是B”應被意譯為每一是A的元素的個體x等同于是B的元素的某些個體y。因為符號“∈”在這里用于指示兩個概念之間的包含關系，在這里最好選擇另一符號如“ε”表達某一對象x和集合A之間的集合論關系。更進一步地說，與萊布尼茨涉及概念的量詞?和?不同，讓我們引入另外一對涉及對象的量詞Λ和V。萊布尼茨的U.A.(全稱肯定命題)的外延刻畫呈現如下的形式：

(U.A.)Λx (x ε A→Vy (y ε B∧y = x)).

萊布尼茨正確地指出：顯然每一個肯定命題(且只有這樣的命題)有一個特稱的謂詞；每一否定命題有一個全稱的謂詞。

四、結論

應當指出，這并非萊布尼茨邏輯重構的全貌，但這足以證明萊布尼茨是在非不足道意義上數理邏輯先驅的概念，也證明他的失敗歸之于他對三段論句法的說法是不可接受的。毫無疑問，產生于19世紀后半葉的新邏輯是在一種萊布尼茨精神氛圍中創生的。但是布爾、弗雷格的邏輯系統是獨立于萊布尼茨的邏輯而發展起來的。因而萊布尼茨對19世紀后半葉現代邏輯誕生的影響是間接的，他的邏輯理論的歷史地位是邏輯史重建的結果。但萊布尼茨對亞里士多德邏輯的發展和對現代邏輯的預見卻是有目共睹的。

在萊布尼茨和現代邏輯誕生的關系這一問題上，任何脫離具體的歷史語境和文本而將問題提煉為簡短的結論的做法，都會犧牲太多的歷史感。一方面我們應看到，當代論述他的作者們比他們的前輩們的優越之處在于他們能夠看到他的著作的哪些部分面對形式邏輯在當代的重大發展而仍保有其重要性，在這方面萊布尼茨是幸運的。同時也應看到，一位邏輯學家影響后世思想的原因是很復雜的，各種偶然因素都可能起作用。在這些偶然事件中最重要的無疑是他們的著作留存下來的數量的多寡和出版情況，尤其是后者，由于萊布尼茨的邏輯著作大多都是在他去世后由后人零星而間斷地出版發表的，這極大地影響了人們對萊布尼茨邏輯學的認知和理論傳播，這對萊布尼茨而言又是不幸的。

[1] Lenzen, W. “Leibniz’s Logic,” in Handbook of the History of Logic, D. M. Gabbay/J. Woods (eds.), 2004a, volume 3: The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege, Amsterdam et al.: Elsevier-North-Holland, pp. 1-83.

[2]C.I.Gerhardt(ed).,Die philosophischen Schriften von G. W. Leibnz, 7 vol Berline 1849-63, reprint Hildesheim(Olms)1962.5:469

[3]Swoyer. Leibniz on Intension and Extension. 1995(29): 96-114.

[4]Lenzen, W. Zur extensionalen und “internsionalen” Interpretation der Leibnizschen Logik[J]. Studia Leibnitiana, 1983,15(2): 129-148.

[5]F.Schupp(ed).,Generales Inquisitiones de Analysi Notionum et Veritatum, Hamburg(Meiner), §16.

2014-01-09

朱建平(1956- )，男，山東濟南人，蘇州大學政治與公共管理學院教授，博士，從事邏輯哲學與哲學邏輯研究。

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2095-7602(2014)03-0014-05