齒輪參數對行星輪系模態的影響

王天利，張鍵

(遼寧工業大學，遼寧 錦州 121001)

0 引言

機械在工作過程中產生的振動嚴重影響其設備的生產效率及使用壽命。同時，由于機械振動所產生的噪聲對環境也會產生嚴重的污染。齒輪傳動是各種機械設備應用最廣泛的動力傳動裝置，而機械振動以及噪聲大部分來自于齒輪在工作過程中所產生的振動。因此，研究齒輪傳動系統動力學一直備受人們的關注［1－3］。利用有限元法對齒輪系統結構形式、幾何參數進行深入的研究，可以設計與制造高品質的齒輪傳動系統。使用Catia 行星輪系進行實體建模，利用Workbench 設置單元、材料屬性、自由度約束以及有限元分析計算，得到行星輪系的固有頻率和振型，并進一步分析模數以及壓力角變化對行星輪系模態的影響。通過模數以及壓力角的變化對行星輪系的結構振動特性分析，對于提高行星輪系的安全性和可靠性具有重要的意義［4－5］。

1 單個行星排的傳動方案

根據輸入軸、輸出軸和固定軸的不同選擇，可以獲取6 種不同的傳動方案。如表1 所示。單個行星排的傳動比方案不同，約束也不同。一般行星齒輪機構用來實現減速傳動，而且要求傳動比比較大，因此選擇A 方案，然后根據行星輪系實際傳動情況，對行星輪系進行施加約束并進行模態分析。

表1 單個行星排的傳動比方案

2 行星輪系模態分析

2.1 模態分析理論基礎

模態分析是動力學分析重要的理論基礎，主要用于確定機械結構和部件的固有頻率、固有振型、模態剛度、模態質量和模態阻尼，是諧響應分析、瞬態動力分析和譜分析的開端。

一個N 自由度的線性系統，其振動微分方程為［6］:

式中:［M］、［C］、［K］分別為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣;{P(t)}為激振力向量;{x··(t)}、{x·(t)}、{x(t)}分別為加速度向量、速度向量、位移向量。

要對行星系統進行模態分析，求解的主要是固有頻率和振型參數固有模態，由于固有頻率與外載荷無關，故可令激振力等于0;且當結構阻尼在很小的情況下，阻尼對固有頻率的影響比較小，基本上可以不考慮，因此可以簡化成結構無阻尼自由振動方程計算結構的固有特性，由式(1)可得:

其對應的特征方程為:

由式(3)可得出n 個特征值，也就是結構的n 階固有頻率ωi2和相應的n 個特征向量也就是結構的模態振型{ φ}i，它反映了結構按頻率ωi振動時各自由度方向振幅間的相對比例關系。

2.2 有限元分析模型

使用Catia 對行星輪系進行參數化建模，模型主要參數:太陽輪齒數、行星輪齒數、齒圈齒數分別為22，23，68，行星輪數目為3，齒輪模數都為3 m，壓力角都為20 °。在Catia 中建立的行星輪系模型只是實體模型，而實際分析中針對的是有限元模型，如圖1 所示。因此需要對實體模型進行單元定義和網格劃分。

圖1 行星輪系有限元模型

齒輪的材料為鉻錳合金鋼20CrMnTi，其彈性模量為2.06 × 105MPa，泊松比取值0.3，密度為7.8 × 10－9g/mm3。

對行星輪系所有齒輪的齒部以外采用以六面體單元為主進行網格劃分，齒輪齒部則用四面體單元。這樣既對重要部分可以進行精確的求解，而又不會使整個有限元模型網格較多導致計算時間太長。

2.3 行星輪系有限元模型中的自由度約束

1)行星輪系有限元模型的自由度約束

模態分析是在初始約束狀態下求解系統的固有頻率和振型，故需要對模型的初始狀態進行約束，包括1 個太陽輪，3 個行星輪和1 個內齒圈的初始狀態約束。

對于太陽輪，約束其中心孔內的所有節點的ux，uy，uz方向的自由度。

對于行星輪，需要建立局部柱坐標系，如圖2 所示，坐標系的原點設置在各個行星輪的中心處。設置完成后，激活局部柱坐標系，然后約束中心孔處所有節點的ux，uy(uz)方向的自由度。

對于內齒圈，則是完全約束齒圈外部所有節點的自由度［7］。

圖2 輪系的自由度約束

2)嚙合齒輪間耦合關系的設定

在整個分析過程中，定義齒輪間的接觸關系是非常重要的，齒輪在嚙合的過程中齒廓間產生作用力，故采用定義齒輪間的無摩擦接觸關系的方法來模擬實際嚙合以便達到簡化分析的目的。主要對整個行星齒輪系統的嚙合施加接觸約束，即行星輪和內齒圈之間的接觸，太陽輪和行星輪之間的接觸，如圖3 所示［8］。

圖3 耦合約束

2.4 模態分析求解

模態分析是采用試驗分析或理論分析的方法來識別系統的模態參數，為系統結構動力學分析、振動故障診斷及結構的動力特性的優化設計提供依據。

在ANSYS 軟件中，模態提取算法主要有Sub－space，Block Lancos，Power Dynamics，Reduced，Damped 等。考慮到Block Lancos 算法的求解精度高，計算速度快，故對行星輪系采用BlockLancos 算法進行模態分析。計算時提取模態數為前9 階模態振型及固有頻率(表2)，各階模態振型如圖4(a)圖4(c)所示［9］。

圖4 各階模態振型圖

表2 行星輪系前9 階固有頻率

第一到第六階固有頻率對應振型是三個行星輪的扭轉振動，振幅明顯有增大的趨勢。第七到第九階固有頻率對應振型分別是不同一個行星輪的擺動振型。

3 齒輪模數的變化對模態的影響

模數是指相鄰兩輪齒同側齒廓間的法向齒距t 與圓周率π 的比值(m=t/π)，以mm 為單位。模數是齒輪的一個最基本參數。模數越大，輪齒越高而且越厚，如果齒輪的齒數一定，則齒輪的徑向尺寸就越大。分別取模數為2 mm，3 mm，4 mm，其他參數不變。然后通過對行星齒輪進行動力學模態分析，確定模數的變化會對整個行星輪系的模態有何影響。

通過有限元分析得出在不同模數下的固有頻率及振型。由于篇幅有限，振型圖不再列出，通過表3 來比較在不同模數下對固有頻率的影響。

通過表3 和圖5 可以明顯看出，模數的變化對行星輪系的固有頻率有一定的影響，并且整個行星輪系的固有頻率隨著模數的增大而減小。

表3 模數分別為2 mm、3 mm、4 mm 的行星輪系的前9 階固有頻率

圖5 不同模數的行星輪系固有頻率值對比圖

4 齒輪壓力角變化對模態的影響

壓力角又稱嚙合角是在兩齒輪節圓相切點P 處，兩齒廓曲線的公法線(即齒廓的受力方向)與兩節圓的公切線(即P 點處的瞬時運動方向)所夾的銳角。對單個齒輪而言稱作齒形角。標準齒輪的壓力角一般為20°。小壓力角齒輪的承載能力較小，而大壓力角齒輪，雖然承載能力較高，但在傳遞轉矩相同的情況下軸承的負荷增大，所以僅用于特殊情況。分別以壓力角為18°、20°、22°，其他參數不變。然后通過對行星齒輪進行動力學模態分析，確定壓力角的變化會對整個行星輪系的模態有何影響(表4)。

通過表4 和圖6 可以明顯看出，壓力角的變化對行星輪系的固有頻率有一定的影響，并且整個行星輪系的固有頻率隨著壓力角的增大而增大。

表4 壓力角分別為18°、20°、22°的行星輪系的前9 階固有頻率

圖6 不同壓力角的行星輪系固有頻率值對比

5 結論

本文利用有限元軟件ANSYS Workbench 對行星輪系進行了模態分析，提取了行星輪系的前9 階固有頻率和振型;在其他參數不變情況下，改變齒輪的模數，通過有限元分析表明整個行星輪系的固有頻率隨著模數的增大而減小;在其他參數不變情況下，改變齒輪的壓力角，通過有限元分析表明整個行星輪系的固有頻率隨著壓力角的增大而增大;通過對行星輪系齒輪和對行星輪系齒輪幾何參數的研究，為行星輪系的結構設計提供直接的理論依據。

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