數學建模課內容和教學方法的探討

華 穎

(景德鎮學院數學與信息工程系，江西景德鎮 333000)

0 前言

數學與計算機技術相結合，已產生出一種重要的、可實現的技術，成為當代高新技術的重要組成部分。計算機技術可以用來解決數學建模過程中的數值計算以及建模過程中所涉及到的對數據的處理和分析，我們常用的數學軟件如MATLAB、LINGO、SPSS等，它們具有強大的繪圖、數值計算及多樣化的工具箱功能，能夠快捷、有效地計算數學建模課程教學過程中所涉及到的數學模型的求解問題。

我們希望使用先進的數學軟件來完善數學建模課程的實踐教學，使學生在學習過程中不僅能學到數學知識，也能學習到相關的計算機軟件知識，使得學生能夠真正認識到數學的實用性，培養學生分析和解決實際問題的能力，也培養學生使用計算機和數學軟件的能力?？傊覀兿Ｍ詳祵W建模課程的教學改革為目標，利用數學軟件完善數學建模課程的實踐教學為切入點，將數學建模的思想融入到數學專業的其他主干課程中去，在我校以培養應用型人才為目標的教學模式和思路上起到探索作用。

1 開設“數學建模與實驗”課程的具體做法與實踐

我們將數學建模課程的主要教學內容分成兩大塊，第一塊教學內容是數學建模和第二塊教學內容是數學實驗，數學實驗課程安排六個實驗。根據學生的具體情況制作相應的課件和軟件包，這部分重點介紹使用相關數學軟件對模型的求解，用講座的形式邊講邊演示。數學建模采用建模方法加案例的方式進行介紹，其中包括六大模塊，針對每個模塊我們制作相應的課件，在教學過程中應注重與學生的互動，要使學生通過案例的學習能夠對相應的建模方法舉一反三，在以后遇到相似的問題會自已解決。下面我們具體介紹一下這兩個模塊的內容。

1.1 數學建模教學結構

我們將數學建模課程按數學知識內容分為六大模塊，每個模塊選取四到六個案例，通過案例介紹，使學生學會怎樣建立模型，感受到數學的廣泛用途。課程內容分六個部分介紹:⑴初等模型和簡單優化模型;⑵線性規劃、整數規劃、非線性規劃和動態規劃;⑶微分方程和差分方程;⑷數理統計模型 ;⑸數據處理(回歸、方差、插值和擬合);⑹離散模型。

第一部分初等模型和簡單優化模型。從最簡單的初等數學模型開始，讓學生了解應用初等數學方法來解決實際生活中的問題，具體介紹光盤的數據容量、雙層玻璃的功效、劃船比賽的成績等模型，使學生對數學建模過程有一個感性的認識。在介紹模型的同時，使用Matlab軟件對課程中所建立的數學模型進行求解，使學生認識到數學軟件對求解數學模型的重要作用。

第二部分線性規劃、整數規劃、非線性規劃和動態規劃模型。通過介紹奶制品的生產與銷售、自來水輸送與貨機裝運、汽車生產與原油采購等實際問題，讓學生學會確定優化的目標和尋求的決策。規劃模型對決策變量的取值范圍有限制，通過加入限制條件可以得到相應的優化模型，實際中的優化問題通常有多個決策變量，對變量的選取和目標函數的建立是這部分內容的關鍵，在教學中需重點介紹。至于數學規劃模型的求解，可以通常使用Matlab軟件包和Lingo軟件包。

第三部分是微分方程和差分方程。我們先介紹傳染病模型、經濟增長模型、正規站與游擊戰模型等，它們是對實際對象的某些特性隨時間(或空間)而演變的過程，分析它的變化規律、預測未來性態、研究它的控制手段時，通常要建立微分模型。然后進一步介紹微分方程的穩定性理論，對建立的微分方程作出穩定性分析，這樣可使學生對微分方程模型有一個全面的了解。對差分方程模型的介紹先介紹投入產出模型、原子彈爆炸的能量估計與量綱分析模型和市場經濟中的蛛網模型;然后進一步介紹差分方程的穩定性分析理論。對微分和差分方程模型的求解我們主要是使用Matlab軟件包，當難以求得微分方程的解析解時，可以求其數值解。

第四部分數理統計模型。如果建模時所研究的對象受到隨機因素的影響，在建模時就應該建立隨機性的數學建模，本部分內容我們通過討論傳送系統的效率、報童的訣竅、軋鋼中的浪費和航空公司的訂票策略等問題，討論如何用隨機變量和概率分布描述隨機因素的影響，建立隨機模型及概率模型。其中要用到的概率運算，以及概率分布、期望、方差等計算問題我們會在相應的數學實驗課上介紹使用Matla軟件中的相關語句進行求解。

第五部分數據處理(回歸、方差、插值和擬合)模型。如果由于客觀事物內部規律的復雜性及人們認識程度的限制，無法分析實際對象內在的因果關系，建立合乎機理規律的數學模型，那么通常的辦法是搜集大量的數據，基于對數據的統計分析去建立模型。我們就可以使用用途非常廣泛的一類隨機模型統計回歸模型，我們使用SPSS軟件進行對統計回歸模型的數據進行處理和分析。

第六部分離散模型。一般地說確定性離散模型包括的范圍很廣，在此主要介紹在實際中應用較廣的幾個離散模型，如層次分析模型和沖量過程模型是對社會經濟系統進行系統分析的有力工具。循環比賽的名次和公正的選舉討論了排序問題，席位分配是社會政治領域中一個令人關注的問題，對于離散模型的求解問題我們使用Matlab軟件進行處理。

1.2 數學建模課的實驗

數學建模課程涉及到大量的模型求解問題，而數學實驗課程就是使用數學軟件對數學問題進行求解的一門課程，因此為了完善數學建模課程我們將這兩門互補的課程結合在一起。數學實驗是以計算機為工具，配以各種數學計算軟件(Matlab，Mathematics，Maple，Spss等)作為實驗環境，用以加工處理各種數學資料信息，得到計算結論過程。因此在教學過程中需要把課堂教學與實際操作結合起來，給學生實踐機會，提高學生的動手能力和進行數值計算與數據處理的能力，并且在解決數學模型問題的過程中提升學生對學習數學的興趣。對于模塊二數學實驗的教學我們將數學建模實驗課的內容分成六個專題，做成六個多媒體課件。課件的主要內容是介紹數學建模課程中所學案例的求解方法，主要的教學方法是將多媒體與軟件包的計算結合起來，由教師介紹求解過程然后要求學生動手練習使用相關軟件包。多媒體課件的主要制件思路為:以Powerpoint和Matlab、Spss、Lingo軟件為平臺，根據數學建模課本上的案例建立模型，分析同一類模型之間的聯系，然后對所建立的模型利用相關的數學軟件進行求解，我們把求解的相關數學軟件和算法事先編好在軟件的工作區中，使用Powerpoint做超級聯接，在Matlab工作區調用保存在寫字板上的Matlab程序的方件名，即得到運算結果。

1.3 數學建模課程的考核

學期結束時，我們給出一個具體的建模題目，要求學生在給定的時間里完成模型的建立和使用數學軟件對模型進行求解，并按數學建模比賽的格式交一份建模論文和相關的附件，老師對論文進行評閱給出每個學生數學建模課程的考試成績?？己说闹攸c在建模過程中所作的假設是否合理，所建立的模型是否正確，以及求解過程是否正確使用相關的數學軟件。我們也希望學生自已動手完成一篇建模論文，以提高論文寫作能力和運用數學知識解決實際問題的能力。

2 需要進一步解決的問題

在教學實踐過程中我們發現學生對數學建模與數學實驗課程是具有興趣的，因為在學習的過程中他們能夠運用所學的數學知識解決實際問題，也為他們在以后的工作和學習中更好地使用數學工具解決問題打下基礎。但由于我們學校在這方面的起步比較晚，所以在實踐教學和數學建模比賽的指導過程中遇到了一些問題，主要有以下幾點:

⑴數學建模與數學實驗課的結合及相應的教學內容、教學模式還需要我們在實踐的過程中進一步完善。

⑵應該分配相應的課時讓學生自已上機操作，加強學生對相關數學軟件的使用能力。

⑶學生的計算機能力應進一步提高，等等。

⑷各個模塊案例的選取還需進一步地討論，應注重實用性和靈活性。

⑸任課教師和指導教師的知識結構還有待改善和調整。

在今后的教學工作中我們會針對以上的幾個問題作重點的討論和完善，希望能不斷地提高我們學院數學建模教學及比賽的水平，把這項有益于學生素質培養的活動開展得更好。

［1］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.高等教育出版社，2011.

［2］但琦，趙靜，付詩祿.數學建模課內容和教學方法的探討［J］.工科教學，2002.

［3］李尚志等.數學實驗(第二版)［M］.北京.高等教育出版社，2003.