淺談高中數學模型的應用

薛映霞

新課標對高中數學提出了新的要求，要求學生通過學習提高數學知識的實際運用能力，能通過思維的創造性和建模能力來運用數學知識，通過問題的現象看到實質，把實際問題看成數學問題中的一個模型，利用解決數學的各種方法使實際問題獲得解決。培養學生的數學建模思想，不僅能使學生對數學知識的掌握按照數學思想的類型分成一個個模塊，還能激發學生對數學的熱情，通過對建模思想的認真探索培養自己良好的道德品質，不畏艱難的意志和要學好數學的決心。

一、數學建模的涵義

在把實際問題進行數學模型的創建時，實質就是把實際問題中所蘊含的數學知識提取出來，形成一個具有實際意義的數學模型，運用數學語言和數學公式對這個數學模型進行研究探索，進而達到解決實際問題的目的。教師在培養學生的數學建模意識時，就要提高學生分析數學問題的能力，通過把實際問題抽象簡化成為數學問題，利用學生已有的知識進行解決。數學建模從本質上說就是進行一系列的發現問題、提出問題、解決問題的過程，這個過程對學生的數學能力要求很高，學生必須具備敏銳的觀察力和分析力，能把實際問題與自己掌握的數學模型相聯系，然后進行提取，在數學世界中解決實際問題，最后把結果再帶入問題中進行驗證。

二、數學建模基本過程

（一）問題分析

數學模型就是現實世界中的問題同數學知識進行聯系的工具，最初在進行數學建模時，就是要把實際問題用數學語言和數學符號進行表述。在把現實問題轉化成數學模型時，學生要充分對這個問題進行了解，了解問題的成因和背景，把對解決問題能提供幫助的數據都收集起來，以更好地對問題進行抽象和概況。

（二）合理的簡化假設

在實際的生產和生活中，往往受到各方面因素的影響，要解決的問題是時刻變化的，在解決這種多變問題時，要把問題進行合理假設，通過假設把問題簡單化，然后運用數學模型進行解決。在進行假設時，要根據問題的背景進行合理假設，假設進行得合理，通過運用數學建模思想這個問題就能獲得解決；如果假設不合理或者假設沒有根據實際情況進行，那么可能利用數學建模求解出來的答案就不適合實際問題，這就是一個不成功的建模過程。所以，學生在進行建模思想的運用時，一定要根據事實進行假設，才能得出合理有效的解決問題的方法。

（三）建立模型

通過假設，把實際問題中的相關變量之間建立等量關系，從而建立數學問題。在建立模型時，學生要根據從實際問題中提取出的常量和變量建立合適的數學模型，使問題能獲得解決。在建立數學模型時我們要遵循以下原則：有簡單方法時一定要用簡單方法，能運用初等工具時一定要用初等工具，一定要使建立的模型最簡單，最易解決。

（四）求解數學模型

數學模型建立之后，接下來就是要對所建立的模型求解。在求解過程中，要使用適當的數學工具，使數學模型在簡單有效的方法下獲得解決。如果遇到的問題比較復雜，通過一般的數學工具解決不了，那么就可以在事實的基礎上對所建立的模型進行細微變化，使模型獲得解決。

（五）模型分析、檢驗、修改與推廣

所建數學模型求解出來之后，就要把求得的結果帶入實際問題中進行分析檢驗，以驗證所得的答案是否能滿足現實要求，并將不合理的結果進行修改。

案例：教師在對不等式進行講解時，先讓學生回憶在探究|x|=3的幾何意義時運用了數學中的數軸，之后提出|x|>3和|x|<3的幾何意義是什么？

教師通過數軸來引入不等式意義的探究，這也是把數軸這個數學模型引入了課堂。假設x是數軸上的一個數，那么當它在哪個范圍內取值時|x|>3，在哪個范圍內取值時|x|<3，這就需要學生通過建立數學模型進行問題的解決。然后學生通過建立數學模型，最后得出|x|>3和|x|<3的取值范圍，理解了它們的幾何意義。

這個案例是運用學生學過的知識對新知識進行建模，通過建模讓學生能更清楚、更深刻地理解了不等式的幾何意義。可見數學建模思想的運用能促進學生學習數學知識，在不斷提高數學建模思想的過程中，學生的數學能力也在不斷提高。

數學建模除了可以讓學生能更好地接受新知識以外，還常用來解決生活中的實際問題。

三、高中常見數學應用模型

（一）函數模型

我們可以從生活中很多現象中抽象出函數模型，例如，如何控制才能使用水量達到最低？如何能使工廠的收入最高？如何使生產化肥的工廠用原材料最省等等。這些問題都能通過函數模型進行解決。

（二）數列模型

數學中的數列主要應用在從特殊到一般來進行研究的問題中，利用數列模型可以解決我們生活中的很多問題。例如，銀行利率的增長率是多少？我國每年人口出生率是多少？細胞分裂的速度是多少等等諸多問題。

（三）不等式模型

在最值問題的求解時常用到這個模型，通過從實際問題中概括出來數學式子，然后再運用解不等式的方法獲得最值。

（四）解析幾何模型

解析幾何模型在一些建筑中比較常見，例如拱形橋的修建中就設計到了解析幾何的模型。把拱形橋中涉及的數學問題分析、概括出來，就能運用數學語言解決拱形橋中的拱高和半徑等問題。

（五）排列、組合模型

排列組合模型的應用很廣泛，在很多現實問題中都可以運用到這個模型。

（六）概率模型

在高中數學學習中，學生需要了解概率模型。概率模型是從具有不確定事件中提取出來的數學模型，通過解決概率模型問題來解決實際問題中的幾率問題。

生活中存在數學模型的現象很多，學生在日常生活中要養成對事物進行深入分析的習慣，善于把實際問題的本質提取出來，把現實問題抽象成數學模型，從而獲得問題的解決。

通過數學建模，學生對數學問題能從整體上進行深入理解和研究。學生把數學模型應用到現實生活中，能激發學生對數學知識探索的興趣，同時運用所學的知識能解決他們身邊的遇到的問題，這就能大大激發學生要學好數學的決心。

（責編 張景賢）