單層球殼結構強震下倒塌模式的構件截面優化

劉文政， 葉繼紅

(1.東南大學混凝土與預應力混凝土結構教育部重點實驗室，江蘇 南京 210018；2.山東省建筑科學研究院, 山東 濟南 250031)

引 言

網殼結構的截面優化設計是指在滿足規范和規程要求的條件下，通過優化桿件截面尺寸使結構重量減輕，達到減小用鋼量、降低結構造價的目的。早期國內外學者采用傳統優化方法對網殼結構進行優化研究[1～4]。近幾年來，以遺傳算法、模擬退火算法為代表的一些智能優化算法在網殼結構優化中的應用日益廣泛[5～12]。遺傳算法(GA)是基于達爾文的生物進化理論和孟德爾的遺傳學說，通過模擬自然選擇和有性繁殖，尋找優化問題的相對最優解[13]。與傳統優化方法相比，遺傳算法的優越性主要體現在：變量采用編碼處理；直接以目標函數值作為搜索信息，不受目標函數和約束空間的連續性或可導性限制；隱含的并行性；概率轉移規則。模擬退火算法(SA)是模擬統計物理學中固體退火過程而建立的一種隨機搜索算法[14]。它是通過Metropolis算法迭代實現目標函數的最優化。模擬退火算法的優越性主要體現在：概率接受準則，能夠避免陷入局部最優；通用性和靈活性，適用于目標函數難以求導和導數不存在的優化問題。然而采用上述兩種智能優化方法對實際結構進行優化時，遺傳算法存在局部搜索能力不強和后期收斂速度慢的缺點，模擬退火算法存在計算效率低的缺點。

單層網殼結構在地震作用下主要存在兩種倒塌破壞模式，即動力失穩和強度破壞[15]，其中動力失穩模式的延性和耗能能力較差，破壞具有突然性，是一種非理想的破壞模式。如果單層網殼結構在未預料的強震作用下發生此類無征兆破壞，就會危及人民生命安全并造成巨大經濟損失。因此有必要在單層網殼結構優化設計過程中對其倒塌模式進行控制。本文以結構桿件重量最輕為優化目標，以桿件截面尺寸為優化變量，考慮長細比、撓度、桿件強度及穩定性為約束條件，建立了單層球殼結構倒塌破壞模式優化模型。同時基于構形易損性理論，將構形度作為約束條件用于控制結構在強震下的倒塌破壞特征。將遺傳算法和模擬退火算法相結合，基于混合策略構造出遺傳-模擬退火算法(GASA)。采用C++語言編制GASA計算程序，并與APDL語言編寫的單層球殼結構ANSYS分析命令流相結合，得到GASA-ANSYS優化程序。應用GASA-ANSYS優化程序對一個跨度為70 m的K6型單層球殼結構進行截面優化，并通過優化前后構形易損性分析和地震動力時程分析對優化結果進行驗證。

1 單層網殼破壞模式優化模型

1.1 目標函數

以結構桿件重量最輕為優化目標，即

(1)

式中W為單層球殼結構的桿件重量，ρ為桿件材料密度，Ai為第i根桿件的截面積，Li為第i根桿件的幾何長度，nm為桿件數量。

1.2 優化變量

以桿件截面尺寸為優化變量，即

(2)

式中Di為第i根桿件的外徑，ti為第i根桿件的壁厚，Dmin和Dmax分別為桿件外徑的最小值和最大值，tmin和tmax分別為桿件壁厚的最小值和最大值，其余符號同式(1)。實際結構桿件的外徑Di與壁厚ti取值均為離散型數據。本文優化過程中變量Di和ti均按照GB/T 8162-2008《結構用無縫鋼管》取值[16]，本文選取128種桿件規格(表1所示)，其中外徑Di的取值范圍為89～180 mm，壁厚ti的取值范圍為3.5～12 mm。

表1 鋼管規格表

1.3 約束條件

(1)長細比約束條件[17]

(3)

式中λi為第i根桿件的長細比；l0i為第i根桿件的計算長度；ii為第i根桿件的截面回轉半徑；[λ]為單層球殼結構的容許長細比。其中受壓桿件的容許長細比取150，受拉桿件的容許長細比取300。

(2)位移約束條件[17]

(4)

式中wmax為單層球殼結構節點的最大撓度；L為結構跨度。

(3)強度約束條件[18]

(5)

式中Ni為第i根桿件的軸力值；Ani為第i根桿件的凈截面積；Mxi和Myi分別為第i根桿件兩個主軸方向的彎矩值；γx和γy為截面塑性發展系數，此處取值為1.15；Wnxi和Wnyi分別為第i根桿件兩個主軸方向的凈截面抵抗矩；f為構件材料的強度設計值。

(4)穩定約束條件[18]

(i=1,2,3,…,nm)

(6)

(7)

式中λi為第i根桿件的長細比，Ai為第i根桿件的毛截面面積。

(5)構形度約束條件

Blockley教授基于圖論針對桿系結構建立了構形易損性理論[19～21]。Ye等將構形易損性理論用于研究單層網殼結構的失效機理[22]，通過振動臺試驗結果與構形易損性分析結果對比，得出網殼結構在地震作用下的倒塌破壞模式與構形度Q值密切相關，即構形度Q值變化均勻，則結構整體剛度均勻，地震作用下易出現強度破壞倒塌模式；構形度Q值變化不均勻，則結構存在薄弱區域，地震作用下易出現動力失穩倒塌破壞模式?；谏鲜龅顾鷻C理，在優化過程中通過控制構形度Q值的對數標準差，使整個網殼結構的構形度Q值變化均勻，結構在強震作用下的倒塌模式具有強度破壞特征，即

(8)

(9)

式中d為節點數量，qk為節點jk的構形度，qk計算如下

(10)

式中Kkk為結構總體剛度矩陣中與節點jk對應的子矩陣，c為子矩陣Kkk的維數，λi為子矩陣Kkk的特征值，稱為節點主剛度系數，det(Kkk)為子矩陣Kkk的行列式值。

2 優化算法及程序

2.1 遺傳-模擬退火算法

遺傳算法(GA)是基于生物進化理論和遺傳學說而形成的一種隨機概率搜索算法。在遺傳算法中采用染色體表示優化問題的解，通過對染色體的適應度評價和基因的遺傳操作，有效利用已有的信息指導搜索，最終收斂于問題的近似最優解。遺傳算法主要實施步驟如下：(1)編碼和生成初始種群；(2)計算適應度；(3)選擇、交叉和變異；(4)收斂性判斷。模擬退火算法(SA)是基于統計物理學中固體退火過程而建立的一種隨機搜索算法。在模擬退火算法中，將問題的解對應固體的微觀狀態，目標函數值對應固體處于該微觀狀態的能量，控制參數t代替固體退火過程中的溫度。模擬退火算法的具體實施步驟如下：對于控制參數t的每一個取值，算法從某個初始解開始，持續進行“產生新解—概率準則判斷—接受/舍棄”的迭代過程；經過大量變換后，可以得到在給定控制參數t值下優化問題的相對最優解；然后減小控制參數t的數值，重復上述迭代過程。當t趨于0時，算法最終收斂于問題的最優解。

遺傳算法和模擬退火算法能夠解決復雜、高度非線性和具有隱式約束的優化問題。當采用這兩種算法對實際結構進行優化時，遺傳算法存在局部搜索能力不強和早熟收斂的問題，而模擬退火算法存在計算效率低下的問題。針對這兩種算法存在的優缺點，本文采用混合策略構造出遺傳-模擬退火算法(GASA)，其混合策略的內容如下：遺傳算法利用模擬退火算法的解作為初始種群，通過選擇、交叉和變異使后代個體模式更加優良，搜索過程快速進入最有希望的重點區域，防止優化效率遲滯；模擬退火算法對遺傳算法得到的種群進行進一步優化，高溫下的概率接受準則有利于優化過程中狀態大范圍的遷移，避免陷入局部最優；低溫下的概率接受準則有利于優化過程中狀態的局部小范圍移動，防止過早收斂。這種混合策略實現了兩種算法優化機制的融合和優化行為的互補，為解決網殼結構復雜優化問題提供了路徑。遺傳-模擬退火算法的具體實施步驟如下：

(1)編碼：本文采用二進制編碼方案，其優點是搜索能力強，交叉和變異等遺傳操作便于實現，并且適用于處理離散變量的優化問題。設問題的某個離散優化變量xi在取值范圍內存在d個值，則此變量對應的二進制編碼串位數mi應該滿足下式

(11)

(2)適應度函數：適應度函數用于評價個體的優良程度。本文的優化目標是使結構桿件重量最輕，因此構造適應度函數如下

(12)

式中x為當前種群中的一條染色體，f(x)為個體x對應的目標函數值；Wmax為當代種群中個體目標函數的最大值。優化模型中存在約束條件(式(3)～(8)所示)，需要采用懲罰函數將其轉化為無約束條件的優化問題。本文采用Gen和Cheng的懲罰函數[23]，其構造如下：

(3)選擇、交叉和變異：本文采用輪盤賭選擇法，根據當前種群中每個個體的適應度值，選擇比較優良的個體進行下一步的交叉和變異操作，實現“優勝劣汰”。交叉操作是以一定的交叉概率Pc交換父代染色體的部分基因構成新個體。變異操作是以一定的變異概率Pm改變染色體編碼串中某些基因值構成新個體。交叉和變異是遺傳算法中產生新個體的主要操作，交叉概率和變異概率是影響遺傳算子效率的重要參數。本文采用自適應策略根據種群實際情況隨機調整交叉概率Pc和變異概率Pm的大小[24]，即

(4)SA狀態產生函數及溫度參數：SA狀態產生函數采用二變換法，即隨機產生兩個基因座位置，對處于這兩個基因座位置之間的基因采取逆序操作。為了避免初始溫度對于算法優化質量和優化效率的影響，采用自適應策略[25]，根據初始種群中個體適應度確定初始溫度t0，即

t0=-|F0,max-F0,min|/lnpr

(18)

式中F0,max，F0,min為初始種群個體適應度的最大值和最小值，pr為初始接受概率。溫度衰減函數采用指數函數，即

tk+1=αtk

(19)

式中α為溫度下降系數，k為算法當前迭代次數。

(5)概率接受函數：采用Metropolis概率接受準則，即

(20)

式中t為控制參數，F(j)，F(i)分別代表新舊個體的適應度值。從上式可以看出：在算法開始階段，控制參數t較高，算法可以接受較差的惡化解；隨著t值的減小，只能接受較好的惡化解；最后當t值趨于0時，不能接受惡化解。

(6)內外循環終止準則：Metropolis算法的迭代次數采用固定長度法。算法進程的終止準則采用遺傳算法的停止準則，即達到最大進化代數。

2.2 GASA-ANSYS優化程序

采用C++語言編寫GASA算法主程序。采用APDL語言編寫單層球殼結構有限元分析命令流，用于判斷種群中的個體是否滿足式(3)～(7)所示長細比、位移、桿件強度及穩定的約束條件。采用C++語言編制單層網殼結構構形易損性分析程序，計算種群中個體的構形度標準差，用于判斷種群中的個體是否滿足式(8)所示的構形度約束條件。C++程序編譯平臺為Visual C++6.0，ANSYS有限元分析軟件版本為10.0，操作系統為Windows XP。Visual C++6.0編程平臺具有高度靈活的開放式結構，能夠與ANSYS有限元分析相結合實現批處理操作，因此整個程序實現連續化計算，提高了運算效率。優化程序流程如圖1所示。

圖1 單層網殼結構優化程序流程

3 單層球殼倒塌模式截面優化

3.1 結構布置

K6型單層球殼結構的跨度為70 m，矢跨比為1∶3.5，徑向分割數為10，結構布置如圖2所示。整個結構共有930根桿件和331個節點，采用固定支座，分布在結構最外環的每一個節點處。結構桿件均采用Q345鋼管，彈性模量為2.06×108kN/m2，鋼材密度為7.85×103kg/m3，泊松比為0.3。根據《建筑結構荷載規范》(GB50009-2012)，作用于網殼上的各種荷載標準值如下：球殼自重為0.4 kN/m2，節點自重為0.1 kN/m2，屋面板自重為0.6 kN/m2，設備管道自重為0.4 kN/m2，屋面活荷載為0.5 kN/m2，因此作用于單層球殼結構上的均布荷載設計值為：q=1.2×恒荷載+1.4×活荷載=2.5 kN/m2，以等效集中荷載的形式作用于節點上，節點等效荷載為20.5 kN。優化前根據靜力滿應力條件確定結構桿件的初始截面尺寸。

圖2 K6型單層球殼結構布置圖

3.2 優化參數

為了減少優化變量的數量，將結構對稱位置上的桿件進行歸類，每一類桿件的截面規格均相同。歸類處理后，整個結構的桿件分為9類，即存在9組優化變量Di×ti(i=1,2,…,9)。優化變量與桿件位置的對應關系及桿件初始截面尺寸如表2所示。優化過程中，桿件截面尺寸優化變量Di×ti(i=1,2,…,9)按照離散變量進行取值，其取值范圍如表1所示。可以看出每個截面尺寸優化變量Di×ti的取值存在128種，根據式(11)得出每個優化變量Di×ti對應的二進制編碼串位數為7位，所以一條染色體對應的二進制編碼串位數為7×9=63位。

表2 單層球殼結構的桿件分類

3.3 優化結果

為了對比GA算法和GASA算法的優化性能，分別采用GA算法和GASA算法對該結構進行優化。參照GA算法和SA算法常規的計算參數[26,27]，本文算例的優化參數如表3所示。最終得到的目標函數最優值隨算法進程的變化曲線如圖3所示，可以看出結構重量隨算法進程逐漸降低，與GA算法相比，GASA算法可以有效避免搜索進程陷入局部最優。GASA算法的最終目標函數值為50 965 kg，小于GA算法得到的目標函數值54 711 kg，與優化前相比結構重量減輕12%。GA算法和GASA算法的優化結果如表4所示，可以看出，兩種算法得到的優化結果均滿足式(3)～(8)的約束條件。

圖3 單層球殼優化的目標函數值變化曲線

表3 單層球殼結構優化參數

表4 單層球殼結構的優化結果

圖4 優化后球殼的荷載-節點位移全過程曲線

圖5 優化后球殼的自由簇構形度Q值變化曲線

圖6 優化后球殼的地震波峰值-最大節點位移曲線 (縱坐標為輸入PGA/優化前的臨界PGA)

按照一致缺陷模態法，對優化后的單層球殼施加L/300初始缺陷，采用弧長法對其進行彈塑性穩定全過程分析，其荷載-位移曲線如圖4所示?？梢钥闯?，優化后的單層球殼結構的失穩臨界荷載為104.2 kN，大于5倍的等效節點力，滿足靜力穩定性要求?；跇嬓我讚p性理論，對優化后的單層球殼結構進行構形易損性分析，得到自由簇構形度Q值的變化規律如圖5所示?？梢钥闯?，與優化前相比，優化后單層球殼結構的自由簇構形度變化均勻，沒有較大波動，說明優化后的單層球殼結構整體剛度均勻。

采用ANSYS有限元軟件對優化后的單層球殼結構進行動力時程分析。桿件采用BEAM189單元。BEAM189是ANSYS中的三節點梁單元，基于Timoshenko梁元理論，該梁在非線性分析中能考慮大變形、大轉角和大應變效應?？紤]鋼材的本構關系，假設材料為理想彈塑性，屈服準則采用Miss屈服準則。同時考慮幾何非線性，阻尼假定為Rayleigh阻尼，阻尼比取0.02，基底分別三向輸入El-Centro地震波和TAFT地震波。結構的重力荷載代表值為q=恒荷載+0.5×雪荷載=1.75 kN/m2，以等效集中質量的形式作用于節點上。逐級提高輸入地震波加速度峰值(PGA)，直至結構發生倒塌破壞，得到兩種地震波作用下結構相對地震波加速度峰值-最大節點位移曲線如圖6所示。優化前結構在El-Centro地震波和TAFT地震波作用下的極限PGA分別為2 200和2 000 gal；優化后結構的極限PGA分別為2 120和1 900 gal，仍然達到了抵御未預料的罕遇地震設防水平。從圖6可以看出，優化后結構在隨機選取的兩種地震波作用下，強度破壞特征均更加顯著，結構延性增強，即球殼在較低水平PGA下，產生一定撓度，可被使用者察覺和及時加固修復，進而避免結構一旦經受未預料的強震時發生突然性倒塌破壞。

4 結 論

(1)本文以結構重量最輕為優化目標，以桿件截面為優化變量，建立單層球殼結構優化模型。優化模型考慮了長細比、撓度、桿件強度及穩定性約束條件，保證優化后的結構滿足規范和規程要求。同時基于結構在強震下的倒塌模式與構形度關系，將構形度標準差亦作為約束條件，保證優化后結構在強震下呈現理想的、有征兆的強度破壞特征。

(2)以遺傳算法(GA)為主體流程，將模擬退火算法(SA)的優化機制引入其中，基于混合策略得到遺傳-模擬退火優化算法(GASA)。GASA算法通過GA控制算法流程和種群并行搜索策略，與SA算法相比，提高了計算效率。通過SA的概率接受準則，賦予搜索過程中各狀態可控的概率突跳性，與GA算法相比，能夠避免陷入局部最優。同時，采用自適應策略削弱了算法對計算參數的依賴性。

(3)采用C++語言編寫GASA優化程序，與APDL語言編寫的結構有限元分析命令流相結合，得到GASA-ANSYS優化程序。采用該優化程序對跨度為70 m的單層球殼結構進行桿件截面尺寸優化。優化結果表明：優化后結構重量較優化前有較為明顯的下降，同時在強震下的倒塌模式具有明顯的強度破壞特征，因此GASA-ANSYS優化程序適用于大型單層球面網殼結構強震下倒塌破壞模式的截面優化問題，且優化效果顯著。

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