拉普拉斯特征向量相關(guān)譜及其在滾動軸承故障診斷中的應(yīng)用

歐 璐， 于德介， 王翠亭

(湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長沙 410082)

引 言

機(jī)械設(shè)備故障診斷的本質(zhì)是根據(jù)設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)信息進(jìn)行特征提取和模式識別[1]。在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障中，有30%的故障是由滾動軸承引起的，滾動軸承工作狀態(tài)的好壞將直接影響到整臺機(jī)械設(shè)備的工作狀態(tài)，因此軸承故障診斷技術(shù)已得到廣泛的重視[2]。隨著設(shè)備的日益復(fù)雜，反映設(shè)備狀態(tài)的信息量越來越大，數(shù)據(jù)維數(shù)也越來越高，從而導(dǎo)致一些故障診斷方法(如模糊邏輯[3]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]，支持向量機(jī)等[5,6])的效率迅速下降。研究如何有效地從狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)中提取故障特征，對提高故障監(jiān)測與診斷的準(zhǔn)確性具有重要意義。

譜方法是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一種經(jīng)典的分析和代數(shù)方法,其在高維數(shù)據(jù)的低維表示和聚類問題中有著廣泛的應(yīng)用[7,8]。該方法首先根據(jù)給定的樣本數(shù)據(jù)集定義一個(gè)描述成對數(shù)據(jù)點(diǎn)相似度的關(guān)系矩陣，并計(jì)算此矩陣的特征值和特征向量；然后選擇合適的特征向量，投影得到數(shù)據(jù)的低維嵌入。如果相似度矩陣定義在一個(gè)給定的圖上，比如圖上的鄰接矩陣、拉普拉斯(Laplacian)矩陣等，則稱為譜圖方法。近年來，隨著譜圖方法在流形學(xué)習(xí)中的深入研究，其應(yīng)用也越來越廣。JIANG等提出了一種新的監(jiān)督流形學(xué)習(xí)算法——監(jiān)督拉普拉斯特征映射(Supervised Laplacian Eigenmap，S-LapEig)，用于提取高維故障數(shù)據(jù)中的內(nèi)在流形特征[9]。與傳統(tǒng)的降維方法主元分析(Principal component analysis，PCA)、線性判別分析 (Linear discriminant analysis，LDA)和Laplacian特征圖算法相比，S-LapEig能大大提高分類性能。YU等采用局部保持映射算法提取有效的特征集，進(jìn)而分別采用多變量統(tǒng)計(jì)量和基于高斯混合模型的軸承性能退化評估模型來評估軸承的性能退化，都取得了很好的效果[10,11]。譜圖方法的特征提取和維數(shù)簡約能力在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域有了一些應(yīng)用，但在數(shù)據(jù)故障模式直接分類識別上的應(yīng)用尚未見研究。

拉普拉斯特征向量相關(guān)譜定義為拉普拉斯矩陣特征向量之間夾角余弦的絕對值，通過對拉普拉斯矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交分解得到，其表示形式是一種對稱矩陣，能清晰反映數(shù)據(jù)在全局范圍內(nèi)的相互關(guān)系。由于不同類別故障樣本在特征空間的投影方向不同，所以可以用拉普拉斯特征向量相關(guān)譜來進(jìn)行滾動軸承故障的模式識別。本文提出了基于拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的模式識別方法，并將其應(yīng)用于滾動軸承故障診斷。應(yīng)用實(shí)例表明，基于拉普拉斯特征向量相關(guān)譜可以有效地識別滾動軸承故障，是一種有效可行的滾動軸承故障診斷方法。

1 拉普拉斯特征向量相關(guān)譜

1.1 譜圖方法簡介

譜圖方法主要通過圖的各種矩陣表示(主要是拉普拉斯矩陣和鄰接矩陣)來研究矩陣的譜性質(zhì)(如特征值和特征向量)，從而刻畫圖中包含的信息，并通過幾何、分析和代數(shù)的技術(shù)在離散空間和連續(xù)空間之間建立聯(lián)系[12,13]。

設(shè)G=(V，E)是有n個(gè)頂點(diǎn)的簡單圖(不含環(huán)和重邊)，其中V=(v1，v2，…，vn)表示頂點(diǎn)集合，E=(el，e2，…，em)表示邊集合。圖G的鄰接矩陣定義為一個(gè)n×n矩陣A(G)=(aij)，其中當(dāng)vi和vj相鄰時(shí)aij=1；當(dāng)vi和vj不相鄰時(shí)aij=0。令d(vi)表示頂點(diǎn)vi的度，圖G的拉普拉斯矩陣定義為

L(G)=D(G)-A(G)

(1)

式中D(G)=diag(d(v1)，d(v2)，…，d(vn))是圖G的度對角矩陣。

拉普拉斯矩是建立在鄰接矩陣的基礎(chǔ)上，具有鄰接矩陣不包含的頂點(diǎn)度信息，能更好地反映圖中蘊(yùn)含在頂點(diǎn)之間的關(guān)系。

1.2 拉普拉斯特征向量相關(guān)譜

本文在譜圖理論的基礎(chǔ)上，提出了拉普拉斯特征向量相關(guān)譜，定義為拉普拉斯矩陣特征向量間夾角余弦的絕對值。由拉普拉斯特征向量相關(guān)譜可構(gòu)建對稱的拉普拉斯特征向量相關(guān)譜矩陣，具體計(jì)算方法如下：

(1)用已知標(biāo)號類別和未知標(biāo)號類別的樣本點(diǎn)構(gòu)建一個(gè)近鄰圖G。總共m個(gè)樣本點(diǎn)，其中，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)對應(yīng)樣本xi。如果xi與xj足夠近，則有邊連接，例如，xi是xj的k近鄰節(jié)點(diǎn)或者xj是xi的k近鄰節(jié)點(diǎn)，否則，沒有邊連接；本文取k=m/2。

(2)如果節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j是連通的，即有邊連接，則令(i,j=1,2,…,m)

Sij=exp(-d(xi,xj)2/2σ2)=exp(-d(xi,xj)2/t)

(2)

式中d(xi,xj)為樣本xi與xj之間的歐式距離，σ為一個(gè)合適的常數(shù)，表示熱核的寬度，在本文中令

式中t表示所有樣本點(diǎn)之間的平均歐式距離；否則，沒有邊連接，Sij=0。加權(quán)矩陣S稱為圖G的相似矩陣，它用來衡量近鄰樣本點(diǎn)之間的相似性，描述了數(shù)據(jù)空間的固有局部幾何結(jié)構(gòu)；S中元素的值越大，表明兩個(gè)樣本越相近，越有可能屬于同一類，反之，則越有可能屬于不同類。

(3)定義單位向量

I=[1,…,1]T

(5)

對角矩陣

D=diag(SI)

(6)

則得到拉普拉斯矩陣矩陣[9]

L=D-S

(7)

其中I為m維單位向量。

(4)對半正定矩陣L求解其特征方程

|L-λI|=0

(8)

根據(jù)特征向量的定義(i,j=1,2, …,m)

Lφi=λiφi

(9)

令對角矩陣

γ=diag(λ1,λ2,…,λm)

(10)

正交矩陣

φ=[φ1,φ2,…,φm]

(11)

則可以得到

L=φγφT

(12)

(5)令由特征向量組成的單位正交矩陣

(13)

則將拉普拉斯矩陣標(biāo)準(zhǔn)正交分解為

L=ηTη

(14)

(6)拉普拉斯特征向量相關(guān)譜矩陣R第i行j列的元素R(ij)定義為(i,j=1,2,…,m)

(15)

式中ηki為單位正交矩陣的第i個(gè)特征向量的第k個(gè)元素；R(ij)為第i個(gè)樣本與第j個(gè)樣本的相關(guān)譜值，其物理意義為第i個(gè)樣本與第j個(gè)樣本在特征空間的夾角余弦的絕對值，用以衡量這兩個(gè)樣本間的相似程度。

(7)由于同類樣本間的相關(guān)譜值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不同類樣本間的相關(guān)譜值，因此在相關(guān)譜矩陣R中定義一個(gè)閾值ε，對其進(jìn)行處理得到優(yōu)化后的相關(guān)譜矩陣R′

(16)

R′(ij)不為零表示第i個(gè)樣本與第j個(gè)樣本屬于同一類，為零則表示第i個(gè)樣本與第j個(gè)樣本不屬于同一類。由于相關(guān)譜矩陣是對稱矩陣且只有有限種狀態(tài)，因此根據(jù)同一行或者同一列的非0元素屬于同一類的判別準(zhǔn)則，觀察矩陣的前若干行或者列就可以識別故障類別。

矩陣的構(gòu)建和分解在譜圖理論中起著很重要的作用，相關(guān)譜的表達(dá)形式也是一種矩陣，它通過標(biāo)準(zhǔn)正交分解拉普拉斯矩陣得到的特征向量來描敘樣本間的相互關(guān)系。該方法無需對特征集進(jìn)行篩選，分類精確度高，并且適用于小樣本實(shí)驗(yàn)；同時(shí)，它將分類問題轉(zhuǎn)化為求特征值問題，不需要迭代計(jì)算，具有計(jì)算過程簡單、運(yùn)算速度快等特點(diǎn)。相比神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，該方法不會依賴于使用者的經(jīng)驗(yàn)知識，不存在考慮網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性以及泛化能力的問題；相比二分類的支持向量機(jī)而言，該方法可以進(jìn)行多類故障分析，不需要考慮核函數(shù)及其參數(shù)調(diào)整對結(jié)果的影響。

由于不同類別故障樣本在特征空間的投影方向不同，所以可以通過分析特征向量相關(guān)譜矩陣來進(jìn)行滾動軸承故障的模式識別。

2 故障診斷原理

由以上分析可知，拉普拉斯特征向量相關(guān)譜可以對滾動軸承狀態(tài)進(jìn)行分類，進(jìn)而診斷滾動軸承故障，其故障診斷流程見圖1所示，該流程主要包括特征提取和模式識別兩部分。

圖1 故障診斷流程圖

2.1 特征提取

當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)故障時(shí)，時(shí)域信號的幅值和概率分布將會發(fā)生變化；信號中的頻率成分、不同頻譜的譜峰位置也將發(fā)生變化。因此，通過描述信號時(shí)域波形和頻域波形分布等特征，可以反映振動信號的時(shí)域和頻域信息，從而指示故障的出現(xiàn)。為了獲取更多的故障信息，用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition，EMD) 方法對每個(gè)信號進(jìn)行分解得到前若干個(gè)內(nèi)斂模態(tài)分量(Intrinsic mode function，IMF)，然后分別計(jì)算每個(gè)IMF的能量熵[14]。其能量熵的定義為

(16)

式中pi為第i個(gè)IMF的能量占整個(gè)信號能量的百分比(i=1,2,…,m)

(17)

式中E為整個(gè)信號的能量

(18)

這里綜合利用時(shí)域、頻域和能量熵的特征參數(shù)。首先，提取信號的11個(gè)時(shí)域特征參數(shù)(T1～T11)和頻域的13個(gè)頻域特征參數(shù)(F1～F13)，然后用同樣的方法提取Hilbert包絡(luò)譜的13個(gè)頻域特征參數(shù)，最后，計(jì)算IMF分量的能量熵得到6個(gè)特征參數(shù)，一共得到43個(gè)特征參數(shù)，其中時(shí)域和頻域參數(shù)如表1所示。

表1 特征參數(shù)

2.2 模式識別

在對故障樣本進(jìn)行特征提取后，再利用拉普拉斯特征向量良好的映射能力，對故障數(shù)據(jù)樣本的特征進(jìn)行相關(guān)譜分析，將故障樣本特征映射到特征空間蘊(yùn)涵的幾何關(guān)系作為分類特征，進(jìn)而識別故障的類別。基于拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的滾動軸承故障診斷方法主要步驟為：

(1)將監(jiān)測對象采集到的數(shù)據(jù)經(jīng)信號預(yù)處理構(gòu)成振動信號的樣本空間；

(2)分別提取振動信號時(shí)域、頻域和IMF能量熵的特征，共計(jì)43個(gè)特征參數(shù)，組成特征空間；

(3)計(jì)算特征集的拉普拉斯特征向量相關(guān)譜，得到相關(guān)譜矩陣，組成模式空間；

(4)根據(jù)相關(guān)譜矩陣分類結(jié)果得到診斷信息。

本文方法的最大優(yōu)點(diǎn)是直接對特征集進(jìn)行處理，無須再進(jìn)行故障特征選擇，降低了故障診斷的難度。同時(shí)，由于故障樣本的特征維數(shù)在相關(guān)譜矩陣中沒有體現(xiàn)，從而使得診斷過程和結(jié)果直觀易理解。

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 滾動軸承故障識別

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，用實(shí)測滾動軸承故障振動數(shù)據(jù)進(jìn)行故障模式識別分析。試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用美國Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)。測試軸承為6205-2RS JEM SKF深溝球軸承，電機(jī)負(fù)載約為735.5 W，軸承轉(zhuǎn)速為1 772 r/min，試驗(yàn)使用電火花加工技術(shù)在軸承上布置單點(diǎn)故障，故障直徑為0.355 6 mm，深度為0.279 4 mm，在此情況下采集到正常、內(nèi)圈單點(diǎn)電蝕、外圈單點(diǎn)電蝕和滾動體單點(diǎn)電蝕4種狀態(tài)的振動信號，信號采樣頻率為12 kHz，數(shù)據(jù)樣本長度為2 048。用A,B,C,D四個(gè)字母分別代表軸承的正常、滾動體故障、內(nèi)圈故障、外圈故障四種狀態(tài)，其代表性振動加速度信號如圖2所示。

圖2 四種不同狀態(tài)軸承振動信號的時(shí)域波形

由于診斷結(jié)果的表示形式是矩陣，所以本文僅分別取A,B,C,D四種狀態(tài)的樣本各5個(gè)，共計(jì)20個(gè)樣本進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在四種狀態(tài)中各取1個(gè)樣本作為已知樣本，其余樣本作為測試樣本。

樣本空間分兩部分組成：前4個(gè)樣本由已知樣本按照A，B，C，D順序排列；其余16個(gè)樣本由測試樣本隨機(jī)排列，組成20×2 048的樣本空間；其次，對其進(jìn)行特征提取，每個(gè)樣本提取43個(gè)特征，組成20×43的特征空間；最后，根據(jù)拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的計(jì)算方法得到20×20相關(guān)譜矩陣R。由于R中大部分?jǐn)?shù)值的數(shù)量級都在10-8以下，所以令閾值ε=10-8，取兩位有效數(shù)字，得到優(yōu)化后的相關(guān)譜矩陣R′，如圖3所示。

在圖3中，左上角的4×4單位矩陣表示4種狀態(tài)的已知樣本。由于相關(guān)譜矩陣是對稱矩陣且只有4種狀態(tài)，因此根據(jù)同一行或者同一列的非0元素屬于同一類的判別準(zhǔn)則，觀察矩陣的前4列或者前4行即足以識別故障類別。以觀察相關(guān)譜矩陣的前4列為例：第1列的第6,8,11,17個(gè)元素非0，同為A狀態(tài)；第2列的第5,12,13,18個(gè)元素非0，同為B狀態(tài)；第3列的第7,9,14,20個(gè)元素非0，同為C狀態(tài)；第4列的第10,15,16,29個(gè)元素非0，同為D狀態(tài)，與實(shí)際情況一致。可見，本文方法可以有效實(shí)現(xiàn)滾動軸承故障的分類識別。

3.2 不同故障程度的內(nèi)圈故障識別

仍采用美國Case Western Reserve University電氣工程實(shí)驗(yàn)室的滾動軸承試驗(yàn)數(shù)據(jù)。在同樣的實(shí)驗(yàn)設(shè)備和條件下，內(nèi)圈故障試驗(yàn)使用電火花加工技術(shù)在軸承內(nèi)圈上布置單點(diǎn)故障，故障直徑分別為0.177 8，0.355 6，0.711 2和1.422 4 mm，在此情況下采集到4種狀態(tài)的內(nèi)圈單點(diǎn)電蝕的振動信號，信號采樣頻率為12 kHz，數(shù)據(jù)樣本長度為2 048。用B1,B2,B3,B4分別代表四種直徑的內(nèi)圈故障狀態(tài)，其振動加速度信號時(shí)域波形如下圖4所示。

圖3 相關(guān)譜矩陣R′

取4種狀態(tài)的樣本各5個(gè)，共計(jì)20個(gè)樣本進(jìn)行不同故障程度的內(nèi)圈故障識別實(shí)驗(yàn)。在4種故障狀態(tài)中各取1個(gè)樣本作為已知樣本，其余樣本作為測試樣本。

圖4 4種不同故障直徑的軸承內(nèi)圈故障振動信號時(shí)域波形

樣本空間分兩部分組成：前4個(gè)樣本由已知樣本按照B1,B2,B3、B4順序排列；其余16個(gè)樣本由測試樣本按照故障類別的順序排列，組成20×2 048的樣本空間；其次，對其進(jìn)行特征提取，每個(gè)樣本提取43個(gè)特征，組成20×43的特征空間；最后，根據(jù)拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的計(jì)算方法得到20×20相關(guān)譜矩陣RB。由于RB中大部分?jǐn)?shù)值的數(shù)量級都在10-11以下，所以令閾值εB=10-11，取兩位有效數(shù)字，得到優(yōu)化后的相關(guān)譜矩陣RB′，如圖5所示。

在圖5中，左上角的4×4單位矩陣表示4種狀態(tài)的已知樣本，觀察相關(guān)譜矩陣的前4列：第1列的第5,6,7,8個(gè)元素非0，同為B1狀態(tài)；第2列的第9,10,11,12個(gè)元素非0，同為B2狀態(tài)；第3列的第13,14,15,16個(gè)元素非0，同為B3狀態(tài)；第4列的第17,18,19,20個(gè)元素非0，同為B4狀態(tài)，與實(shí)際情況一致。可見，本文方法可以有效實(shí)現(xiàn)不同故障直徑的滾動軸承內(nèi)圈故障的分類識別。

4 討 論

(1)在相關(guān)譜矩陣中任選1列(行)進(jìn)行分析判斷，有以下三種情況

a)該列(行)元素全部小于閾值ε，表明該列(行)不含有故障樣本間的相關(guān)譜信息，所以不能用于故障的分類識別；

b)該列(行)元素中存在大于閾值ε的元素，但不含有已知樣本的指導(dǎo)信息，所以只能進(jìn)行樣本的分類，不能進(jìn)行樣本故障類別的識別；

c)該列(行)元素中存在大于閾值ε的元素，且含有已知樣本的指導(dǎo)信息，可用于樣本故障類別的識別。

圖5 相關(guān)譜矩陣RB′

本文滾動軸承故障識別應(yīng)用實(shí)例中，滾動軸承狀態(tài)類別有4種，因此，只有選取帶有已知樣本的4列或者4行才能完整地進(jìn)行故障的分類和識別。

(2)滾動軸承狀態(tài)特征集是由時(shí)域、頻域、包絡(luò)譜和IMF能量熵4部分共計(jì)43個(gè)特征參數(shù)組成。選取不同的特征參數(shù)，其分類精度也不同。以a,b,c,d四種特征集進(jìn)行分析，其中特征集a只提取時(shí)域特征；特征集b提取時(shí)域和頻域特征；特征集c提取時(shí)域、頻域和包絡(luò)譜特征；特征集d提取時(shí)域、頻域、包絡(luò)譜和IMF能量熵特征。對滾動軸承故障識別應(yīng)用實(shí)例，4種特征集下選取的相關(guān)譜矩陣閾值ε如表2所示。

表2 不同特征集下的相關(guān)譜矩陣閾值

從表2可以看出，特征集a由于提取的特征太少，相關(guān)譜矩陣不能正確進(jìn)行軸承故障分類；而與特征集b,c,d對應(yīng)的相關(guān)譜矩陣均能正確進(jìn)行軸承故障分類，且隨著特征集提取的特征數(shù)的增加，相關(guān)譜矩陣分類的閾值相應(yīng)減小，表明相關(guān)譜矩陣的分類精度也逐步提高。

(3)對滾動軸承故障識別應(yīng)用實(shí)例取4個(gè)已知樣本進(jìn)行平行試驗(yàn)，其中測試樣本分別取4個(gè)、8個(gè)和12個(gè)，分類結(jié)果和實(shí)際情況完全一致，進(jìn)一步說明了方法的有效性。

5 結(jié) 論

本文提出了拉普拉斯特征向量相關(guān)譜，并將其應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷。該方法通過對原始故障信號進(jìn)行特征提取，將復(fù)雜多維的原始樣本空間投影到相互正交的特征空間，根據(jù)特征向量的相關(guān)譜矩陣進(jìn)行故障判別與診斷。主要結(jié)論如下：

(1)拉普拉斯特征向量相關(guān)譜定義為拉普拉斯矩陣特征向量之間夾角余弦的絕對值，它是通過對特征集的拉普拉斯矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)正交分解得到的，具有計(jì)算過程簡單、運(yùn)算速度快等特點(diǎn)。

(2)基于拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的滾動軸承故障診斷方法根據(jù)相關(guān)譜矩陣中已知樣本所在的行或列來進(jìn)行故障的分類識別，隨著特征集中特征數(shù)的增加，相關(guān)譜矩陣的分類精度也相應(yīng)提高。該方法的特點(diǎn)是將故障模式識別問題轉(zhuǎn)化為求解特征值問題，分類精度高。應(yīng)用實(shí)例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

(3)應(yīng)該指出，拉普拉斯特征向量相關(guān)譜的適用性依賴于具體問題，在故障診斷中的應(yīng)用還存在算法控制參數(shù)的有效選擇問題，如近鄰參數(shù)k和熱核參數(shù)t的選擇等。如何自適應(yīng)地選擇最優(yōu)參數(shù)尚需進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] Diallo D, Benbouzid M E H, Hamad D, et al. Fault detection and diagnosis in an induction machine drive: A pattern recognition approach based on Concordia stator mean current vector[J]. IEEE Trans. Energy Convers, 2005,20(3):512—519.

[2] Beniz R, Sutera A, Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance[J]. The Journal of Physical A, 1981,14(11):4 453—4 572.

[3] HU Qinghua, LIU Jinfu, YU Daren. Mixed feature selection based on granulation and approximation[J]. Knowledge Based Systems, 2008,21(4):294—304.

[4] JACK L B, NANDI A K, MCCORMICK A C. Diagnosis of rolling element bearing faults using radial basis function networks[J]. Applied Signal Processing, 1999,6:25—32.

[5] Hyun Joon Shin. One-class support vector machines-an application in machine fault detection and classification[J]. Computers & Industrial Engineering, 2005,48:395—408.

[6] FEI Shengwei, ZHANG Xiaobin. Fault diagnosis of power transformer based on support vector machine with genetic algorithm[J]. Expert Systems with Applications, 2009,36(8):11 352—11 357.

[7] Andrew Y Ng, Michael Jordan, Yair Weiss. On spectral clustering: analysis and an algorithm[J]. Advances in Neural Information Processing Systems, 2001,14：849—856.

[8] 孔敏,湯進(jìn),羅斌.基于拉普拉斯圖的譜特征的圖像聚類研究[J].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,37(9):1 125—1 129.KONG Min, TANG Jin, LUO Bin. Image clustering based on spectral features of Laplacian graph[J]. Journal of University of Science and Technology of China, 2007,37(9):1 125—1 129.

[9] JIANG Quansheng, JIA Minping, HU Jianzhong, et al. Machinery fault diagnosis using supervised manifold learning[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009,23(7):2 301—2 311.

[10] YU Jianbo. Bearing performance degradation assessment using locality preserving projections[J]. Expert Systems with Applications, 2001, 38(6):7 440—7 450.

[11] YU Jianbo, LIU Meifang, WU Hao. Local preserving projections-based feature selection and Gaussian mixture model for machine health assessment[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C, Journal of Mechanical Engineering Science, 2011,225(7):1 703—1 717.

[12] Chung F R K. Spectral Graph Theory[M]. Fresno: American Mathematical Society, 1997.

[13] Mari C V Nascimento, Andr C P L F De Carvalho. Spectral methods for graph clustering: A survey[J]. European Journal of Operational Research, 2011,211(2):221—231.

[14] LEI Yaguo, HE Zhengjia, ZI Yanyang. A new approach to intelligent fault diagnosis of rotating machinery[J]. Expert Systems with Applications, 2008,35:1 593—1 600.