周向導波在不同連續性條件多層圓筒中的傳播

張慧玲， 何 斌， 宋林輝， 尹曉春

(1.南京工業大學力學部，江蘇 南京 211816；2.南京理工大學理學院，江蘇 南京 210094)

引 言

多層厚壁圓筒結構，可以根據使用環境和使用功能的要求，對各層材料和結構進行設計，滿足耐壓、耐磨、耐高溫、耐腐蝕等高性能要求，同時又可以節省高品質材料和制造費用。因此，多層圓筒是常用的一類工程結構件，在核反應堆結構、混凝土結構中的腐蝕監測、水下設備，智能結構，薄涂層結構和生物結構模擬等領域都有廣泛的應用[1～6]。多層圓筒的疲勞裂紋往往萌生于層間界面。由于它具有曲面邊界形式，波的反射特性復雜，導致“超聲-回響”等傳統的裂紋和缺陷的超聲檢測方法不能有效地進行檢測。因此，需要提出新的有效的無損檢測手段，避免裂紋擴展造成嚴重的后果。

超聲導波是一種替代方法，它可以沿著層的方向傳播，并在層厚方向形成駐波，具有較遠距離、實時檢測、充分利用結構幾何特性的優勢。目前梁、板等結構中導向波的傳播已經得到廣泛研究[7]，單層圓筒類結構中軸向導波的傳播也已被研究[8]。Qu等也研究了圓環、軸筒結構等簡單筒體類結構中周向導波的傳播[9,10]。考慮到層間界面缺陷，本人已經研究了雙層碳納米管和雙層圓筒等雙層圓筒結構中的周向導波傳播[11,12]。然而，多層圓筒結構的使用工況，更容易造成層間界面處萌生徑向裂紋。從外層表面激發的的非軸對稱型的周向導波，可以在某些激勵頻率下，使若干特定的波模態，在層間界面附近集中能量，從而能夠檢測出清晰的波群信號(反映波的能量傳播特征)。因此，有必要仔細研究多層厚壁圓筒的周向導波波場的物理特性。本文研究了不同連續性條件的多層厚壁圓筒結構中周向導波的傳播特性，考察了不同連續性條件對頻散曲線和位移曲線的影響，為多層圓筒結構中，采用周向導波的無損檢測方法來檢測界面特性，提供理論依據。

1 周向導波問題的理論推導

不考慮體力時，第i層筒的位移運動方程為[13]

(1)

式中ui為第i層筒的位移矢量，Vi表示該層筒結構占有的空間區域，cLi和cTi分別是第i層筒的縱波波速和剪切波波速, 兩波速依賴于第i層筒的材料質量密度ρi、Lamé常數λi和μi。第i層筒的邊界條件為

=Fi在Si上

(2)

式中Si表示Vi的邊界，n為邊界上的外法線單位應力，▽ui表示位移梯度，T表示轉置。

圖1 多層圓筒結構橫截面示意圖

由矢量的Helmholtz分解，第i層筒的位移矢量場ui可分解為包含集散波標量勢φi和等容波矢量勢ψi的表達式

ui=▽φi+▽×ψi

(3)

式中 勢函數φi和ψi滿足如下波動方程

(4a)

(4b)

在平面運動中，矢量勢ψi的只有z方向的分量，即

(4c)

采用分離變量法，可得

φi=fi(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(5a)

ψZi=gi(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(5b)

式中

(6a)

(6b)

式中Jn(x)和Yn(x)分別為n階第1類和第2類Bessel函數。

采用極坐標系，第i層筒的位移分量為

(7a)

(7b)

由線彈性材料的Hooke定律，第i層筒的應力分量為

(8a)

(8b)

給定多層圓筒結構的內外表面都為自由表面，則邊界條件為

(9)

在多層圓筒這一部分中，變量中的上標1表示內層圓筒， 上標i表示第i層圓筒，上標N表示外層圓筒。

對于光滑連接的多層筒，在接觸面上，法向應力和法向位移都連續，切向應力為零，所以連續性條件表述為

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

對于固結連接的多層筒，在接觸面上，應力和位移都連續，所以連續性條件表述為

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

將方程(6)代入方程(5)，然后代入方程(7)～(9)和(10)，或和(11)，得到一個含有4N個未知常量A=[A1,B1,C1,D1,…,Ai,Bi,Ci,Di,…,AN,BN,DN，CN]T的4N階齊次方程組。為了分析問題方便，對變量采取無量綱化處理，令

最后得到表達式

[dmn]A=0

(12)

(13)

這就是多層圓筒中周向導波的頻率方程。

頻率方程(13)求解之后，代入方程(12)，就可以求出非零特征矢量A=[A1,B1,C1,D1,…,Ai,Bi,Ci,Di,…,AN,BN,CN,DN]T。然后把特征矢量A代入方程(6)，再代入方程(5)和(3)，得到周向導波的位移波型分量

ur(r,θ,t)=Ur(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(14a)

uθ(r,θ,t)=Uθ(r)exp(inθ)exp(-iωt)

(14b)

其中

(15)

式中W(r)為一個2×4N階矩陣。

2 數值計算及討論

考慮到計算量太大，以表1和2中的參數為數值算例，研究周向導波在不同類型多層厚壁圓筒中的傳播特性。

表1 材料參數

表2 幾何參數

2.1 頻散曲線的基本特征

圖2 三層光滑連接鋼筒中周向導波頻散曲線的最初10階模態和Rayleigh波

2.2 連續性條件對頻散曲線的影響

以表2中的光滑連接和固結連接兩種連續性條件的三層鋼筒TSST和TWST為例，并將它們和三組單層鋼筒STST，SIST和SOST的頻散曲線一起比較，研究連續性條件對頻散曲線的影響。

圖3(a)，(b)，(c)，(d)分別為三層圓筒與單層圓筒的頻散曲線第1～4階模態比較，從圖3(a)～(d)可以看到，固結三層圓筒TWST的頻率始終高于光滑連接三層圓筒TSST，可見光滑連接方式降低了多層圓筒的頻率。而對于固結多層圓筒，由其連續性條件特點可知，它在層間界面上的位移與應力均應保持連續一致。也就是說，固結的多層筒實際上就應該和一個同材料、同尺寸的單層圓筒性質完全一致，而圖3中的曲線完全印證了這一點，即所有模態中固結三層鋼筒TWST與同尺寸同材料的單層鋼筒STST的頻散曲線完全一致。

從圖3(a)～(b)中可以看出，在低階模態時，三層鋼筒TSST和TWST，都比較接近于內層鋼筒SIST的頻散曲線，特別是光滑連接三層鋼筒TSST，在第1階模態時，頻散曲線非常接近于內層鋼筒SIST。說明此時內層筒對多層筒的低階模態頻散曲線起主導作用，特別對于光滑連接的多層圓筒來說，用具有第1階模態的外激勵周向導波檢測內層筒的裂紋和缺陷更加有效。圖3(c)和(d)還顯示，對于第3階和第4階模態，三層鋼筒TSST和TWST的頻率始終低于單層內筒和外筒的頻率。特別是在比較高的頻率時，三層鋼筒TSST和TWST都與具有相同內外徑的單層筒STST頻率非常接近，說明層間界面效應開始弱化，對于同一高階模態，與雙層筒相比[12]，多層筒和同厚度的單層筒曲線要在較高波數時才會出現重合，因此多層筒比雙層筒的層間弱化要慢。但是同樣像雙層筒一樣[12]，對于三層筒及至多層筒，也可以得出一個重要結論，檢測層間界面裂紋的周向導波的選擇范圍，應該集中于低階模態上。

圖3 三層圓筒與單層圓筒的頻散曲線第1～4階模態比較

2.3 壁厚對頻散曲線的影響

以表3中的變壁厚的三層鋼筒為例，每層鋼筒(表1中材料參數)取相同的厚度，層間光滑接觸，研究壁厚對多層圓筒頻散曲線的影響。

表3 幾何參數

圖4(a)～(f)分別為不同壁厚三層圓筒的頻散曲線第1～6階模態比較，從圖4中可以看出，在1階模態時，壁越厚頻率越大，而且差別很大。對于2至4階模態，頻散曲線比較接近，壁厚對頻散曲線影響很小；而對于5階以上模態，隨著筒壁越來越薄，頻率越來越高。因此，對于周向導波的無損檢測方法，選用受壁厚影響較小的2至4階模態的周向導波，來檢測多層筒界面的裂紋和缺陷更加有效。

2.4 連續性條件對位移曲線的影響

(16)

并作正規化處理，即除以各自的最大位移值得

(17)

圖4 不同壁厚三層圓筒的頻散曲線第1～6階模態比較

圖5 光滑連接位移波型圖

圖6 固結連接位移波型圖

由前面的工作知，檢測多層圓筒層間界面裂紋的周向導波選擇范圍，可能應該集中于低階模態上。再由圖5(b)和圖6(b)合成位移分布，無論是光滑連接還是固結連續性條件，多層筒第2階模態能量同樣也集中在界面附近，進一步證實了第2階模態最具有檢測界面裂紋的應用價值。因此，像雙層筒一樣[12]，應該將變頻器設置成優先激發具有第2階模態頻率的周向導波，以實現對界面裂紋的無損檢測目的。

3 結 論

(1)周向導波在多層厚壁圓筒中傳播時，雖然理論公式和雙層筒不一樣，但是進行數值分析時發現了許多相同和不同的地方。多層筒同樣也會發生明顯的頻散現象和模態干涉現象，但是多層筒的模態干涉現象更為頻繁。

(2)通過和同厚度的單層筒頻散曲線比較，發現高階模態時兩者都出現層間界面弱化現象，但是對于同一高階模態，多層筒和同厚度的單層筒曲線要在較高波數時才出現重合，因此多層筒比雙層筒的層間弱化要慢。

(3)從合成位移曲線來看，多層筒進一步說明了第二階模態具有檢測界面裂紋的重要價值，因為它在多層筒的所有界面處都具有集中能量的特點。

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