拋物線動(dòng)點(diǎn)問題探究

宋娜

拋物線動(dòng)點(diǎn)問題是最近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，中考常將拋物線的動(dòng)點(diǎn)問題作為壓軸題出現(xiàn)。所謂“拋物線動(dòng)點(diǎn)問題”，是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)趻佄锞€上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的平面圖形的性質(zhì)，再根據(jù)已知條件找出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行求解。既然是動(dòng)點(diǎn)，能否用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來解決呢？下面用幾個(gè)例子來探究怎樣用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)解決此類問題。

例1：如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)。（1）求該拋物線的解析式； （2）在拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由。

分析：（1）由A、B點(diǎn)坐標(biāo)可求出拋物線解析式：y=-x2-2x+3. （2）由題知點(diǎn)B（-3，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是第二象限的拋物線上的點(diǎn)，△PBC的面積最大值，也就是取決于動(dòng)點(diǎn)P的位置。

若過點(diǎn)P做x軸的垂線交BC于點(diǎn)G，交x軸于H，則可將△PBC分成兩個(gè)同底的三角形，分別為△PGB與△PGC，同時(shí)這兩個(gè)三角形的高可以平移到x軸上，則S△PBC=S△PGB+S△PGC=■PG×BG+■PG×OG=■PG（BG+OG）=■PG×OB. 題中OB的長度是確定的，也就轉(zhuǎn)化成求PG的最大值。而PG的長度可由P點(diǎn)的縱坐標(biāo)和G點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差求得，可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，則P（x，-x2-2x+3），G點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是x，而直線BC解析式可由點(diǎn)B、C求得y=x+3. 所以，G（x，x+3），則PG=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x=-（x+■）2+■，可見當(dāng)P（■，■），△PBC的面積最大。此方法適用于在拋物線上尋找一點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大。

另解：（篇幅所限，略）。

例2：如圖2，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。（1）求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)G拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：（1）令y=0，得出A（-1，0），）B（3，0），C（2，-3），直線AC：y=-x-1.（2）此問可以這樣分類考慮，以A、C、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，在圖中已經(jīng)存在一條線段AC，分別以AC為對(duì)角線和一條邊來考慮。當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖3，此時(shí)CG//x軸，由平行四邊形對(duì)邊平行且相等，G點(diǎn)的縱坐標(biāo)與C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，都是-3， 點(diǎn)G1坐標(biāo)為（0，-3）。可見，G點(diǎn)向右平移了兩個(gè)單位得到C點(diǎn)，同樣A點(diǎn)向右平移兩個(gè)單位得到F1點(diǎn)，即F1（1，0）。

當(dāng)AC為平行四邊形的一條邊時(shí)候，如圖4，AC的對(duì)邊FG可看作由AC平移得到，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F.由于C點(diǎn)縱坐標(biāo)是-3，F(xiàn)點(diǎn)縱坐標(biāo)是0，所以F點(diǎn)由C向上平移3個(gè)單位，同樣G點(diǎn)由A點(diǎn)向上平移3個(gè)單位，A點(diǎn)縱坐標(biāo)是0，則G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3。所以，當(dāng)y=3時(shí)，拋物線y=x2-2x-3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可求為G2（1+■，3），G3（1-■）。當(dāng)G2（1+■，3）是由A（-1，0）向右平移2+■個(gè)單位得到，同樣C點(diǎn)向右平移2+■個(gè)單位得到2+（2+■）=4+■，F(xiàn)2（4+■，0）；當(dāng)G3（1-■，3）是由A（-1，0）向左平移-1-（1-■）=-2+■個(gè)單位得到，同樣C點(diǎn)向左平移-2+■得到2-（-2+■）=4-■，F(xiàn)3（4-■）.

如圖5，可將AC向下平移，此時(shí)CG//x軸，C、G關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，則G（0，-3），即C（2，-3）點(diǎn)向左平移兩個(gè)單位，同樣A（-1，0）向左平移兩個(gè)單位得到F4（-3，0）.

【解題策略】動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題：一般已知兩個(gè)點(diǎn)，其他兩點(diǎn)具有一定的條件限制，判斷是否存在滿足該條件并能夠成平行四邊形的點(diǎn)；或已知三個(gè)點(diǎn)，問是否存在第四個(gè)點(diǎn)使這四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為平行四邊形。此時(shí)，要先利用平行四邊形的性質(zhì)確定點(diǎn)的存在性，然后分情況討論，再觀察計(jì)算平移的方向和距離。由此例題可見，畫圖這一步很重要，因?yàn)殡S著點(diǎn)（線）的移動(dòng)，與之相關(guān)的一些圖形肯定隨著改變，而且點(diǎn)（線）平移到不同的位置，我們要研究的圖形可能會(huì)改變，同時(shí)可以考慮到多種情況，不容易漏解。所以，一定要畫圖，不能憑空想象。

（遼寧省瓦房店市第三初級(jí)中學(xué)）