拋物線動點問題探究

宋娜

拋物線動點問題是最近幾年中考的一個熱點題型，中考常將拋物線的動點問題作為壓軸題出現。所謂“拋物線動點問題”，是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在拋物線上運動的一類開放性題目。解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數學知識解決問題，結合已經學過的平面圖形的性質，再根據已知條件找出動點的運動規律進行求解。既然是動點，能否用運動的觀點來解決呢？下面用幾個例子來探究怎樣用運動的觀點解決此類問題。

例1：如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點。（1）求該拋物線的解析式； （2）在拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由。

分析：（1）由A、B點坐標可求出拋物線解析式：y=-x2-2x+3. （2）由題知點B（-3，0），點C（0，3），點P是第二象限的拋物線上的點，△PBC的面積最大值，也就是取決于動點P的位置。

若過點P做x軸的垂線交BC于點G，交x軸于H，則可將△PBC分成兩個同底的三角形，分別為△PGB與△PGC，同時這兩個三角形的高可以平移到x軸上，則S△PBC=S△PGB+S△PGC=■PG×BG+■PG×OG=■PG（BG+OG）=■PG×OB. 題中OB的長度是確定的，也就轉化成求PG的最大值。而PG的長度可由P點的縱坐標和G點的縱坐標的差求得，可設P點的橫坐標是x，則P（x，-x2-2x+3），G點的橫坐標也是x，而直線BC解析式可由點B、C求得y=x+3. 所以，G（x，x+3），則PG=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x=-（x+■）2+■，可見當P（■，■），△PBC的面積最大。此方法適用于在拋物線上尋找一點與已知點構成的三角形面積最大。

另解：（篇幅所限，略）。

例2：如圖2，拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2。（1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；（2）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：（1）令y=0，得出A（-1，0），）B（3，0），C（2，-3），直線AC：y=-x-1.（2）此問可以這樣分類考慮，以A、C、F、G四點為頂點的四邊形為平行四邊形，在圖中已經存在一條線段AC，分別以AC為對角線和一條邊來考慮。當AC為對角線時，如圖3，此時CG//x軸，由平行四邊形對邊平行且相等，G點的縱坐標與C點的縱坐標相同，都是-3， 點G1坐標為（0，-3）。可見，G點向右平移了兩個單位得到C點，同樣A點向右平移兩個單位得到F1點，即F1（1，0）。

當AC為平行四邊形的一條邊時候，如圖4，AC的對邊FG可看作由AC平移得到，C點對應點為F.由于C點縱坐標是-3，F點縱坐標是0，所以F點由C向上平移3個單位，同樣G點由A點向上平移3個單位，A點縱坐標是0，則G點的縱坐標為3。所以，當y=3時，拋物線y=x2-2x-3對應的點可求為G2（1+■，3），G3（1-■）。當G2（1+■，3）是由A（-1，0）向右平移2+■個單位得到，同樣C點向右平移2+■個單位得到2+（2+■）=4+■，F2（4+■，0）；當G3（1-■，3）是由A（-1，0）向左平移-1-（1-■）=-2+■個單位得到，同樣C點向左平移-2+■得到2-（-2+■）=4-■，F3（4-■）.

如圖5，可將AC向下平移，此時CG//x軸，C、G關于對稱軸x=1對稱，則G（0，-3），即C（2，-3）點向左平移兩個單位，同樣A（-1，0）向左平移兩個單位得到F4（-3，0）.

【解題策略】動點產生的平行四邊形問題：一般已知兩個點，其他兩點具有一定的條件限制，判斷是否存在滿足該條件并能夠成平行四邊形的點；或已知三個點，問是否存在第四個點使這四個點所構成的四邊形為平行四邊形。此時，要先利用平行四邊形的性質確定點的存在性，然后分情況討論，再觀察計算平移的方向和距離。由此例題可見，畫圖這一步很重要，因為隨著點（線）的移動，與之相關的一些圖形肯定隨著改變，而且點（線）平移到不同的位置，我們要研究的圖形可能會改變，同時可以考慮到多種情況，不容易漏解。所以，一定要畫圖，不能憑空想象。

（遼寧省瓦房店市第三初級中學）