數(shù)學(xué)悖論發(fā)展概述

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(北京市第八中學(xué))

一、引言

悖論也叫逆論和反論，指自相矛盾的荒謬結(jié)論。悖論是一個(gè)與數(shù)學(xué)物理等自然科學(xué)以及哲學(xué)、語言學(xué)息息相關(guān)的論題，對(duì)數(shù)學(xué)史的推進(jìn)和發(fā)展起到了重要的作用。悖論主要有三種形式：第一種叫做佯謬，指的是某論斷貌似一定是錯(cuò)誤的，其實(shí)是正確的；第二種叫似是而非的悖論，指的是某種論斷貌似一定是正確的，實(shí)際上是錯(cuò)誤的；第三種叫做邏輯悖論，是指前提沒有明顯錯(cuò)誤的情況下，經(jīng)過一系列看似正確的推理，得出了兩個(gè)完全相反的結(jié)論。本文將對(duì)數(shù)學(xué)悖論的歷史、經(jīng)典的數(shù)學(xué)悖論及數(shù)學(xué)悖論的影響進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

二、數(shù)學(xué)悖論的歷史

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)與畢達(dá)哥拉斯悖論有著密不可分的聯(lián)系。畢達(dá)哥拉斯悖論產(chǎn)生的時(shí)代，數(shù)系正在從自然數(shù)向有理數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充。當(dāng)時(shí)的人們認(rèn)為，所有數(shù)都可以由有理數(shù)來表示，即表示為兩個(gè)整數(shù)的比值，但希帕索斯卻發(fā)現(xiàn)了“等腰直角三角形的直角邊和斜邊不可公度”的悖論。相傳希帕索斯在船上劃出了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，而被畢達(dá)哥拉斯派的人扔進(jìn)海里。正是這個(gè)發(fā)現(xiàn)引起了數(shù)學(xué)思想的巨大變革，數(shù)學(xué)史上將其稱為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。此后，越來越多的悖論相繼被提出，人類的數(shù)學(xué)思想因此也更進(jìn)一步。

三、經(jīng)典的數(shù)學(xué)悖論

1.說謊者悖論

說謊者悖論最早被提出是在公元前六世紀(jì)。在一個(gè)叫做克里特島的地方，有一面墻上寫著一句話“寫在這面墻上的話是假的”，這是這面墻上的唯一一句話。我們不妨設(shè)這句話所敘述的命題為Q，當(dāng)人們對(duì)這句話的真假進(jìn)行判斷時(shí)就會(huì)陷入矛盾：如果Q為真，則墻上的這句話是真話，與話中“墻上的話是假的”矛盾；如果Q為假，則墻上的是假話，話中“墻上的話是假話”則是真話，也同樣存在矛盾。以上便是說謊者悖論的完整內(nèi)容。說謊者悖論中，“在這面墻上的話”來指代“這面墻上寫的話是假的”是“以部分指代整體”，所以這種因部分的真實(shí)存在而違背了整體存在的辯證規(guī)律是由于主觀虛構(gòu)與思維混亂造成的，因?yàn)樯鲜龅霓q證規(guī)律必須以客觀存在為根據(jù)。說謊者悖論事實(shí)上是人類的認(rèn)識(shí)發(fā)展到某一個(gè)層次后，對(duì)自己的語言進(jìn)行的一種檢討思索，在世界各地古代的各種不同的書籍中也都有關(guān)于說謊者悖論的記載。中國的墨子曾說過一句話，大意是：若一句話為真話是成立的，那么這句話為真話也是假的。由此可見，說謊者悖論所涉及的語言問題是每一個(gè)民族在發(fā)展過程中都要經(jīng)歷的一個(gè)反思過程。

2.羅素悖論

在20世紀(jì)初，科學(xué)界都沉浸在一片寧靜祥和中，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為科學(xué)大廈已經(jīng)基本建成，剩下的科學(xué)家只能對(duì)大廈進(jìn)行一些點(diǎn)綴和修補(bǔ)。法國大數(shù)學(xué)家彭加萊更是曾公開宣稱：數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了，然而時(shí)隔不到兩年，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)就結(jié)束了大家的美夢(mèng)。羅素悖論是世界上最著名的悖論之一，它是由羅素在1902年提出的，是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個(gè)集合論悖論。

羅素在解決集合論問題時(shí)將集合分為兩種：第一種是自身元素的集合，第二種集合為不是自身元素的集合。接下來，假設(shè)S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x∣x ∈S}”。則S是否包含于S？如果假設(shè)S包含于S，則不符合題中x ∈S，所以S包含于S不成立；假設(shè)S不包含于S，于是就符合x ∈S，可推出S包含于S，但因?yàn)榧僭O(shè)中S不包含于S，與S包含于S矛盾，所以假設(shè)也不成立。在悖論提出后，人們紛紛尋找著解決的辦法，有些人希望對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對(duì)集合添加限制而排除悖論，但這需要建立新的規(guī)則，并且規(guī)則必須足夠嚴(yán)格才能保證排除所有矛盾，但同時(shí)規(guī)則又必須盡可能廣闊，才能令康托爾集合論原來的內(nèi)容盡可能的留下來。1908年，策梅洛提出了第一個(gè)公理化集合論體系，在很大程度上彌補(bǔ)了集合論所體現(xiàn)出的漏洞，從而較為成功的解決了人類數(shù)學(xué)史的第三次危機(jī)。同時(shí)，羅素悖論的提出也促使人們開始再次研究基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

羅素悖論是如何被解決的呢？在研究的初級(jí)階段，人們將羅素悖論認(rèn)為是整體與部分的關(guān)系，部分學(xué)者認(rèn)為羅素悖論混淆了整體與部分之間的關(guān)系，但在不斷的研究中發(fā)現(xiàn)這種解釋無法接近羅素悖論的實(shí)質(zhì)，原因有以下幾點(diǎn)：其一，如果羅素悖論可以認(rèn)為是整體和部分之間關(guān)系的混淆，則可以用不矛盾律來進(jìn)行排除，但事實(shí)上人們無法用不矛盾律排除這種可能性；其二，如果在康托爾集合論中出現(xiàn)邏輯矛盾，康托爾集合論體系應(yīng)該可以自己解決，這種現(xiàn)象也同樣適用于各種體系，但悖論卻有不同，在集合論體系內(nèi)出現(xiàn)的悖論在該集合論體系中是無法理解的，體系本身更無法合理的進(jìn)行解釋；其三，悖論在形式上與邏輯矛盾也有不同。悖論的含義是在某個(gè)知識(shí)體系出現(xiàn)一個(gè)命題Q時(shí)，由Q可以推導(dǎo)出非實(shí)際情況，而出現(xiàn)非Q命題時(shí)，Q可以由非Q推導(dǎo)出。而邏輯矛盾的形式意義是某一個(gè)知識(shí)系統(tǒng)里獨(dú)立的出現(xiàn)Q和非Q兩個(gè)命題，所謂獨(dú)立是指Q和非Q兩個(gè)命題是根據(jù)這個(gè)知識(shí)系統(tǒng)的不同的部分推出的互斥命題，Q不是從非Q推出的，非Q也不是從Q推出的。因此從形式上來看，悖論與邏輯矛盾也不能畫上等號(hào)。

羅素悖論的實(shí)質(zhì)在于，它把康托爾集合論的知識(shí)發(fā)展到了集合論的有效領(lǐng)域外，在有效領(lǐng)域外羅素提出了他的悖論。康托爾集合論的主要理論基礎(chǔ)是概括公理與外延公理。因此，康托爾公理具有了以下基本特征：其一是選集的任意性，即在一定的條件下一定會(huì)存在一個(gè)集合；其二是對(duì)于任意的條件，集合都是相互不同的，這說明集合論只對(duì)世界上界限分明的物體有效，而對(duì)那些似是非是的物體無效。羅素悖論的提出，促使人們對(duì)集合論進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，引起了人們對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重視，所以被人們傳頌，成為了世界上最有名的悖論之一。

四、悖論的影響

每一個(gè)悖論的提出都會(huì)引起人們對(duì)于已有觀念的反思甚至重建，使人們重視起原來被忽視的一些問題，這就是悖論的意義。例如，畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn)使人們意識(shí)到：當(dāng)時(shí)的數(shù)系并不足以表示他們所能接觸到的所有數(shù)字，所以出現(xiàn)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，也借此對(duì)已有數(shù)系進(jìn)行了擴(kuò)充；說謊者悖論的提出，讓人們意識(shí)到了語言系統(tǒng)還存在一些小的瑕疵，產(chǎn)生了邏輯矛盾的情況，促進(jìn)了人們對(duì)于語言的完善豐富；羅素悖論的提出則使人發(fā)現(xiàn)集合論的有效范圍是有限的，才讓后人改進(jìn)形成了可拓集合論，而其他諸如量子悖論等著名的悖論也都在不同的領(lǐng)域發(fā)揮了作用。人們?cè)诎l(fā)現(xiàn)矛盾之后，從問題的本質(zhì)出發(fā)，思考悖論在邏輯的本質(zhì)上存在的矛盾，建立新的體系或者是在原有的體系上進(jìn)行完善來避免這些矛盾的產(chǎn)生，從而使得體系變得更加完善，這就是悖論對(duì)于自然科學(xué)和哲學(xué)的影響。

五、總結(jié)

任何一個(gè)學(xué)科的發(fā)展歷程都不是一帆風(fēng)順的，悖論就是一種促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的方式，雖然這種發(fā)展方式不太平穩(wěn)，但是總能引起人們對(duì)于當(dāng)時(shí)一些根深蒂固思想的革新。由于悖論可能導(dǎo)致人們對(duì)一些重要或是十分基礎(chǔ)的理論做出懷疑，所以可能會(huì)引發(fā)人們的慌亂，但是在解決悖論的過程中，知識(shí)體系的擴(kuò)充會(huì)給學(xué)術(shù)界帶來新的知識(shí)與新的力量，在給人們帶來慌亂之后，也給人們帶來新的曙光。