感受數學美的兩個重要途徑

王欽敏

（福建教育學院 數學教研室，福建 福州 350025）

關于數學美的問題，已有許多文章對數學美的外在形式特征進行了反復的歸納總結，也有部分文章以數學美的本質論為題[1~2]，但有些所談論的卻與主題不相關聯，或仍是在對數學美的基本特征進行概括和總結[3]．美的本質問題是傳統美學研究的核心問題，貌似簡單實際上極其復雜，對數學美學研究來說，同樣是一個不能回避的重要問題，也是難以定論的問題．要明白數學美的本質問題是怎樣性質的一個問題，必須先簡要了解歷史上東西方關于美本質與審美問題的主要觀念，以及不同時期的人們對數學美的認知狀況．這里將在這兩個認識基礎上，嘗試性地描繪感受數學美的兩個重要途徑，希望能產生拋磚引玉之效，引發后繼的研究，讓有關認識更接近于數學美的本質．

1 歷史上東西方在美本質與審美問題上存在諸多爭議

東方的美本質論主要是圍繞著生命的體驗而展開的．最初的觀念比較素樸，認為美即感官愉悅，而且是源于個體生理的本能與快感．后來就有了美即是善的說法，主要是儒家等所指的仁義理智等品德之美，有“里仁為美”、“美是外在的善，善是外在的美”[4]等說法．同時也有道家、佛家的“美即是真”的說法，其所謂真，主要指的是萬物的本真與生命的本性，而宇宙萬物各盡其生命真實本性，到達少有束縛的自由與澄明之境，就是到達美的極點．道、佛學說均強調審美者與審美對象之間高度的和諧統一，如莊子有自我與外物相融的“物化”、“物忘”的思想，而佛家有“汝今見物之時，汝既見物，物亦見汝”的說法，禪宗則視真如本性為美，以之為世界的本源，有“青青翠竹，盡是法身；郁郁黃花，無非般若”、“自識本心，自見本性”、“拈花有悟”[5]等說法與典故，這在美學觀念上已到達比較高的境界．

西方的美本質論著重關注審美活動中的主體與客體兩個要素，由畢達哥拉斯創始的客觀論認為，美是宇宙萬物的客觀屬性，美在比例、美在和諧、美在秩序，到了18世紀，法國啟蒙主義者伏爾泰、狄德羅等人都還認同著客觀論，認為美是大自然的屬性．但早在古希臘，智者學派就曾宣揚過主觀論，認為美并非事物的客觀屬性，而是人的一種主觀感受與認識，憑借人的直覺可以將任何事物都當作美來享受．持主觀論的哲學家為數眾多，如黑格爾斷定“美是理念的顯現”，休謨說過，美只存在于觀賞者的心里，每一個人心靈可見出各自不同的美[6]．為了調和二者的矛盾，哲學家康德提出了主客體統一論，他認為，審美經驗不是由單純的感覺所喚起的，也不是由單純的判斷所喚起的，而是由二者的共同作用，以及足以激發二者發生共同作用的事物所喚起的，而且只能由其結構適合于審美者本性的事物所成就．之后有社會客觀論，認為美是指它的社會屬性，美是社會實踐的產物．當前關于美學的教材上，常常以社會客觀論的觀點給美的本質下定義，但這種觀點存在3個不足：忽視了人的內在心理活動，太過簡單化；將美的存在僅定義在勞動上，過于狹窄；強調美是人的本質力量的對象化，但對什么是人的本質力量卻闡述不足．

東西方關于美的本質和審美問題至今仍然存在著諸多爭議，但都開始意識到，美的本質很難被完整把握和精確表述，美學理論經過不斷地變化發展，最后都傾向于論述美與審美是如何發生的問題．美與丑是相對的，但在屬性方面是有分別的，正如數的大小是相對的但仍可有正負的區分一樣．美的事物，通常有較普遍的社會認可．一切美的事物中所蘊涵的美的規律，疊合成美的本質，這個本質也許難以抓摸難以界定，但和其它規律一樣，如果僅就其中相對穩定的成分而言，就可以對它進行逐漸地逼近和透析．

2 研究數學美本質與審美問題不應陷入美學中純客觀論的泥淖

對于數學美，不同時期的人們有不同的看法，古希臘的畢達哥拉斯學派最早意識到數學美的概念，認為萬物皆數，而美體現在由數構成的恰當比例，和諧就是美．哲學家柏拉圖進一步宣揚了這樣的看法，認為美是適度、相稱、和諧和有序，對自然界超感覺的數學結構的追求，就是對美的追求，他把對美的追求視為對“絕對真理”的探索，認為“美是真的光輝”，與中國古代“美即是真”的審美理念相一致．這些樸素見解大致可視為數學美學的“客觀論”，曾被廣泛認同，“哪里有數，哪里就有美”，古希臘普洛克拉斯的這一名言傳頌至今，秉持著都是“見物不見人”的美學觀念．

在17世紀初，培根已開始反對“美在比例”的說法，他把“真”與“美”當作兩個不同的問題，放在不同范疇內研究．在18世紀，傳統形式主義美學家受之前的數學美學觀點的影響，都認為美在于規則和勻稱，但康德指出，不規則不對稱的圖形不一定不美，更加規則與勻稱的圓形也不一定會比正方形更美．被譽為“近代美學之父”的鮑姆加登將美定義為感性認識、秩序和表現的調和，認為美的本質是感官認識到的美，美學的研究對象是憑感官認識到的完善，而邏輯學和自然科學的研究對象是憑理性認識到的完善，完善的理性認識是真，完善的感性認識是美，所以，他已完全地將數學與美隔離開來．但是，數學家們并不太關注他們的這些說法．

數學的高度抽象讓美學家難以登堂入室窺視真相，也就無法感受到數學創造的內涵之美．在20世紀上半葉，數學家龐加萊細致闡述了數學創造中存在著數學美的觀點，他說，科學家研究自然，只是因為它美，可以從中獲得樂趣，他說的美，不是能給感官以印象的美，而是理性范疇有內涵的深奧的美，可以為純粹的理智所掌握．緊接著，許多數學家對之前的將科學與藝術分成互不相干的兩個范疇的美學觀持批判態度，而將數學看作是藝術的一種，并確定地說：一個科學理論成就的大小，事實上就是它的美學價值的大??；科學理論的合理性要在它的審美價值中去尋找，并用它來斷定科學方法的合理性[7]．數學充滿詩意地與美互攜共進，數學研究熱情高漲，是這個年代的顯著特征，當時的世界“數學中心”哥廷根大學所在地的市政廳墻上鐫刻著“哥廷根以外沒有生活”．在哥廷根大學任教的克萊茵也豪壯地宣稱：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，而數學能給予以上的一切．”[8]

在20世紀，數學美被數學家們發展成為一種方法、一種思想．關于數學美的意義，龐加萊曾說過，數學家將他們的方法、他們的結果和美聯系起來，并不是純粹的淺薄涉獵[9]．在很多科學家的工作中，數學美學方法成為頗具實效的研究工具．例如，極有數學天賦的科學家楊振寧長年致力于揭示隱藏在對稱后面的奧秘，在他的工作中，一組漂亮的方程式可以化為一串靈感的源泉，讓他在還沒有實驗證據之前就洞察出物理的世界是怎樣運轉的．物理學家戴森說過：“楊振寧對數學的美妙的品味照耀著他所有的工作．它使他的不是那么重要的工作成為精致的藝術品，使他的深奧的推測成為杰作”，讓他“對于自然神秘的結構比別人看得更深遠一些．”

總之，數學家們對數學美大都有很深的感觸，他們在工作過程中欣賞、品味著異彩紛呈的數學美，將它作為一種方法和思想加以應用，并深入地詮釋數學美學的價值和意義．他們在對數學美產生的根源及其本質進行思考的時候，往往將其歸結為自然宇宙的神奇和偉大，并對之“頂禮膜拜”，這中間有許多道理，但卻也很容易讓他們陷入美學中的純客觀論的泥淖．研究數學美的問題，陷入純客觀論的泥淖而把具有豐富感受力的人這一主體排除在外，就不可能會獲得關于美的正確概念．從美學的角度看，審美體驗中最具魅力的并不是數學本身，而是那些創造數學、發現數學的數學家．也就是說，數學審美是一個實踐的過程，數學家能深刻地感受到數學美，不僅是因為自然宇宙存在著美，更重要的是因為數學家創造心理中存在著靈感、頓悟、自由的心境和深邃的思想．

3 在潛心思考后產生的靈感與頓悟中感受數學美

數學與藝術或其它的學科相比，更喜歡精確和嚴謹的推理．它非常合理，但表面上顯得枯燥無味，似乎沒有了形象也沒有了情感，通常習慣于憑感官去覺察的美，它借以呼吸的一切全都沒有了，這使得數學美與其它的科學美和藝術美間存在著很大的差異，有著獨具一格的審美特性．

切實地看，數學是抽象的，但也不乏有形象，仍然具有許多鮑姆加登所說的可以憑感官認識到的完善．數學的平面曲線、空間曲面與幾何圖形都頗具感性的藝術形象美，經常用于藝術作品的設計，就是抽象的數學符號，也具有一定的形象性，因為由符號構成的公式、定理和表達式常常顯現出有感性審美價值的形式美、對稱美和統一美[9]．

進一步地說，數學的抽象和形象并不完全對立，因為數學并不是一個完全獨立于客觀物質世界的某個思維王國中的自由樂園[10]．所謂的抽象并非絕對的抽象，任何抽象的數學內容，總與形象的圖形等存在著直接或間接的聯系．許多時候，即使這種聯系極其微弱，仍然可以通過人所固有的幾何直覺將抽象內容適度地直觀化、形象化，對其進行感性的觀照和體驗，并將它的邏輯規定和感性形象融合成一體．龐加萊認為數學直覺能使完全抽象的、符號化的數學思維依附于一定的形象思維、直觀思維，“正是通過直覺，數學世界才能依然與真實世界保持接觸，……以填平把符號與實在分隔開的鴻溝”．所以抽象物可以間接地成為人的審美對象，只不過它比藝術的審美更需要精細的感覺．人們對音樂、繪畫之類的藝術美的鑒賞，往往不需具備很多知識即可獲得一定的愉悅感，然而要感知到數學的精致優雅，卻必須清晰地理解包含其中的所有概念，在理性方面做出努力．也就是說，數學的審美活動是人的直覺想象力和邏輯知性協調運作的過程，需要一種基于優秀理解力和想象力的精細感覺．

數學美的感受，常來自于潛心思考后產生的靈感與頓悟．抽象內容逐個被形象化，其感性形象與邏輯規定融為一體，研究范疇內各個抽象物的感性形象將在人的意識“潭水”中化作魚一樣的生命體，逐漸地與人的情感相熔鑄，匯合成物我交融的審美意境．在解決數學問題的過程中，受問題意識驅使，這些像魚一樣的有形象特征的抽象元素可以形成大量的組合．其中某些組合有助于問題的解決，問題越困難，這樣的組合越來之不易．有時候是由于某種機緣的啟發，而大多時候是由于長時間的思考使得所嘗試的組合越來越多，突然促成了一個意想不到的有用組合，就會在剎那間激發思維的火花，這就是所謂的靈感．而如果是突然間在不斷地歸納與概括中對知識整體有了直觀洞識，或者是在百思不得其解時對問題的實質有了透徹理解，瞬間看清了解決問題的途徑，就是所謂的頓悟．靈感與頓悟是數學思維的普遍形態，往往可以讓人在很短的時間內獲得解決問題的方法．靈感綻放新奇的創意，頓悟開啟豁朗的心境，它們都會讓人在獲得與自然相一致的知識時，仿佛覺得是自己的心靈照亮了世界，心曠神怡的審美享受在靈魂深處散播著愉悅和歡快，讓人油然萌發對自然、對智慧的愛與敬畏，滿懷著五彩斑斕的情趣和想象．

靈感與頓悟不是數學所獨有的，也不是能感受到數學美的惟一場合，但卻是獲得數學發現促動審美契機的主要方式之一，在許多時候，正是由靈感與頓悟所彈奏的美麗而甜密的笛聲，誘惑了眾多的數學家，爭先恐后地跳進并沉醉于深深的數學長河．

4 在超越自然后產生的自由與統一中感受數學美

數學的概念與認識從一開始就是人類大腦抽象思維概括的產物，由于在最初定義“點”這個最基礎、最原始的概念時，作了點無大?。ɑ螯c不論大?。┑囊幎?，就使得所建立的數學世界只有在理想的抽象思維中才可能存在．在這個抽象的世界中，線無粗細，面無厚薄，兩個數可以靠得任意近，經過多層次的復雜的抽象與推理，可以建構出一個又一個精致而又宏大的知識理論體系，建立起一個只服從于公理和邏輯的“抽象國”．

在這個“抽象國”中，人類思維超越了自然，脫離了現實世界的沉重束縛，能夠完全地置研究對象的自然性質于不顧，從而為創造與想象開拓了廣闊天地，讓數學家比其它的科學家享有更大的自由：可以自由、冒險地提出各種問題；可以神奇地撮合似乎是毫不相干的兩個符號概念；只要不違背邏輯規律，就可以隨心所欲地搭建起一個個數學理論框架，而理論本身大都已遠遠超越了通常的經驗和常識…，這些都讓數學家們在思維上頗具詩人氣質．集合論發明者康托曾由衷感喟：數學的本質在于它的自由！魏爾斯特拉斯說過，“一個沒有幾分詩人才能的數學家決不會成為一個完全的數學家”；希爾伯特也認為，數學家比詩人更需要想象力．

在這個“抽象國”中，人類超越了自然，反而能更簡單地把握自然，從而擁有更多自由．“世界是一本以數學語言寫成的書，自然界總是按照完美的數學定律在不斷地運動變化”（伽利略），理性通過數學的認識把握了自然界的必然性，讓“實踐理性按照自身的要求而對現實世界施加影響，使經驗世界最大限度地合乎實踐理性的要求”（康德）[11]，就意味著自由．由數學思考發展而成的理性思維讓人類有望洞察永恒和無限，洞觀世界本質，實現“無限謬妄的真正終結”，因而奠定了人格的基礎并在思想上走向自由．

數學美的感受，可來自于超越自然后產生的自由的心境，也可來自于超越自然后產生的理性自由．理性主義美學家笛卡爾認為有了理性才會有美，他說：“思維顯示了人的本質，也顯示了人的偉大，……哪里有理性的使用，哪里才有人，哪里才有高貴，哪里才有美”，“能思維的人是美的，具有秩序、規律的自然是美的，用理性指導的人的行為也是美的．”不僅如此，他還極力否定感性、想象、情感和意志的作用，認為感性是靠不住的，想象不能把握事物的本質，而意志又往往是錯誤的根源．數學讓人類的理性世界變得豐富多彩，同時有效地消解了人與無限和無常的宇宙世界之間的矛盾．擁有理性，擁有自由，不為感性欲求所限制，不受功利意識所支配，帶有令人解放的性質，才能真正感受到審美中的內在精神愉悅[12]．

把取得的數學概念與認識等組織起來，使其成為高度有序的知識系統，可以進一步地抽象與概括出各種類型的不同層次的數學思想方法．這是在數學發展過程中始終貫穿著的一個追求，也就是要盡力地尋找數學概念和方法間的一致性、各種數學理論間的一致性，以及數學和其它科學間的一致性，然后將它們納入同一系統，以獲得更有力、更簡單的方法，最后歸結出一個能統一最多認識的、最完善的數學思想．數學的美，表現在許多方面，但特別表現在數學的思想與精神上[14]．

數學美的感受，亦可來自于超越自然后產生的思想統一．從表面看，萬事萬物在現象上是雜亂、變易和丑陋的，但通過理性的發掘，站在數學思想的高度看，這些雜亂無章變易無常的現象下面卻潛藏著由數學主宰著的和諧有序的統一規律，大自然不再是物體和過程任意堆積起來的無秩序的混亂世界，而是一個和諧的統一整體，深蘊著不易覺察到的靜穆、宏大、冷峻和理性的美．人的認識與大自然規律相統一，就可能在主客同構中超越自然，借助理性洞觀宇宙，體察“天地同根，萬物一體”的涵義．這是一個美的境界，有和鳥兒高高飛起俯瞰大地一樣的觀感，就象數學家丘成桐所說的：“文學的最高境界是美的境界，數學也具有詩歌與散文的內在氣質，達到一定境界后，也能體會與享受到數學之美．莊子所言‘天地與我并生，萬物與我為一’，是數學家追求‘天人合一’的悠然境界．”另一方面，數學的整體一致性是不可動搖的[15]，而尋求數學與其它科學的一致性，就是一個數學向各科學滲透并促其數學化的過程，是一個數學思想應用的過程，也是一個體現數學內在本質力量的過程．再沒有什么比這一事實更令人難忘，數學脫離客觀實際進入抽象的理性王國，似乎是一種操演、一種游戲，但當它返回現實時，在對具體事物進行分析時，最抽象、離現實最遠的東西，反而成為解決現實問題最有力的武器．這是人類精神與智慧最偉大的勝利，同時深刻體現了人類存在于自然的價值和人性最光輝、最美麗的一個部分．

5 結 語

當代美學家針對社會客觀論存在的缺陷，對美的本質理論進行了許多修正與補充，有強調要從創造者的角度來研究美學的，認為美是一種能體現人的自由自覺的創造活動[16]；也有強調美是自由的延續，認為審美是自由的表征，是實現自由的唯一途徑和中介，而美學正是研究這種人性的解放途徑的精神哲學[17~18]．這與文章后兩部分的陳述是相吻合的．

從數學學習心理的角度看，數學教學要實現“情感、態度與價值觀”目標，就應遵循感受心理過程的規律，加強學生對數學美的感受或體驗[19~20]．對于教師來說，要從數學教學的“功利性傾向”轉向“審美性傾向”[21]，需要更多地了解數學美的本質問題，以及如何深層次地感受數學美的問題，對數學和數學教育的發展都是非常有益的[22]．以上的論述給予教師數學教育教學方面的啟示是：（1）靈感與頓悟大多出現在研究與發現的過程中．因此，在學習中研究，在研究中學習，是學習數學理解數學的良好方式，而“課堂教學的最高境界是和學生一起進入思考的前沿”（希爾伯特）．缺少靈感缺少頓悟就會缺少興趣缺少創造性，正如19世紀意大利數學家貝爾特拉米所說的，學生應該及早地像數學大師那樣去追求和進行大量的創造性思考活動，而不要讓學校里那種無休止的練習把自己的頭腦弄得僵化和貧乏，它除了使人消磨意志之外別無其他作用．（2）理性上的自由和思想上的統一高度體現了數學的精神美、思想美和方法美，深刻體現了數學教育的獨特內涵與非凡價值．因而，可以把培養學生的函數思想和空間觀察能力作為數學教學的基礎，其核心在于強調數學的統一性[21]．數學教學不僅要善于引導學生探索知識內部錯綜復雜的細節，認知知識核心及其整體結構，還要善于引導學生領悟能將問題整合起來進行統一認識的數學思想和策略智慧，需要站在思想的高度進行數學的教與學，讓學生在逐步的抽象與概括過程中深化對數學思想的認識．

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