高中數學教材中數學史應用現狀探析
——“第五屆全國數學史與數學教育研討會”之回音

張陽開

（西南大學 數學與統計學院，重慶 400715）

高中數學教材中數學史應用現狀探析
——“第五屆全國數學史與數學教育研討會”之回音

張陽開

（西南大學 數學與統計學院，重慶 400715）

數學史進入數學教材，可以促進學生興趣數學、認識數學、理解數學，最終學好數學．以人教版高中數學教材為研究對象進行統計分析，結果表明：該套教材在滲透數學史上總體比較積極，但仍有一些值得討論的地方．建議：數學史在教材中的分布應更均衡；例題、習題、正文版塊中應滲透更多數學史內容；開發更多關于“數學分支學科形成史”和“中外數學對比史”方面的數學史．

數學史；應用；數學教材

2013年4月13日至14日，第五屆全國數學史與數學教育研討會在海南省海口市海南師范大學隆重舉行，一百三十余名來自國內外的專家、學者參加了此次會議．此次研討會圍繞著主題“數學史與數學教育的整合”展開討論．具體來說，討論內容包括4個方面：數學史與數學教育的整合研究；傳播數學史在文化發展中的意義；公開視頻課程與數學史課程建設；數學史研究新進展．此次研討會共進行了12個大會報告，67個分組報告．在大會報告中，李文林教授再次（在西安舉行的第一屆全國數學史與數學教育研討會中第一次提出）強調提出，“數學史應該為數學教育而歷史”．宋乃慶教授則在大會報告“數學史在中小學數學課程中的應用”中談到：“數學史促進學生興趣數學、認識數學、理解數學，最終學好數學．”深刻地揭示了數學史的教育價值．他還談到：“應將數學史的史學形態轉化為教育形態．”

目前，國內關于數學史與數學教育整合的研究，以義務教育階段居多，既有理論研究[1~2]，也有調查研究[3]，還有開發具有教育形態的數學文化的研究[4~5]．但是，關于數學史在高中數學教育中應用的研究卻還很少．考慮到教材是數學史在教學中呈現的主要載體，在數學史教育中具有重要的作用．這里對高中數學教材（必修系列，下同）中數學史應用的現狀進行探析，以此作為“第五屆全國數學史與數學教育研討會”的回音．

1 數學史進入數學教材的意義

教材是教師教和學生學的依據．數學史進入數學教材既可以豐富教材的素材，也可以豐富教學內容，更重要的是可以促進學生興趣數學、認識數學、理解數學，最終學好數學．

首先，數學史進入數學教材可促進學生興趣數學[6]．愛因斯坦曾說過：“教育不是用‘好勝心’去誘導學生的競爭心理，而是用‘好奇心’去激勵學生的科學興趣．”在傳統講授式教學模式下，教學過程是教師灌輸，學生被動接受，這會使學生對數學產生厭惡心理，不利于激發學生的數學學習興趣．但是，如果在課堂中加入生動、豐富的史實，學生便能了解數學知識的產生及發展過程，感受數學的“火熱”，從而對數學產生好奇心和求知欲，培養數學學習興趣．

其次，數學史進入數學教材可促進學生認識數學．認識數學的首要任務就是要認識數學的價值，樹立正確的數學觀．數學來源于生活，并且應用于生活．數學概念發生、發展的歷史可以讓學生認識到數學并不是數學家們“構造”出來的，而是人類在生活實踐中總結、抽象而來的．數學應用的歷史可以讓學生認識到數學的應用價值，提高在現實生活中的應用數學意識，進而促進學生正確的認識數學，形成正確的數學觀．

最后，數學史進入數學教材可促進學生理解數學．數學教育是數學文化的教育，而數學史又是數學文化的一種載體，數學史融入數學課程有助于學生理解數學、感受數學文化[7]．而且，讀史可使人明“知”．數學專業知識與歷史知識是互補的，專業知識的學習需要歷史知識來幫助分析與思考[8]．學習數學史不僅要學習史實，也要學習數學史背后所蘊含的基本知識、基本技能．例如，數學家高斯兒時求1到100之和的史實中蘊含著等差數列求和的基本方法，學習這一歷史，有利于幫助學生“再創造”等差數列的求和公式，促進學生理解這一數學知識并掌握求等差數列和的技能．可見，數學史進入數學教材，不僅是“史”入教材，還是對教材中數學基本知識的延拓，可以幫助學生更好的理解數學．

2 高中數學教材中數學史應用的現狀分析

數學史有機地融入到數學教育中是數學新課程的基本理念之一[9]．《普通高中數學課程標準（實驗稿）》明確指出，要在高中數學教材以及數學教學過程中滲透有關數學史的內容．在我國“一標多本”的現實數學教育背景下，各個版本的高中數學教材都必須設置數學史的相關內容．為了探析高中數學教材中數學史應用的現狀，在此以我國最具代表性的，使用人數最多的人教版（A版）普通高中數學教科書（以下簡稱高中教材）為研究對象，并從數學史的內容、分布以及呈現方式3方面進行統計分析．

2.1 數學史的內容

統計分析發現，高中教材中涉及的數學史的總量比較多，內容比較豐富，并且和數學的基本知識聯系緊密．下面從數學史的總量、數學史的具體內容以及數學史聯系基本知識的緊密程度3方面進行具體的分析．

2.1.1 數學史總量

高中教材中一共涉及了46個數學史，在各冊中的分布如表1所示．可以看出，必修1、必修2、必修5中應用數學史的總量幾乎持衡．必修4中最少，只有3個．必修3中應用數學史的總量最多，究其原因，主要是必修3中設置了“算法”和“概率統計”的內容，與這兩部分數學內容相關的可被應用的數學史內容很多．算法是中國的數學傳統，古代中國的數學中蘊含著許多算法思想和方法，例如割圓術、秦九韶算法、更相減損術等，可供應用的算法發展史很多．概率與統計則在現實社會生活中具有廣泛的應用，自然會涉及到許多關于應用“概率與統計”知識的歷史．

表1 數學史在各冊教材中的分布

2.1.2 數學史類型

整體來說，高中教材中的數學史內容比較豐富．既有古代數學史，例如“歐幾里得《原本》與公理化方法”，也有近現代數學史，例如“坐標法與機器證明”；既有外國數學史，例如“數學家高斯”，也有中國數學史，例如“割圓術”，還有中外數學史的對比，例如，古代中外數學中求最大公約數的兩種不同方法：中國古代名著《九章算術》中的“更相減損術”和古希臘的“歐幾里得算法（輾轉相除法）”．具體來說，高中教材中應用的數學史在內容上主要涉及以下5種類型：

第一類，數學概念的形成史（記為H1），例如“函數概念的發展歷程”，講述了函數概念的形成及發展過程．雖然數學概念本身是冰冷的，但是其形成過程卻是火熱的．講授數學概念的形成史，讓學生經歷數學概念火熱的形成過程，“再創造”數學，有助于幫助學生更深刻地理解數學概念，并且掌握數學概念．

第二類，數學家及其成就史（記為H2），例如“笛卡爾與解析幾何”，介紹了數學家笛卡爾以及他在數學方面取得的成就．數學家取得的豐功偉績，往往都是他們辛勤付出所得到的回報，這些事跡能激勵學生刻苦學習，培養學生堅忍不拔的毅力．在高中教材中設置數學家及其成就史，學生不僅能夠了解更多的數學巨人，而且還能夠了解他們的研究方向，拓展知識、增長見識．

第三類，數學分支學科的形成史（記為H3），例如“三角學與天文學”，講述了數學的一個重要組成部分三角學從天文學中分離出來的過程．當今的數學是一個由許多分支組成的綜合學科，它的每一個組成部分都有自己的發展歷史．通過學習這些歷史，一方面可以讓學生知曉為什么這些數學分支會成為數學的一部分，另一方面，可以讓學生了解相關的數學知識，加強學生對數學的整體認識．

第四類，數學應用的歷史（記為H4），例如“概率與密碼”，講授了概率在破解密碼中的應用．培養學生的數學應用能力是數學教育的一個重要的價值取向．數學應用包括了兩層意思：一是將所學的數學知識用于解釋或者解決現實生活中的實際問題；二是將生活中的現實問題轉化為數學問題，并運用所學的數學知識去解決它．在高中教材中加入數學應用的歷史，有助于引起教師對數學應用的關注，加強數學應用的教學，進而有利于培養學生的數學應用意識，幫助學生感受數學的價值，最終有利于學生形成正確的數學觀．

第五類，中外數學對比史（記為H5），例如中國古代的“更相減損術”和古希臘的“歐幾里得算法（輾轉相除法）”，講述了古代中外數學中求最大公約數的兩種不同的方法．學習不同國家的數學史可以開拓學生的視野，有利于培養學生的發散性思維．

各種類型的數學史數量如表2所示．可以看出，高中教材中有關“數學應用”的數學史最多，這和中國古代數學的算法化特點有很大的關系[10]．自古代以來，中國數學教育就非常強調數學的應用價值，重視算術教學，數學主要用于計算稅收、丈量田畝等實際問題，在古代名著《九章算術》中一共收錄了246個實際問題，202個術．

表2 各種類型數學史的數量

2.1.3 數學史聯系基本知識的緊密程度

在數學教育中應用數學史既是數學史得到發揚的過程，也是數學教育得到發展的過程．李文林教授從數學史的角度提出，數學史應該“為教育而歷史”．宋乃慶教授則從數學教育的角度的提出，數學教育應該“依歷史而教育”．兩者相互輝映，相互補充，它們共同對數學史與數學教育的整合提出了高要求，即數學史與數學教育要緊密聯系．因此，教材中應用的數學史必須要和數學基本知識緊密聯系．分析發現，高中教材涉及的數學史內容和數學基本知識的聯系都是比較緊密的．例如，在講完“函數及其表示”以后，設置了數學史“函數概念的發展歷程”．通過這一數學史的學習，可以加深學生對函數概念的理解．又如，在講算法的基本概念時加入了數學史“秦九韶算法”，這可以幫助學生構建算法的基本概念，促進算法學習，提高學習效益．上述例子中的數學史和數學基本知識的聯系都很緊密，它們都體現了“為教育而歷史”和“依歷史而教育”的思想．

2.2 數學史的分布

高中教材各個版塊中數學史的分布情況如表3所示．可見，數學史被廣泛地應用于“閱讀與理解”、“例題”、“習題”、“邊框”、“正文”、“章（節）前語”以及其他（包括“實習作業”、“探索與發現”、“小結”、“探究”、“信息技術應用”）版塊．另外，數學史在各個版塊中的分布還具有以下特點：首先，應用數學史最多的版塊是“閱讀與思考”欄目，一共設置了11個數學史內容．這11個“閱讀與思考”欄目均用較長篇幅介紹了與該節數學知識相關的數學史，選取的史料真實、詳盡．其次，高中教材還充分利用了“邊框”（提示框）來設置相關的數學史內容，這可以豐富學生的知識、開拓學生的視野．

表3 高中教材各個版塊中數學史的分布

2.3 數學史的呈現方式

數學史內容的呈現方式指的是教材中呈現數學史內容的具體形式，換句話說，就是數學史內容在教科書中是如何表達的，是以什么樣的視角和形式呈現給學習者的，是以怎樣的姿態面對學習者的[11]．下面從呈現位置和呈現形式兩個方面來討論高中教材中數學史的呈現方式．

2.3.1 呈現位置

呈現位置指教材中數學史與相關數學知識的相對位置．從呈現位置來看，高中教材中數學史的呈現方式多樣，包括了3種：前置方式、并列方式和后置方式．前置方式指數學史在相關數學知識之前呈現，主要用于引出相關的數學知識．例如，在“直線與方程”相關數學知識之前設置了關于笛卡爾與解析幾何的數學史，用以引出解析幾何的相關內容．并列方式指數學史與相關數學知識同時呈現出來，主要用于數學教學過程中促進學生理解相關數學知識．例如，與“回歸”這一數學概念并列設置了數學史“回歸概念的由來”，用以加深學生對“回歸”的理解．后置方式指數學史在數學知識之后呈現，主要用于鞏固知識、加深理解．例如，在對數函數這一基本知識之后設置了數學史“對數的發明”，用以鞏固學生對對數函數的理解．就各種呈現位置的數學史數量來看，后置方式呈現的數學史數量最多，隨后依次是并列方式和前置方式．各種呈現方式呈現的數學史的具體數量如表4所示．

表4 各種呈現方式的數學史數量

2.3.2 呈現形式

呈現形式指數學史在教材中的表現形式，包括圖形呈現、文字呈現、圖文并茂呈現．統計發現，高中教材中數學史的呈現形式涉及了兩種：文字呈現（如圖1所示，通過文字敘述的形式說明“對數的出現早于指數”的數學史實）和圖文并茂呈現（如圖2所示，通過文字的形式介紹數學家貝努里且呈現其頭像）．統計發現，在46個數學史中，文字呈現的有28個，圖文并茂呈現的有18個．可見，就呈現形式來看，高中教材中數學史的呈現形式主要是以文字呈現為主，這和小學學段的圖文并茂呈現為主[12]有所區別，這非常符合學生思維發展的特點（高中生具備更強的抽象思維能力）．

圖1 文字呈現

3 結論與思考

基于上述對高中教材中數學史應用的現狀分析，可以發現：總體來說，高中教材中應用數學史的總量較多，一共有46個；內容較豐富，涉及了古今中外的數學史；數學史在高中教材的例題、習題、閱讀與思考、正文等多個版塊均有所涉及；呈現的位置方式多樣化，包括“前置方式”、“并列方式”和“后置方式”，呈現形式多樣，既有文字呈現也有圖文并茂的呈現．可見，總體來說高中教材對數學史的滲透是比較積極的．盡管如此，為了使高中教材能夠更好的滲透數學史，研究者在此提出幾點思考供同仁們討論．

圖2 貝努里介紹

其一，數學史的分布不均衡，“數學史知識在高中教材中應該有總體上合理的布局”[13]．首先，各冊高中教材中數學史的分布不是很均衡．各冊應用數學史的數量占必修系列教材（5冊）應用數學史總數量的比例如圖3所示．可以看出，必修3與必修4中應用數學史數量相差很大，必修4中數學史的數量還有待增加．

圖3 比例圖

其二，雖然高中教材中涉及數學史的版塊很多，但是涉及數學史最多的一個版塊卻是“閱讀與思考”欄目，并且這些數學史都是以“讀物”的形式呈現出來．眾所周知，高中數學教學在面對高考 “指揮棒”時，往往是考什么就教什么，不考就不教．事實上，在高考的壓力下很少有老師和學生愿意去學習這種“不考”的內容．因此，研究者認為這些作為“讀物”的數學史并不能起到其應有的作用，無法實現其教育價值．鑒于此，數學史應該更多地被滲透到正文、例題、習題、探究版塊中．這些版塊是高中數學知識呈現的重要載體，在其中滲透數學史可以在學生學習數學知識的同時了解數學史，在消化數學史的同時加深對數學知識的理解，兩者相輔相成．

其三，雖然高中教材中應用數學史的類型很廣泛（包含了5種類型的數學史），但是H3和H5的比例太少，還應開發更多關于H3和H5的數學史．數學的每個分支都有其發展歷史，學習這些歷史可以了解它們的發生、發展過程，有助于數學知識的掌握．例如，“三角形和天文學”講述了三角學從天文學中分離出來的歷史，既可以了解三角形的形成歷史，也可以厘清三角學與天文學的聯系．中外數學對比史則可以開拓學生的視野，培養發散性思維．

[1] 付茁．對我國少數民族數學教學中滲透本民族優秀文化的思考[J]．數學教育學報，2009，18（5）：35-37．

[2] 呂傳漢，張洪林．民族數學文化與數學教育[J]．數學教育學報，1992，1（3）：101-104．

[3] 孫衛紅．小學數學新教材“數學文化”學習效果的調查分析[J]．數學教育學報，2004，13（3）：62-63．

[4] 申玉紅，楊啟祥，周長軍．云南德宏傣族服飾中的數學文化[J]．數學教育學報，2013，22（1）：66-69．

[5] 羅永超．侗族數學文化面面觀[J]．數學教育學報，2013，22（3）：67-72．

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[9] 李鐵安，宋乃慶．高中解析幾何教學策略——數學史的視角[J]．數學教育學報，2007，16（2）：90-94．

[10] 俞昕．從算法教學管窺中國古代數學史[J]．數學通報，2010，（2）：24-29．

[11] 劉云，朱維宗．高中數學必修教科書中數學史內容的呈現方式探析[J]．數學教育學報，2012，21（2）：86-89．

[12] 楊豫暉，魏佳，宋乃慶．小學數學教材中數學史的內容及呈現方式探析[J]．數學教育學報，2007，16（4）：80-83．

[13] 王振輝，汪曉勤．數學史如何融入中學數學高中教材[J]．數學通報，2003，（9）：18-21．

Exploration of the Present Situation of Mathematical History Application in Senior Middle School Textbook——Echo of the Fifth National History of Mathematics and Mathematics Education Symposium

ZHANG Yang-kai
(School of Mathematics and Statistic, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The history of mathematics in mathematics textbook can develop students’ mathematics interest, promote students understand and comprehend mathematics, and ultimately master mathematics. The results of statistical analysis to high school mathematics textbooks Published by PEP showed: this version of textbooks is positive for permeating of mathematics history, but there are still some points need to be discussed. Finally, this article put forward three proposals: the distribution of mathematical history in textbooks should be more balanced; more mathematical history should be melt into the parts of “example”, “exercise”and “main body”; should develop more mathematical history resources about “formation history of mathematical branch discipline” and “Chinese and foreign mathematics comparative history”.

history of mathematics; application; mathematics textbook

G40-055

：A

：1004–9894（2014）02–0095–04

[責任編校：周學智]

2013–10–04

教育部哲學社會科學研究后期資助項目——中國基礎教育改革與發展研究（11jhq001）

張陽開（1987—），男，四川會東人，碩士生，主要從事數學教育研究．