二次函數的對稱美

姚曉娟

摘 要： 二次函數的圖像拋物線是軸對稱圖形，解決有關拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則常可以給出簡捷的解法，化難為易，形象直觀.

關鍵詞： 二次函數 拋物線 軸對稱性

數學美，美在哪里？一種美是因為她的對稱和諧，對稱美，是指組成某種事物或對象的兩個部分的對等性，是統一性的特殊表現.數學的對稱美絕不單單體現在一些因對稱而美的圖形，更體現在應用軸對稱性簡單地解決一些問題.二次函數y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像為拋物線，她具有許多優美的性質，如對稱性、單調性、凹凸性等.本文主要研究二次函數的軸對稱性，解決有關拋物線的問題時，若能巧用拋物線的對稱性，則常可以給出簡捷的解法，化難為易，形象直觀.

一、美在形

（一）作圖

研究函數都要先研究函數的圖像，列表、描點、連線，用光滑的曲線連接，會發現二次函數的圖像是軸對稱圖形，可以讓學生自己嘗試畫圖，感受一下，也可以用軟件精準地展示出二次函數的圖形.由于二次函數的圖像是軸對稱圖形，因此列表時我們可以在對稱軸兩側找，簡化作圖步驟，即“五點作圖法”.

（二）二次函數的對稱點式

二次函數y=ax■+bx+c（a≠0）的圖像與x軸相交于點A（x■，0）和B（x■，0），也就是一元二次方程ax■+bx+c=0的解為x■，x■，則根據韋達定理有x■+x■=-■，x■x■=■.所以

y=ax■+bx+c=a（x■+■x+■）=a[x■-（-■）x+■]=a[x■-（x■+x■）x+x■x■]=a（x-x■）（x-x■）.

點A和點B是拋物線上的一組特殊的對稱點，于是我們得到了二次函數的交點式y=a（x-x■）（x-x■），但這種形式僅僅適用于與x軸有交點的二次函數，使用時有其局限性.但是由此我們可以得到二次函數的對稱點式，相當于把二次函數與x軸的交點上下平移，也就是把函數圖像上下平移，這樣A、B兩點的坐標就變為（x■，k），（x■，k），即y=a（x-x■）（x-x■）+k，這就是二次函數的對稱點式.有了它，我們只要知道拋物線上的一組對稱點就可以使用對稱點式求出函數解析式.反過來，如果我們有條件：（x■，k），（x■，k）是拋物線y=ax■+bx+c（a≠0）上的一組對稱點，也就可以得出此拋物線的對稱軸是直線x=■.

二、美在隱

在求二次函數解析式的問題時，要挖掘題中的隱含的條件，利用二次函數的對稱性解題.例：已知x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x■+4x+6的值相等，且m-n+2≠0，則當x=3（m+n+1）時，多項式x■+4x+6的值等于？搖 ？搖.

本題可以引入一個變量，設多項式為y=x■+4x+6=（x+2）■+2.

當x=2m+n+2和x=m+2n時，多項式x■+4x+6的值相等，y值相等，且m-n+2≠0，意味著2m+n+2≠m+2n，那么x=2m+n+2和x=m+2n這兩點是拋物線上的一組對稱點，所以2m+n+2+m+2n=-4，即m+n=-2.所以當x=3（m+n+1）時，多項式y=x■+4x+6=（x+2）■+2=（3m+3n+5）■+2=[3×（-2）+5]■+2=3.

三、美在簡

二次函數圖像是一條具有對稱性的拋物線，如果能合理利用二次函數的對稱性解決相關問題，就會大大簡化解題，達到事半功倍的效果.

例1.初三數學課本上，用“描點法”畫二次函數y=ax■+bx+c的圖像時，列了如下表格：

根據表格上的信息回答問題：該二次函數y=ax■+bx+c在x=3時，y=？搖 ？搖.

本題乍一看需要帶入三個點的坐標，求出a、b、c的值，得到二次函數關系式，然后再代入當x=3時求y的值.但是仔細觀察一下，當x分別取0和2時，對應的y值都是-2■，根據二次函數的軸對稱性可以確定二次函數的對稱軸為x=1，再來看要求x=3時求y的值，根據二次函數的軸對稱性應該等于x=-1時的y值，從而可以很快得到y=-4.巧妙運用二次函數的軸對稱性可以大大簡化解題，從而節省解題時間.

例2.已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO.

（1）試直接寫出點D的坐標；

（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP.

①若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得|TO-TB|的值最大.

本題最后一問要用二次函數的對稱性解決，存在點T，使得|TO-TB|的值最大.由前面可得拋物線y=■x■-■x的對稱軸為直線x=■，設拋物線與x軸的另一個交點為E，則點E（■，0），∵點O、點E關于直線x=■對稱∴TO=TE要使得|TO-TB|的值最大，即使得|TE-TB|的值最大.根據三角形兩邊之差小于第三邊可知，當T、E、B三點在同一直線上時，|TE-TB|的值最大.設過B、E兩點的直線解析式為y=kx+b（k≠0），∴3k+b=2■k+b=0，解得：k=■b=-2，∴直線BE的解析式為y=■x-2.當x=■時，y=■×■-2=-1，∴存在一點T（■，-1）使得|TO-TB|最大.

本題借助拋物線的軸對稱性，把位于對稱軸兩側的點變換到了同一側，使得問題轉化為三角形的邊之間的關系，使得解題思路簡單清晰.

古代哲學家普洛克拉斯說過：哪里有數學，哪里就有美.作為科學語言的數學，具有一般語言文學與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，即數學美.就二次函數而言，由于拋物線是軸對稱圖形，因此對稱性在學習二次函數的過程中發揮了非常重要的作用.對于有關二次函數的一些題目，如果用其他方法解決可能就會繞很長的彎路，但若利用二次函數的對稱性，數形結合地解決問題，就會事半功倍.