巧用幾何直觀 妙解“雞兔同籠”

許勇

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設法”來求解。如果假設這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因為把兔看成了雞。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當然，也可以假設這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經過分析和研究，我發現了這樣一種解法（如圖1）：用兩個長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數，寬分別表示雞和兔的只數。因為長方形的面積=長×寬，所以，兩個長方形的面積分別表示雞的總腳數（每只雞的腳數×雞的只數）和兔的總腳數（每只兔的腳數×兔的只數），兩個長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數形結合”，將“雞兔同籠”問題轉化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據兩個長方形的面積和以及兩個長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個長方形的寬各是多少呢？因為每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數），則寬就應該是：94÷2=47。這時新長方形的寬（雞的只數+兔的只數+兔的只數），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）多47-35=12，實際多出的12就是兔的只數，當然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個新的長方形。這時新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數），寬就應該是94÷4=23.5（兔的只數+雞的只數的一半），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）少35-23.5=11.5，實際上少的11.5就是雞的只數的一半，因此雞的只數就是11.5×2=23（只），則兔的只數是35-23=12（只）。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當前數學教育界在修訂數學課程標準、實施課程改革時對幾何直觀的關注度，也充分說明幾何直觀對于學生的數學學習的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于學生探索解決問題的思路、預測結果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征中發現了數量之間的聯系，實現了“數”與“形”的相互轉化，達到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學中，如果教師能引導學生運用“數形結合”的方法去分析問題和解決問題，學生學起來就會輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學生能從中充分體驗到幾何直觀的作用和優勢，從而有效地發展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學）

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設法”來求解。如果假設這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因為把兔看成了雞。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當然，也可以假設這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經過分析和研究，我發現了這樣一種解法（如圖1）：用兩個長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數，寬分別表示雞和兔的只數。因為長方形的面積=長×寬，所以，兩個長方形的面積分別表示雞的總腳數（每只雞的腳數×雞的只數）和兔的總腳數（每只兔的腳數×兔的只數），兩個長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數形結合”，將“雞兔同籠”問題轉化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據兩個長方形的面積和以及兩個長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個長方形的寬各是多少呢？因為每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數），則寬就應該是：94÷2=47。這時新長方形的寬（雞的只數+兔的只數+兔的只數），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）多47-35=12，實際多出的12就是兔的只數，當然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個新的長方形。這時新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數），寬就應該是94÷4=23.5（兔的只數+雞的只數的一半），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）少35-23.5=11.5，實際上少的11.5就是雞的只數的一半，因此雞的只數就是11.5×2=23（只），則兔的只數是35-23=12（只）。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當前數學教育界在修訂數學課程標準、實施課程改革時對幾何直觀的關注度，也充分說明幾何直觀對于學生的數學學習的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于學生探索解決問題的思路、預測結果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征中發現了數量之間的聯系，實現了“數”與“形”的相互轉化，達到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學中，如果教師能引導學生運用“數形結合”的方法去分析問題和解決問題，學生學起來就會輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學生能從中充分體驗到幾何直觀的作用和優勢，從而有效地發展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學）

我國古代有一趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這四句話的意思是說有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？

這就是著名的“雞兔同籠”問題。解答這類題目一般用“假設法”來求解。如果假設這35只全是雞，每只雞有2只腳，35只雞就有35×2=70只腳，但實際上有94只腳，相差94-70=24只腳。這是因為把兔看成了雞。我們知道，每把一只兔看成一只雞就會少4-2=2只腳，那么把多少只兔看成雞就能少24只腳呢？這樣，就可以求出兔的只數是：24÷2=12（只），則雞就有35-12=23（只）。當然，也可以假設這35只全是兔，解題思路同上。隨著大家對“雞兔同籠”問題的深入研究，出現了一些另類解法，比如“砍足法”和“抬足法”等。

經過分析和研究，我發現了這樣一種解法（如圖1）：用兩個長方形的長分別表示每只雞和每只兔的腳數，寬分別表示雞和兔的只數。因為長方形的面積=長×寬，所以，兩個長方形的面積分別表示雞的總腳數（每只雞的腳數×雞的只數）和兔的總腳數（每只兔的腳數×兔的只數），兩個長方形的面積和就表示雞和兔一共有94只腳。通過“數形結合”，將“雞兔同籠”問題轉化成了幾何中的“面積問題”。原來要求雞和兔各多少只，就可以根據兩個長方形的面積和以及兩個長方形的長，分別求出它們的寬。怎樣來求兩個長方形的寬各是多少呢？因為每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，所以，下面的長方形的長實際是上面長方形的長的2倍，我們把下面的長方形從中間切開，平分成左右兩部分，就可以把原來的組合圖形拼成一個新的長方形（如圖2）。

由于新長方形的面積是94（94只腳），長是2（每只雞的腳數），則寬就應該是：94÷2=47。這時新長方形的寬（雞的只數+兔的只數+兔的只數），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）多47-35=12，實際多出的12就是兔的只數，當然雞就是35-12=23（只）。

除此之外，還有另外一種拼法（如圖3）。

原來的組合圖形通過變形，仍然可以拼成一個新的長方形。這時新長方形的面積是94（94只腳），長是4（每只兔的腳數），寬就應該是94÷4=23.5（兔的只數+雞的只數的一半），比原來兩個長方形的寬（雞的只數+兔的只數）少35-23.5=11.5，實際上少的11.5就是雞的只數的一半，因此雞的只數就是11.5×2=23（只），則兔的只數是35-23=12（只）。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》把幾何直觀作為十大核心概念之一提出來，足見當前數學教育界在修訂數學課程標準、實施課程改革時對幾何直觀的關注度，也充分說明幾何直觀對于學生的數學學習的重要性。那么，什么是幾何直觀呢？幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于學生探索解決問題的思路、預測結果。在“雞兔同籠”問題的新解中，我就是充分利用幾何直觀，把抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，從圖形的直觀特征中發現了數量之間的聯系，實現了“數”與“形”的相互轉化，達到了化難為易、化繁為簡、化隱為顯的目的。在“雞兔同籠”問題的教學中，如果教師能引導學生運用“數形結合”的方法去分析問題和解決問題，學生學起來就會輕松愉快，容易掌握且印象深刻。更重要的是，學生能從中充分體驗到幾何直觀的作用和優勢，從而有效地發展他們的幾何直觀能力。

（作者單位：重慶市開縣漢豐第五中心小學）