初探《九章算術》開方術

楊麗霞

【摘要】《九章算術》是我國的經典數學著作，本文試從《九章算術》少廣章開方問題，介紹開方術及劉徽注，開方術程序思想，以及中國古代的開方算法對當前新課程標準下的中學數學教學的意義。

【關鍵詞】九章算術 開方術 程序 新課標

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0148-02

《九章算術》成書于公元前1世紀，是中國數學經典著作。《九章算術》集先秦到西漢數學知識之大成，奠定了中國古代數學的整體框架和思想方法。

1.《九章算術》開方術及劉徽注

《九章算術》少廣章第12題至16題論述開方問題。例 [一二] 今有積五萬五千二百二十五步。問方為幾何。

開方術曰：“置積為實，借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算步之如初。以復議一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復除折下如前。”

公元三世紀，數學家劉徽對《九章算術》作了原著的注釋（以下簡稱《徽注》）。本文以《九章算術》開方術術文為依據，以劉徽注文為參考，如下選擇兩個問題，對開方術作一些探討。

1.1 歷次除法中的“法”與所得各位商的關系

不妨設所求的被開方數R的平方根為100a+10b+c，它是面積為R 的正方形（圖中的外大方） 的一邊之長。又設“黃甲”、“黃乙”、“黃丙”等正方形的一邊之長依次為100a、10b、c。

在開方過程中，第1次除法中的“法”為100a，首商100a，兩者數值相同，所以劉徽稱這種除法為：“上下相命，是自乘而除也”。第2次除法中的“法”是200a+10b，次商為10b，“ 法”中的前項200a，術文稱之為“定法”，其幾何意義，如劉徽所說，是“豫張兩面朱冪定裹”；“法”中的后項l0b，劉徽注稱：“欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也”。此處所謂“如初之所得”，應理解為象第l次除法那樣，將“法”中的10b與次商10b通過“自乘而除”達到除去“黃乙之冪”的目的。同理，第3次除法中的“法”是2（100a+10b）+c，第3位商是c“法”中的前部分2（100a+10b），術文也稱之為“定法”，其幾何意義，也如《徽法》所云：“是則張兩青幕之裹”。

上面總共進行了三次除法，從幾何圖形上看，第1次除去了“黃甲之冪”，第2次除去了“朱冪”與“黃乙之冪”，第3次除去了“青冪”與“黃丙之冪”。以上所述歷次除法中的“法”，在數值上不僅與“開方術”相符，而且與《徽注》一致。

1.2“ 法”在開方籌算式中的位置

我們知道，開方的中心問題是尋求歷次除法中的“法”。為此，應首先確定各類“法”中的每個數字在籌式中的位置。其次才是確定每個位置上的那些具體數字。故劉徽后在“開立方術”中有這樣的注語：“且置一算定其位”。劉徽所說的“其位”究竟是指什么位置呢？ 在上列中，第2次除法中的“法”為200a+10b，當l≤b≤4時與當5≤b≤9 時，“法”200a+10b的最高位的位置是不同的，就是說“法”的位置將隨試除中所議得的數字a的不同而可能有所差別，這就給確定“法”的位置帶來了困難。為此，開方術的造術者巧妙地將借算定在“法”200a+10b的后項位置即10位上，然后通過將議得的數字b與10相乘再與“定法”200a相加（以復議一乘之，所得副以加定法）而得“法”。所以劉徽所說的“其位”，應指各“法”的最后數字所在的位置。

顯然，在各類“法”之位確定之后。再要確定各類“法”中的各具體數字，只要通過并不難理解的試除以及隨后的乘法就可達到目的。[1][2]

2.開方術的程序思想

下面以對55 225 開方（即“少廣章”第12 題） 為例來解釋一下開方術：

“置積為實。借一算步之，超一等。”（實是被開方數的意思。被開方數從右開始兩個數字為一位，將借算寫在最左邊位上的最右邊的數字下面） 如表1：

“議所得，以一乘所借一算為法，而以除。”（因4<5<9，所以議得2；將1×2 = 2 為法；除是相減的意思，即用5減去議得與法的乘積，5-2×2 = 1） 如表2：“除已，倍法為定法”（2×2=4） ，如表3：“其復除，折法而下。復置借算。步之如初。”（重新相減之前，將法下移一位，借算下移兩位）如表4：“以復議一乘之，所得副以加定法，以除。”（ 4×3<15<4×4，所以重新議得為3，借算乘以3為副置，將副置3以位相加于定法，再152-3×43得23）如表5：“以所得副從定法”（將副置加到定法上，即43+3=46） 如表6：“復除，折下如前。”（將法下移一位，借算下移兩位，再重復之前的步驟） 如表7，8，9。

由此可見，《九章算術》中開方算法是一種機械化的程序，不斷重復“超”、“議”、“除”和“折”四大步驟，易于操作。

3.中國古代的開方算法對中學數學教學的意義

由以上介紹可以看到，《九章算術》少廣章的開方算法充分體現了我國古代數學構造性和機械化的特點。中國古代的開方算法程序對當前新課程標準下的中學數學教學具有重要的意義。

從《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（2001）到《數學課程標準》（2011版）和《普通高中數學課程標準（實驗）》（2003）中，除了強調學生對知識技能等的掌握外，還都特別關注學生學習數學的體驗以及數學文化在教學中的價值。

從中國中小學數學教學大綱到現在的數學課程標準，都十分強調學生的運算能力的培養。《九章算術》中的開方程序一方面奠定了中國開方術歷史的良好基礎，同時也是中國古算中最發達的領域──解一般高次數字方程的程序，并取得了具有世界意義的重大成就，對現代中小學數學的重視算法的研究與教學具有重要的現實意義。

4.結語

《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標志著中國古代數學體系的形成。后世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。

參考文獻：

[1]白尚恕. 《<九章算術>注釋》. 科學出版社. 1983.102-111

[2]許鑫銅. 《九章算術》開方術及其劉徽注探討. 自然科學史研究.第五卷. 1986（3）：193—201