初探《九章算術》開方術

楊麗霞

【摘要】《九章算術》是我國的經典數(shù)學著作，本文試從《九章算術》少廣章開方問題，介紹開方術及劉徽注，開方術程序思想，以及中國古代的開方算法對當前新課程標準下的中學數(shù)學教學的意義。

【關鍵詞】九章算術 開方術 程序 新課標

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0148-02

《九章算術》成書于公元前1世紀，是中國數(shù)學經典著作。《九章算術》集先秦到西漢數(shù)學知識之大成，奠定了中國古代數(shù)學的整體框架和思想方法。

1.《九章算術》開方術及劉徽注

《九章算術》少廣章第12題至16題論述開方問題。例 [一二] 今有積五萬五千二百二十五步。問方為幾何。

開方術曰：“置積為實，借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算步之如初。以復議一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定法。復除折下如前。”

公元三世紀，數(shù)學家劉徽對《九章算術》作了原著的注釋（以下簡稱《徽注》）。本文以《九章算術》開方術術文為依據(jù)，以劉徽注文為參考，如下選擇兩個問題，對開方術作一些探討。

1.1 歷次除法中的“法”與所得各位商的關系

不妨設所求的被開方數(shù)R的平方根為100a+10b+c，它是面積為R 的正方形（圖中的外大方） 的一邊之長。又設“黃甲”、“黃乙”、“黃丙”等正方形的一邊之長依次為100a、10b、c。

在開方過程中，第1次除法中的“法”為100a，首商100a，兩者數(shù)值相同，所以劉徽稱這種除法為：“上下相命，是自乘而除也”。第2次除法中的“法”是200a+10b，次商為10b，“ 法”中的前項200a，術文稱之為“定法”，其幾何意義，如劉徽所說，是“豫張兩面朱冪定裹”；“法”中的后項l0b，劉徽注稱：“欲除朱冪之角黃乙之冪，其意如初之所得也”。此處所謂“如初之所得”，應理解為象第l次除法那樣，將“法”中的10b與次商10b通過“自乘而除”達到除去“黃乙之冪”的目的。同理，第3次除法中的“法”是2（100a+10b）+c，第3位商是c“法”中的前部分2（100a+10b），術文也稱之為“定法”，其幾何意義，也如《徽法》所云：“是則張兩青幕之裹”。

上面總共進行了三次除法，從幾何圖形上看，第1次除去了“黃甲之冪”，第2次除去了“朱冪”與“黃乙之冪”，第3次除去了“青冪”與“黃丙之冪”。以上所述歷次除法中的“法”，在數(shù)值上不僅與“開方術”相符，而且與《徽注》一致。

1.2“ 法”在開方籌算式中的位置

我們知道，開方的中心問題是尋求歷次除法中的“法”。為此，應首先確定各類“法”中的每個數(shù)字在籌式中的位置。其次才是確定每個位置上的那些具體數(shù)字。故劉徽后在“開立方術”中有這樣的注語：“且置一算定其位”。劉徽所說的“其位”究竟是指什么位置呢？ 在上列中，第2次除法中的“法”為200a+10b，當l≤b≤4時與當5≤b≤9 時，“法”200a+10b的最高位的位置是不同的，就是說“法”的位置將隨試除中所議得的數(shù)字a的不同而可能有所差別，這就給確定“法”的位置帶來了困難。為此，開方術的造術者巧妙地將借算定在“法”200a+10b的后項位置即10位上，然后通過將議得的數(shù)字b與10相乘再與“定法”200a相加（以復議一乘之，所得副以加定法）而得“法”。所以劉徽所說的“其位”，應指各“法”的最后數(shù)字所在的位置。

顯然，在各類“法”之位確定之后。再要確定各類“法”中的各具體數(shù)字，只要通過并不難理解的試除以及隨后的乘法就可達到目的。[1][2]

2.開方術的程序思想

下面以對55 225 開方（即“少廣章”第12 題） 為例來解釋一下開方術：

“置積為實。借一算步之，超一等。”（實是被開方數(shù)的意思。被開方數(shù)從右開始兩個數(shù)字為一位，將借算寫在最左邊位上的最右邊的數(shù)字下面） 如表1：

“議所得，以一乘所借一算為法，而以除。”（因4<5<9，所以議得2；將1×2 = 2 為法；除是相減的意思，即用5減去議得與法的乘積，5-2×2 = 1） 如表2：“除已，倍法為定法”（2×2=4） ，如表3：“其復除，折法而下。復置借算。步之如初。”（重新相減之前，將法下移一位，借算下移兩位）如表4：“以復議一乘之，所得副以加定法，以除。”（ 4×3<15<4×4，所以重新議得為3，借算乘以3為副置，將副置3以位相加于定法，再152-3×43得23）如表5：“以所得副從定法”（將副置加到定法上，即43+3=46） 如表6：“復除，折下如前。”（將法下移一位，借算下移兩位，再重復之前的步驟） 如表7，8，9。

由此可見，《九章算術》中開方算法是一種機械化的程序，不斷重復“超”、“議”、“除”和“折”四大步驟，易于操作。

3.中國古代的開方算法對中學數(shù)學教學的意義

由以上介紹可以看到，《九章算術》少廣章的開方算法充分體現(xiàn)了我國古代數(shù)學構造性和機械化的特點。中國古代的開方算法程序對當前新課程標準下的中學數(shù)學教學具有重要的意義。

從《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（2001）到《數(shù)學課程標準》（2011版）和《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（2003）中，除了強調學生對知識技能等的掌握外，還都特別關注學生學習數(shù)學的體驗以及數(shù)學文化在教學中的價值。

從中國中小學數(shù)學教學大綱到現(xiàn)在的數(shù)學課程標準，都十分強調學生的運算能力的培養(yǎng)。《九章算術》中的開方程序一方面奠定了中國開方術歷史的良好基礎，同時也是中國古算中最發(fā)達的領域──解一般高次數(shù)字方程的程序，并取得了具有世界意義的重大成就，對現(xiàn)代中小學數(shù)學的重視算法的研究與教學具有重要的現(xiàn)實意義。

4.結語

《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學體系的形成。后世的數(shù)學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數(shù)學知識的。

參考文獻：

[1]白尚恕. 《<九章算術>注釋》. 科學出版社. 1983.102-111

[2]許鑫銅. 《九章算術》開方術及其劉徽注探討. 自然科學史研究.第五卷. 1986（3）：193—201