無限區(qū)間上有界變差函數(shù)的學習探討

林燕

摘 要： 本文對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)及其性質進行學習探討，結合具體實例，將無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)進行比較，探究兩者之間的區(qū)別和聯(lián)系.

關鍵詞： 有界變差函數(shù) 無限區(qū)間 有限區(qū)間

實變函數(shù)理論是現(xiàn)代數(shù)學的重要基礎，是現(xiàn)代分析數(shù)學誕生的標志之一.有界變差函數(shù)是實變函數(shù)中一類重要的常用函數(shù)，具有很多好的性質，與單調增函數(shù)和不定積分有著緊密的聯(lián)系.在數(shù)學發(fā)展的歷史上，有界變差函數(shù)是在考察弧長的存在問題時首先被引入的.有界變差函數(shù)在定積分概念的推廣中起著主導作用，在許多其他數(shù)學積分問題中也有著重要的意義.

常見的實變函數(shù)和微積分學教材（見文獻[1]-[3]），大多關注有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)，詳細探討有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的各種性質，但對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)涉及較少.在深入學習實變函數(shù)及其后續(xù)的實分析課程過程中，需要對無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)進行研究，它具有一些與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)相似的性質，但兩者有一些不同之處.下面從無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的定義和性質出發(fā)，通過具體實例的探討，旨在幫助學生正確理解無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.

1.無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)及其性質

本文中將用R表示全體實數(shù)，用C表示全體復數(shù)，用N表示全體正整數(shù).

我們首先給出全變差函數(shù)的定義：

定義1[4]：設函數(shù)f∶R→C，令

綜上所述，無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)兩個概念之間既有區(qū)別又存在著聯(lián)系.教師在講授實變函數(shù)及其后續(xù)的實分析課程過程中，應該以這兩個概念的定義為出發(fā)點，深入剖析兩者的基本性質，并結合具體函數(shù)的例子，幫助學生正確理解無限區(qū)間上的有界變差函數(shù)與有限區(qū)間上的有界變差函數(shù)這兩個容易混淆的概念.

參考文獻：

[1]程其襄，張奠宙，魏國強，胡善文，王漱石.實變函數(shù)與泛函分析基礎（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]周民強.實變函數(shù)論（第一版）[M].北京：北京大學出版社，2001.

[3]菲赫金哥爾茨.微積分學教程（第三卷）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]Gerald B.Folland.Real Analysis；Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京：世界圖書出版公司北京公司，2007.

資助項目：北京高等學校青年英才計劃項目（YETP0946）；北京市人才培養(yǎng)共建項目“數(shù)學系人才培養(yǎng)模式的改革與創(chuàng)新探索”；中國礦業(yè)大學（北京）2014年“大學生創(chuàng)新訓練計劃”項目“線性算子理論及其應用”。