一類矩陣方程的擾動(dòng)邊界

高東杰

摘 要： 擾動(dòng)理論是研究方程穩(wěn)定性的重要工具，擾動(dòng)邊界是擾動(dòng)理論的重要組成部分.文章研究了一類非線性的矩陣方程X-■A■■X■A■=I，此類方程源自一個(gè)差值問題，利用一般的擾動(dòng)理論，給出了矩陣方程的擾動(dòng)邊界.

關(guān)鍵詞： 矩陣方程 正定解 擾動(dòng)邊界

先介紹一下文章的研究對(duì)象：

X-■A■■A■■X■A■=I， （1）

在此方程中，A■∈C（n），i=1，2，…，m，I是一個(gè)n階的單位矩陣，A■表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置.我們要研究此方程正定解的擾動(dòng)邊界，這類方程來自于一類差值問題，詳見[1].

Ran[1]證明了方程X=Q+A■（■-C）■A總有唯一的正定解，Xu[2]對(duì)方程X=Q+A■（■-C）■A的唯一解進(jìn)行了擾動(dòng)分析.我們?cè)诖嘶A(chǔ)上，接著討論Eq.（1）唯一正定解的擾動(dòng)邊界.對(duì)此特殊情況，我們已經(jīng)有很多成熟的結(jié)論（見[3-5]），本文就方程的一般情況進(jìn)行研究.

1.準(zhǔn)備知識(shí)

Ran[1]在文中證明了方程X=Q+A■（■-C）■A總有唯一的正定解，其中Q∈P（n），A是mn×n階矩陣，■=diag（X，X，…，X）是分塊對(duì)角矩陣，X是n階方陣.我們作如下變形.令

A=A■A■…A■.

其中A■（i=1，2，…m）是n階方陣.取Q=I，C=0則

X=Q+A■（■-C）■A=I+A■■A.

=I+（A■■ A■■ … A■■）X X ？塤 X A■A■…A■.

=I+A■■X■A■+…+A■■X■A■

=I+■A■■X■A■

所以Eq.（1）是方程

X=Q+A■（■-C）■A.的特殊形式.

由以上推導(dǎo)和[1]的結(jié)論，我們給出有關(guān)Eq.（1）唯一正定解的以下結(jié)論，證明比較容易，可參考文獻(xiàn)[1].

定理1[1] 對(duì)任意的矩陣A∈C（n），Eq.（1）總是存在唯一的正定解，記為X，并且任意給定初值X■P（n），迭代序列

X■=I+■A■■X■■A■

總是收斂到X，即■X■=X.

接下來，我們開始討論唯一正定解的擾動(dòng)邊界.

2.擾動(dòng)邊界

我們令矩陣A■和X進(jìn)行輕微擾動(dòng)，并且記■■=A■+△A■和■=X+△X，其中△A■∈C（n），△X∈H（n）.則Eq.（1）擾動(dòng)后變?yōu)?/p>

■-■■■■■■■■=I. （2）

利用（2）式減去（1）式可得

△X+■B■■△XB■=E+h（△X）， （3）

B■=X■A■（i=1，2，…m）

E=■（B■■△A■+△A■■B■+△A■■X△A■）

h（△X）=■B■■△XX■△X（I+X■△X）■B■

-■△A■■X■△X（I+X■△X）■B■

-■A■■■X■△X（I+X■△X）■X■△A■.

接下來，我們定義線性算子L：H（n）→H（n），

LW=W+■B■■WB■.（i=1，2，…m）

利用[2]中的引理1.2和命題（1.5），可以推知算子可逆.

再定義算子P■：C（n）→C（n），

P■Z=L■（B■■+Z■B■），Z∈C（n）.（i=1，2，…m）

從而（3）式變?yōu)?/p>

△X=■P■△A■+L■（■△A■■X■△A■）+L■[h（△X）].

記

ξ=‖X■‖，l=‖L■‖■，p■=‖P■‖，α■=■‖A■‖■，

？蘚=■p■‖△A■‖+■■‖△A■‖■，δ=■■‖△A■‖（2‖A■‖+‖△A■‖）.（4）

定理2 令X和■分別是Eq.（1）和Eq.（2）的解.記

？蘚1=■■.如果δ<1且？蘚<？蘚1，

得到‖■-X‖≤■≡v■，

并且

■≤■，

證明：令f（△X）=■P■△A■+L■（■△A■■X■△A■）+L■[h（△X）].f（△X）是從到H（n）的連續(xù)映射.由δ<1和？蘚<？蘚1可知方程

（lξ+α■ξ■）v■-（lξ？蘚-lδ）v+l？蘚=0

有兩個(gè)實(shí)根.其中較小的實(shí)根為：

v■=■，

定義集合φ■={△X∈H（n）：‖△X‖≤v■}，對(duì)任意的△X∈φ■，都有

‖X■△X‖≤‖X■‖‖△X‖≤ξv■≤ξ■=1+■

利用δ<1和？蘚<？蘚1，可得

ξ？蘚+δ-1≤δ-1+ξ■

=■<0.

從而‖X■△X‖<1，即I+X■△X是非奇異的，并且

‖（I+X■△X）■‖≤■≤■.（5）

對(duì)于f（△X），由（4）和（5）得

‖f（△X）‖≤？蘚+■+■

≤？蘚+■+■

=■=v■

即f（φ■）？哿φ■.由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，可知存在△X■∈φ■一定滿足f（△X■）=△X■.從而（X+△X■）-■（X+△X■）■■=I.即X+△X■是Eq.（2）的正定解.再利用定理2可知■是Eq.（2）的唯一正定解.因此△X■=■-X，從而

‖■-X‖≤v■，■≤■.

參考文獻(xiàn)：

[1]Andre C.M.Ran，M.C.B.Reurings.A nonlinear matrix equation connected to interpolation theory，Linear Algebra Appl[J].2004（379）：289-302.

[2]Sun J.G.Perturbation analysis of the matrix equation X=Q+A■（■）■A，Linear Algebra Appl[J].2003（372）：33-51.

[3]陳小山，黎穩(wěn).關(guān)于矩陣方程X+A*X■A=P的解及其擾動(dòng)分析[J].計(jì)算數(shù)，2005（03）.

[4]李靜，張玉海.矩陣方程X+A*X■A=Q的Hermite正定解及其擾動(dòng)分析[J].計(jì)算數(shù)學(xué)，2008（02）.

[5]]Hasanov V.I.，Ivanov I.G.，Uhlig F.，Improved perturbation estimates for the matrix equations X±A*X■A=Q.Linear Algebra Appl[J].2004（379）：113-135.

基金項(xiàng)目：山東省高等學(xué)校科技計(jì)劃項(xiàng)目（J13LI02）