全等三角形證明的教學體會

李寧波

摘 要： 全等三角形的證明是初中幾何證明的重要基礎。在學習中，緊扣教材抓住課本的重點詞，充分利用公理及推論的字母表示形式推理，根據幾何證明的“推理特征”，培養學生的解題目標意識和學生的逆向思維能力。

關鍵詞： 全等三角形 對應位置 逆向思維

三角形全等的證明是初中幾何證明的重要基礎，也是證明線段、角相等的方法之一。如何使學生更好地掌握它，關系學生對幾何學習的情感與態度。因此，它一直是師生都在探究的一個問題。下面筆者就此談談體會。

一、緊扣教材，抓住課本中的一句話做文章

人教版九年義務教材中《幾何》第二冊某頁第一句話為“論兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上”，并且舉例進行了說明。在教學過程中，筆者就這句話向學生強調：“既然課本教材這樣要求，那么通常情況下，我們應該遵循，因為這樣做有兩個好處，一是使大家養成按對應頂點，記全等三角形的習慣。二是以后我們遇到題中寫有兩個三角形全等，不論它是出現在已知還是求證中，我們都可以利用它是按對應頂點記的這一特點，找到各對應邊和對應角，為證明找到正確的目標?！崩缫坏李}目中出現了“△ABC≌△DEF”（無論在已知中還是求證中）。由于點A對應點D，點B對應點E，點C對應點F，因此無需看圖，直接就能迅速指出兩個三角形的對應邊和對應角。方法是先將其字母編號，如△ABC≌△DEF，再按“1、2”、“1，3”“2，3”找出對應邊為“AB=DE，AC=DF，BC=EF”，按“123”、“132”、“213”（強調1、2、3各有一次在中間做角的頂點）找出對應角為∠ABC=∠DEF、∠ACB=∠DFE、∠BAC=∠EDF，為觀察圖形和找出問題思路提供了很大的方便。

二、充分利用公理及推論的字母表示形式去推理，培養學生解題的目標意識

三角形全等的證明有三條公理、一條推理，以及直角三角形特有的斜邊、直角邊公理，每一個公理及推論教材上都給出了表示形式，如SAS、ASA、SSS、AAS及HL。在學生理解了公理和推論的情況下，就可以利用題目中的已知邊（角）迅速準確地確定要補充的邊（角），不致盲目地而能有目標地完善三角形全等的全等條件。

1.假如題目中已知兩邊，則記為“SS”，根據公理，推論的要求，要有兩條邊的中間補上一個角或一條邊。再順此思路繼續探究、完善。

2.假如題目中已知一邊、一角，則記為“SA”，就應補充上另一個角或另一條邊。

3.假如題目中已知兩角，則記為“AA”，應補上一條邊。并根據此三種情況畫示意圖：

（1）SS：S（A）S（即找其夾角）

S（S）S（即找第三邊）

（2）SA——（A）AS（即再找SA：（A）SA（即再找一對角）

SA（S）（即找角的另一鄰邊）

（3）AA：AA（S）

A（S）A（即再任意找一對邊）

三、根據“幾何證明”的推理特征培養學生的思維能力

解決數學問題的過程，一般總是從正面入手進行思考的，這是解決數學問題一種基本的思想方法。但是，有時會遇到從正面考慮比較復雜甚至無法解決的情況，這時若從問題的反面思考，或者逆用相關的數學關系，就可以順利解決問題，而且解題步驟較簡捷。這就是解決數學問題的另一種思考方法——逆向思維。

如幾何證明中，往往從已知推出結論時比較困難，找不到頭緒，無法下手，可以結論向已知推導分析，條理清楚，這時再順著推理證明就得心應手了。經常采用逆向思維解題，有利于鞏固數學知識，提高解題能力，發展智力。

四、注重探索結論，培養能力，實際聯系

三角形全等的這些判定方法都是可以證明的，都可以作為定理，但是，這些定理（除邊邊邊定理外）的證明方法都比較特殊。學生開始學習這些判定定理時，掌握定理的內容并不困難，困難的是定理的證明，而這些特殊的證明方法，通過畫圖和試驗，使學生確信它們的正確性。探索兩個三角形一定全等，總的發展脈絡是三邊，兩邊一角，一邊兩角，三個角，這樣學生容易把握探索的過程。盡量排除人為安排的因素，呈現得更自然。學完三角形全等判定的方法，讓學生將三角形全等的判定方法運用于直角三角形，得出直角三角形全等的判定的方法。對于滿足斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形，不能運用三角形全等的判定方法進行判斷，需要學生進一步實踐探索。

在證明兩個三角形全等的證明格式基礎上，進一步介紹推理論證的方法，要求學生有理有據地推理證明，精煉準確地表達推理過程，是比較困難的。在教學中，要注意采取措施解決這個難點。

1.注意減緩坡度，循序漸進。開始階段證明方向明確，過程簡單，書寫容易規范化。這一階段要求學生體會例題的證明思路及格式，然后逐步增加題目的復雜程度，小步前進，每一步都為下一步做準備，下一步又注意復習前一步訓練的內容。特別是通過精心選擇全等三角形的證明問題，能減緩學生學習幾何證明的坡度。

2.在不同的階段，安排不同的練習內容，突出一個重點，每個階段都提出明確要求，便于教師掌握。先讓學生會證明兩個三角形全等，然后安排通過證明三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等的問題，從而熟悉證明的步驟和方法。在此之后，安排的問題設計以前學過的平行線等內容，重點培養學生分析問題、根據需要選擇有關的結論證明的能力。

3.注重分析思路，讓學生學會思考問題，注重書寫格式，讓學生學會清楚地表達思考過程。例如在“三角形全等的判定”一節，證明例1的結論“△ABD≌△ACD”以前，首先指出證題的思路：“要證△ABD≌△ACD，可看這兩個三角形的三條邊是否對應相等?！睅熒餐伎迹孩儆梢阎獥l件AB=AC可知，這兩個三角形有一對相等的邊。②從圖上看，AD既是△ABD的邊又是△ACD的邊，所以是這兩個三角形第二對相等的邊。③關鍵是第三對邊BD，CD是否相等。由D是BC的中點可知，BD=CD，它們是這兩個三角形第三對相等的邊。④邊邊邊條件得到滿足。因而△ABD≌△ACD。為了清楚地表達上述思考過程，引入“∵”“∴”符號及綜合法證明的格式，把證明的過程簡明地表達出來。

4.在“全等三角形”中，應注意從實際例子引入，并讓學生舉出一些例子。這樣做既可以使學生易于理解相關概念，又可以調動他們學習的積極性，用全等三角形可以說明實際測量方法的道理。教科書在例題和習題中安排了測量池塘兩端的距離、測量河兩岸相對兩點的距離、用卡鉗測量工件的內槽寬等內容，還安排了利用三角形全等測量旗桿高度。教學時應注意引導學生運用全等三角形解決這些問題。

上述四種方法要講解清楚不難，且易于為學生所接受，學生一旦掌握，就能快速按時對應頂點的位置找到對應角、對應邊，又能按已知的對應（角）邊迅速準確補充需要的對應角（邊）。這樣做，學生學習幾何的積極性會大大提高，并能為今后學習相似三角形打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]義務教育人教版八年級數學教科書.

[2]數學課程標準.