維C主線復B相輔

顧菊美

江蘇作為文化大省，高考試題具有濃厚的地方特色，筆者在此對數學試題中的六大解答題作一簡要回顧：

一、向量搭橋解三角，巧用公式得全分

平面向量中的夾角是引發向量與三角函數交匯的主要因素，它把向量與三角函數有機地綜合在一起，使三角問題得到充實與加強，能有效地考查同學們解決綜合問題的能力。

題型一：結合向量的數量積，考查三角函數的化簡或求值。合理選用向量數量積的運算法則構建相關等式，然后運用三角函數中的和、差、半、倍角公式進行恒等變形，以期達到與題設條件或待求結論的相關式，找準時機代入求值或化簡。

題型二：結合向量的夾角公式，考查三角函數中的求角問題。此類問題的一般步驟是：先利用向量的夾角公式求出被求角的三角函數值，再限定所求角的范圍，確定角的大小；或者利用同角三角函數關系構造正切的方程進行求解。

題型三：結合三角形中的向量知識考查三角形的邊長或角的運算。根據題中所給條件，初步判斷三角形的形狀，再結合向量以及正弦定理、余弦定理實現邊角轉化，列出等式求解。

題型四：結合三角函數的有界性，考查三角函數的最值與向量運算。涉及三角函數的最值與向量運算問題時，可先根據向量數量積的運算法則求出相應的函數基本關系式，然后利用三角函數的基本公式將其合一變形，再借助三角函數的有界性使問題得以解決。

二、位置關系識圖形，線面互化題必成

立體幾何是空間想象的主要載體，但由于江蘇文理選修內容的區別，其考查內容以“點、線、面的位置關系”為主，難度系數大約是0.8，故解題策略無非是通過“線線、線面、面面平行與垂直的相互轉化”而已，當然，在2010年的試題中出現了點面距離的計算，當年遭到了文科師生的一片質疑，但情有可原，此類問題可通過類比平面幾何中的“等面積法”，利用“等體積法”求解。

三、實際應用建模型，最值問題用不等

數學應用性問題是江蘇的必考題型之，也是區別于其他省市的概率題作為考查學生應用意識的載體，試題出奇制勝，以函數、不等式、三角、幾何問題為背景進行考查，這些試題都有一個共同的特征，那就是變量。函數與導數是單變元問題，不等式是雙變元問題，但由于兩變元之間往往有一定的約束條件，所以可利用轉化與化歸的數學思想將其化為單變元問題。因此只要心中有強烈的變量意識，能從變元角度思考問題，就是成功的一半，其解題策略：首先將一個實際問題轉化為一個數學問題，進行數學化設計。其次將一個數學問題蒸蒸日劃歸為一個常規問題，進行標準化設計。最后求解常規數學問題或是解方程、或是證明（求解）不等式、或是函數求極值、或是幾何求值與論證、或是解三角形等等。

四、直線與圓暨橢圓，數形結合將值定

解幾部分對“直線與圓”的要求均為C級，而對圓錐曲線部分，僅對“橢圓”提出了B級要求，從而使圓錐曲線變為“昨日黃花”，不再作為壓軸題。

題型一：直線與圓的位置關系，即相交、相切、相離，并由此求參數的值或范圍，以及相交時的弦長、弦之中點、軌跡等問題，解答此類問題的主要方法是：（1）判別式法（方程思想）；（2）平面幾何法（數列形結合思想）。

題型二：曲線之間的位置或根據位置求參數的值或范圍，其

求解策略主要是通過消元，劃歸為求解一元二次方程問題，再利用判別式得之。值得一提的是，江蘇考試說明明確要求“根與系數之間的關系（韋達定理）不作考查”，因此，一旦涉及此類問題，可通過“設而不求”等方法，即設曲線上點的坐標，再由“點差法”等方法解之。

題型三：圓錐曲線間相互依存，拋物線與橢圓、雙曲線的依存關系表現為有相同的焦點、準線重合、準線過焦點等形式，只要掌握三種圓錐曲線的概念和性質，處理這類問題不難。

六年試題中都出現了“定點、定值、最值”問題，解決此類問題主要有下列方法：

一是先通過特殊位置得出定點或定值，然后證明在一般情況下也成立。

二是把所要證明為定點或定值的量表示為另外幾個變量的函數或方程，然后通過化簡變形，證明結果與變量無關。

三是解決最值、范圍問題主要通過尋找所求量的不等式或不等式組并加以求解，或通過構造所求量的函數，然后研究此函數的值域即可。

五、函數性質為主線，導數意義是核心

著名數學家菲利克斯·克萊因認為：函數是數學的“靈魂”，應該成為中學數學的“基石”，強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容，主張加強函數和微積分的教學，改革和充實代數的內容，倡導“高觀點下的初等數學”意識。

題型一：函數性質的研究，基本初等函數及其組合是函數性質考查的重要載體，必須熟悉一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、反比例函數、耐克函數等的圖象與性質，能將比較復雜的函數劃歸為一些基本初等函數進行性質的研究。函數性質研究以函數單調性研究為重點和難點，函數單調性的判別常使用圖象和導數，證明的常用方法是定義法和導數法；奇偶性的判別應注意兩個必要條件的應用，證明函數具有奇偶性，必需嚴格按照定義進行，說明函數不具有奇偶性，僅舉出一個反例即可。對函數性質的考查，主要有兩類問題，其一是判斷函數是否具有某種性質，其二是根據函數具有的性質解決一些問題，如求值、判斷零點的個數、解不等式等。

題型二：導數的運算及簡單應用，導數運算是導數應用的基礎，應該熟練掌握，導數應用的幾種常見題型為：求曲線的切線、求函數的單調區間、求函數的最值和值域。

用導數求曲線的切線方程一般解題步驟是：①設切點（已知切點，則直接用）；②由切點求切線的斜率，進而用點斜式寫出切線方程；③由相關條件求出參數的值。

用導數求單調區間的步驟是：①求定義域；②解不等式；③寫出單調區間。

用導數求閉區間上函數的最值的一般步驟：①求導數的極值點；②列表，確定函數的單調性；③比較區間端點和極值點處函數的值的大小，從而確定函數最值。

題型三：函數知識綜合應用，如方程恒有解問題，往往可以轉化為兩條曲線（其中一條曲線可能為垂直于坐標軸的直線）的交點問題。利用導數研究函數單調性，進而繪制函數圖象，利用數形結合的思想分析問題解決問題。再如不等式恒成立問題，往往轉化為函數的最值問題，研究的函數可能是含參數的動態函數，也可以是作參變量分離后的定函數。含參數的動態函數的最值需要對其單調性進行分類討論。在很多問題中，這種討論最終總是轉化為函數在區間上零點個數的討論。

六、等差等比成雙珠，探究構造與反證

數列是函數大家庭中的一員，其特殊性在于其定義域是正整數，它是按一定次序排列的一列數，數列在中學數學中既具有相對的獨立性，又具有較強的綜合性，它是初等數學與高等數學的一個重要銜接點。數列問題總在最后一兩題，綜合運用函數、方程、不等式、簡單數論等知識，通過運用遞推、函數與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類整合等各種數學思想方法，考查學生靈活運用數學知識分析問題、解決問題的能力和數學探索創新的能力。

題型一：等差、等比數列的通項公式，前n項和公式和性質的基本運算，本題型往往難度不是很大，考查學生對數列基本知識的掌握程度以及等差，等比兩類基本數列的融合考查，前n項和的求法，性質的靈活運用。解決此類問題需要抓住基本量，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算。

題型二：遞推關系型問題，常用的方法是再寫一項作差，但要注意首項是否滿足要求。通過遞推或探索來判斷數列及其性質的問題，將一些數列轉化成等差（比）數列來解決等，常用的方法如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數法、歸納法、數形結合法。

題型三：探索型問題，數列中的探索型問題很多，大多與數論知識結合，用數列的方法解決問題，即通常是等差、等比數列與方程、不等式或簡單的整數問題的綜合交匯（一般不與函數綜合）。在初等數論中，一是有關奇偶數、質數與合數、平方數與立方數等具有一些顯而易見的特征，借助于這些簡單的性質，融合到實際問題中，二是有關數的整除問題，關鍵是考查某一整數的約數，主要通過枚舉來確定解的存在情形，這類問題與不定方程聯系密切，另外，反證法也是此類問題的常用方法。

回眸六年高考題，江蘇模式已成形。

綜上所述，六年來的事實證明，江蘇試題嚴格按照《考試說明》進行命題，將8個C級（掌握）層次的知識點作為命題的主線，輔以“函數，導數，點、線、面之間的位置關系”等B級（理解）層次的知識點，通過科學設計，合理安排，命制解答題，從而體現它的科學性、嚴謹性，更能體現“高考應具有較高的信度、效度，必要的區分度和適當的難度”這一考試性質。

編輯 溫雪蓮