穿衣服與脫衣服

趙廣樂 董亞平

摘要：現行《普通高中課程標準實驗教科書——數學1》中刪除了反函數的概念，一則是為了給學生減負，二則是因為函數與反函數的關系難于理解。然而，反函數歷來是高校自主招生的熱點難點內容，故有志于自主招生的優秀高中生，有必要了解反函數是什么，有什么用。本文用日常的“穿衣服、脫衣服”，類比理解函數與反函數的關系，為學生學習數學、理解數學推開了一扇新的窗戶。

關鍵詞：“穿衣服”；“脫衣服”；函數；反函數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0156

我們人類一天的開始，始于睜眼穿衣。正常人類穿衣服是有順序的，必先穿內衣，然后才能穿外衣。當然，超人例外！

我們知道，函數可以看作來料加工的工廠，函數對原料的作用就是一系列的加工過程。同理，人類穿衣服可以看作是人類對自身的一個加工(裝扮)過程，亦可以視為函數！

我們用g來表示穿內衣；用來表示穿外衣。冬日清晨，某位同學早早起床準備去學校上學，此時，他應該先穿內衣，即得到g(x)，然后他需要穿好外衣才能抵御冬日的嚴寒，即得y=f [g(x)]，此時的y即裝備齊全，準備出發的莘莘學子。傍晚，學習忙碌了一天的學子y回到家中，勢必要先脫去外衣，然后再開始晚復習。事實上，人類脫外衣的動作勢必要與穿外衣的動作相反，才能順利脫下外衣！穿外衣的動作為函數f，那么脫外衣就是其反函數f -1。此時，脫去了外衣的學子可以開始復習了呢！深夜，該學生在入睡之前，要脫去內衣f -1(y)，與以清晨起床相同的狀態入睡，脫內衣就是穿內衣的反函數，即g-1，此時，即得x=g-1[f -1(y)]。

通過上述描述，相信讀者朋友們對函數與反函數的相互關系已經有了一個大致的了解，讓我們再通過一個圖表來詳細詮釋函數與反函數的相互關系！

由上述圖表可知：復合函數y=f [g(x)]的反函數即為y=g-1[f -1(y)]。

我們以指數函數及其反函數對數函數為例，詳細加以說明。

以指數函數y=ax(a＞1)為原函數，如圖所示：

求其逆對應，得其本意反函數x=logay，如圖所示：

我們習慣于使用x表示自變量，y表示函數值，故將其本意反函數(逆對應)x=logay中的x，y互換，得指數函數y=ax(a＞1)的矯形反函數y=logax(a＞1)。

如圖所示：

綜上，即得圖示：

例1. y=f(2x-1)的反函數為()

A. y=f -1(2x-1)B. y=2f -1(x)-1

C. y=■D. y=■+1

解：y=f(2x-1)的逆加工過程為2x-1=f -1(y)，即得y=f(2x-1)的本意反函數為x=■，我們將其本意反函數中的x、y互換，即得y=f(2x-1)的矯形反函數 y=■。即本題選C。

例2. f(x)=■，函數y=g(x)的圖象與y=f -1(x+1)的圖象關于y=x對稱，則g(3)=。

解一：y= f(x)=■的逆加工過程即為x=f -1(y)=■(本意反函數)，即y= f(x)=■的矯形反函數為y=f -1(x)=■，則f -1(x+1)=■。由y=g(x)的圖象與y=f -1(x+1)的圖象關于y=x對稱，知y=g(x)為y=f -1(x+1)的反函數。由y=f -1(x+1)=■得逆加工過程x=■ g(x)=■g(3)=■。

解二：設 g(3)=a (3，a )在的圖象上(a，3 )在y=f -1(x+1)的圖象上，即得(a+1，3 )在y=f -1(x)的圖象上，即f -1(a+1)=3a+1=f (3)=■a= ■。

上述兩種解法各有優劣，解法一過程清晰，思路明了，弊端在于計算較為繁瑣；解法二小題小結，簡潔明快，是解小題的不二選擇，但弊端在于無法清晰體現求反函數的過程。綜上：學習過程中，我們應以學習解法一為主，考試答題我們應以法二為上。

例3. α，β分別是方程log2x+x-3=0，2x+x-3=0的根，則α+β=

。

解：重要觀點：解方程即兩個函數求交點的橫坐標。

例：解方程ax2+bx+c=0(a＞0)

函數y=log2x+x-3和y=2x+x-3=0的圖象我們是不會畫的，但不要緊，我們可以通過移項，將題目轉化成我們會畫的函數：log2x=-x+3和2x=-x+3，即α為y=log2x與y=-x+3交點的橫坐標；β為y=2x與y=-x+3交點的橫坐標。而事實上，y=2x與y=log2x互為反函數，圖象關于y=x對稱。如圖所示：

由圖即知：α+β=3

例4. y=■求函數的值域

解析：大多數數學參考書上，對于此類問題的求解皆采用分離系數法，事實上，利用反函數求此類函數的值域快捷而便利。cxy+dy=ax+b (cy-a)x=b-dy x=■，此時，我們已經得到函數y=■的本意反函數x=■(其中cy-a≠0，即y≠■)，由反函數的定義域即為原函數的值域可知y=■，函數y=■的值域為{yy≠■}。

函數的本質是一對一或者多對一的映射。就反函數而言，中心詞是“函數”，換言之，反函數亦是函數，通俗些理解，不過是反過來的函數而已。注意到多對一的函數，反過來就是一對多，不再是函數，故我們說：一個函數若有反函數該函數一一對應。

例5. “函數存在反函數”是“函數單調”的條件。

解：單調函數必一一對應，即函數單調 該函數一一對應

該函數存在反函數。

但一一對應的函數，未必單調，如圖所示：

綜上：“函數存在反函數”是“函數單調”的必要不充分條件。

例6. 函數y=f(x)=kx+3，f [f(x)]=x，則k+3=

解析：函數與反函數互為逆加工過程。若視f為穿衣服的過程，那么f -1即為脫衣服的過程，則f -1[f(x)]=x，即給x穿衣，再脫去同一件衣服，相當于x對沒有進行加工。這也是反函數f -1記號使用的好處，其運算可以仿照冪運算：x2×x-2=x0=1，即f -1與f 可以互相抵消。這就好像正負電子相遇會發生湮滅一樣！

由f [f(x)]=x，即知f(x)=f -1(x)，即y=f(x)=kx+3的反函數亦為其本身，換言之，y=f(x)=kx+3的圖象即關于y=x對稱k=-1

k+3=2。

對于大多數高中學生而言，數學是枯燥無味的代名詞，是折磨人腦力的魔鬼，更有甚者，認為數學純粹是無聊的數字游戲，對人生和未來毫無用處。

事實上，數學源于生活、高于生活、用于生活。我們的日常生活中處處可見數學，而數學的思想方法亦來源于生活。各位對數學心懷厭惡的讀者、各位還在為數學成績苦苦掙扎的學子，只要我們勤思善想、勤于觀察、勤于思考，數學并非遙不可及。數學就在你我身邊！

參考文獻：

[1] 熊斌,陳雙雙.高中數學解題高手[M]．上海：華東師范大學出版社，2010.

[2] 韓旭．數學那玩意——自主招生秘籍[M]．杭州：浙江大學出版社，2011.

(作者單位：內蒙古包頭市第一中學014040)