論物理學中的類比方法

摘要類比方法是亞里士多德提出的邏輯學方法之一，但這一方法的嚴格性，乃至它是否可以被算作一種邏輯方法，在亞里士多德之后卻一直飽受質疑。正因為如此，19世紀英國物理學家湯姆森和麥克斯韋將類比方法引入電磁學研究時曾受到嚴重的質疑。20世紀中葉，瑪麗·海斯等西方哲學家試圖將類比方法納入到現代邏輯學體系中，并以此解釋湯姆森和麥克斯韋的工作。但他們的出發點仍然是將類比置于一個基于事物間偶然聯系的啟發工具的地位上，這既不足以為物理類比方法的正當性提供辯護，也無法解釋這種方法在物理學中表現出的廣泛的適用性和有效性。本文將從重構湯姆森和麥克斯韋引入類比方法的過程入手，分析他們使用類比論證的依據。本文將論證，物理學中的類比方法是一種嚴格的科學方法，應明確地區別于一般邏輯學以及大眾話語中所說的“類比”。這種方法的嚴格性來自于它所依據的唯一的類比基礎，即不同物理現象的數學形式間的相似性。進而以此為基礎淺論麥克斯韋的“數學分類”思想。

關鍵詞類比數學分類麥克斯韋力線

類比（ analogy）是一種古老的形而上學方法，作為一種思維和論證的工具，其在西方古典哲學、神學和邏輯學中有大量使用和討論。然而這種方法的嚴格性，以及它是否可以被算作一種邏輯方法，一直以來卻飽受爭論。正因為如此，當英國物理學家湯姆森和麥克斯韋引入“物理類比”方法來研究電學問題時遭到了嚴重的質疑。然而湯姆森和麥克斯韋的“物理類比”方法與哲學或邏輯學家所討論蘇湛論物理學中的類比方法——以湯姆森和麥克斯韋為例33的類比是否一致，它究竟是一種嚴格的物理推理程序還是僅僅是一種思維上的啟發策略？本文將嘗試通過分析湯姆森和麥克斯韋使用“物理類比”方法的具體方式，對此問題提供一管之見。

一 哲學中的類比推理

哲學中關于類比的論述可以追溯到亞里士多德。盡管亞里士多德本人從來沒有明確給出過諸如“類比是……”這樣的命題式定義，但他的著作中確實提到過至少兩種不同的類比。一種是不同類別對象之間的類比：

另一種選擇（適當的部分和劃分）的方法是類比。我們必定不可能為烏賊的利鰭、魚的脊骨以及動物的骨頭找到一個單一的名稱。雖然這些事物也有某種共同特性，這一事實意味著這類事物有一個單一的自然本質。[亞里士多德2003，頁，339]

而后世哲學家關于類比的討論則主要是針對另一種類比：相同類別對象之間的類比。亞里士多德對這種類比的論述也相對更清晰些，盡管他本人并沒有使用“類比”這個詞，而是稱之為“例證”（ example）：

當大項通過一個相似于第三個詞項的詞項被證明屬于中項時，我們就獲得了一個例證。必須既知道中項屬于第三個詞項，又知道第一個詞項屬于與第三個詞項相似的詞項……如果我們想要證明反對忒拜的戰爭是壞的，我們必須認定對鄰邦發動戰爭是壞的，其證據可從相同的例證中得出，例如，忒拜反對福奧克斯的戰爭是壞的。因為反對鄰邦的戰爭是壞的，反對忒拜的戰爭就是反對鄰邦的戰爭;所以很顯然，反對忒拜的戰爭是壞的……因此，很顯然，當兩者都屬于同一個詞項，其中一個被知道時，則一個例證所代表的不是部分與整體，或整體與部分的聯系，而是一個部分與另一個部分的聯系。它與歸納不相同。歸納是從對全部個別情況的考慮表明大項屬于中項，并不把結論與小項相聯系。相反，例證與它相聯系，也并不使用所有個別情況來作證明。[亞里士多德2003，頁，233-234]

在亞里士多德所舉的這個例子中，用來進行類比的兩個對象是忒拜反對福奧克斯的戰爭和雅典反對忒拜的戰爭，它們同屬于戰爭這個大類，而這正是對它們二者適用類比方法的依據。因此當我們知道忒拜反對福奧克斯的戰爭是壞的，按照類比的原則，就有理由推斷雅典反對忒拜的戰爭也是壞的。

不過，無論是不同類別對象之間的類比還是相同類別對象之間的類比，有一點是共通的，即進行類比的兩類對象或兩個對象之間需要有部分屬性相同。而類比推理正是根據它們的這些相同性而推定它們的其他屬性也相同的推理。

類比推理遭受質疑的最核心的困難在于，它的結論并不總是具有必然性。比如，羊和狗都是哺乳動物，這是它們的相同點，但是如果據此推定羊吃草，所以狗也吃草，那么就明顯違背了事實。這也就是后世哲學家所說的“消極類比”。并且，只要我們在兩個對象間建立類比關系，就必然存在消極類比，因為如果兩個對象的所有屬性都相同，那么它們之間的關系就不是類比或日類似，而將是同一。所以即便是亞里士多德本人，也更看重類比在修辭術中的價值，而不認為它是可靠的邏輯推理方法。

二 科學哲學家對物理類比方法的討論

類比方法從一個一般的哲學論題變成科學哲學家關注的對象，首先源于19世紀英國物理學家湯姆森（William Thomson）和麥克斯韋（James ClerkMaxwell）將“類比方法”引入物理學研究。其中尤其是后者的影響較大，他不但有意識地將這種新的研究方法命名為“類比”，而且在不同場合為其進行宣傳和辯護，認為通過“對兩個理念系統間的形式類比的認識”而得到的關于它們二者的知識，“比通過分別研究每個系統所能取得的知識更為深奧。”[Maxwell1871a]也因此，麥克斯韋物理類比思想受到的研究和批判遠比其始作俑者湯姆森更多。

最先對麥克斯韋的類比方法提出批評的是著名的科學哲學家——同時也是物理學家——迪昂（Pierre Duhem）。作為物理學家，迪昂關于電磁學的學術觀點與麥克斯韋針鋒相對;作為科學哲學家，他將麥克斯韋視為他所謂的“寬闊，但卻無力”的英國思維的典型代表。他指責麥克斯韋電磁學過于莽撞，且過于依賴模型[Ariew&Barker 1986]-具體地說，過于依賴力學模型或者說是與力學定律之間的類比。比如“位移電流”這個概念，就是在“沒有恰當的觀測現象要求對電流理論做這個擴展”[Duhem 1902]的情況下，僅僅根據與力學模型的類比建立的。在迪昂看來，這根本就是“不可信賴的輕率”。相反，只有像他所推重的庫侖、泊松、安培等法國電磁學家那樣，老老實實地沿著實驗——假設——演繹的路徑前進，才是科學研究的正途。盡管他也承認“在兩類不同現象之間尋找類似之處，也許是在所有用于建立物理理論的程序中最有把握和最富有成果的方法”[迪昂2005]，但對他而言，類比的唯一意義仍然只是啟發性的，而不是物理理論所必需的。

這種觀點當然并不是所有人都認同。比迪昂略晚一些的英國物理學家和科學哲學家坎貝爾（Norman Robert Campbell）就針鋒相對地強調：“類比并不是用來確立理論的‘助手;它們是理論中的一個具有根本的本質性的部分，如果沒有它們，理論將會是完全無價值和名不副實的……把類比當成是用來發明理論的助手，其荒謬程度不啻于把旋律當成是用來創作奏鳴曲的助手。”[Campbell 1920，pp.129-130]坎貝爾將類比看成是構成科學理論的一個普遍的、不可或缺的元素。在他看來，“為了讓一個理論有價值……它必須展現為一個類比。假設中的命題必須與一些已知定律相類。”[Campbell 1920，p.129]這與麥克斯韋本人的某些觀點十分相似。但坎貝爾并沒有對麥克斯韋在使用和發展類比方法方面所做的工作做特別專門的論述。事實上，由于坎貝爾把類比視為理論的一個必需的部分，因此在他的敘事中，無論是波義耳的氣體彈性小球模型，還是牛頓關于落體定律與行星運行定律間聯系的思考，全都成了物理學家使用類比方法的例子，這無疑又過分擴大和過度詮釋了類比的概念與意義。

美國科學哲學家特納（Joseph Turner）首次對麥克斯韋的物理類比思想進行了系統總結，他指出三點：

第一，麥克斯韋將類比視為一種介乎于純數學公式和物理假設之間的東西。與單純的數學公式相比，類比含有更豐富的物理內容，為抽象的函數賦予了物理意義，使之能夠與現實中的現象與實驗聯系起來;但同時，它又比物理假設更加謹慎，后者是作為真實情況的可能備選方案被提出來的，而類比則不是。事實上，麥克斯韋本人就聲稱，對于某些在類比中出現的物理量，比如作為溫度類比對象的電勢，“我們沒有理由認為它指示著一個物理狀態”，它僅僅是“一個單純的科學概念”（a mere scientific concept）.[Maxwell 1881]

第二，麥克斯韋對類比的局限性有異常清晰的認識。他明確討論過類比在兩種情況下的局限性。第一種是類比關系的其中一方只在非常狹窄的條件下才與另一方構成類比的情況。一旦這些條件無法滿足，這個類比就不再成立了。比如熱傳導和靜電力傳遞之間的類比，只對穩定熱流成立;流體與電力線之間的類比，則要求流體必須是靜態、無摩擦且不可壓縮的。另一種則與一個物理量對其他物理量的影響有關。比如在湯姆森的類比中作為相互對應的物理量的溫度和電勢，當局部空間的溫度改變時，這個空間中的物體的密度、電阻等也會發生變化，而電勢的改變并不會帶來這些變化。

第三，麥克斯韋已經意識到類比揭示出了一些不同領域的物理現象在深層次上的共同本質，并呼吁一套新的數學語言，用來表述這些潛藏在不同現象背后的物理內容。這套語言正是今天被稱為矢量分析的數學分支，哈密頓、泰特以及麥克斯韋本人的工作為這個數學分支的建立奠定了基礎。

特納還總結了麥克斯韋關于類比方法優點的論述：其一，類比使我們可以把一個物理學分支的數學解法轉移到另一個（通常尚無成熟有效解法的）分支中去;其二，類比將會為我們引來很多有待驗證的新命題，從而導致全新的理論和實驗探究。[Turner 1955]

與特納同時代的另一些科學哲學家則開始從哲學中關于類比的傳統命題出發來審視物理類比方法。其中最關鍵的工作之一來自瑪麗‘海斯（Mary Hesse），她最顯著的成就有兩點：一是通過模仿歸納邏輯，實現了類比推理的形式邏輯化;二是確立了積極一中性一消極三種類比的分析框架。海斯把一個物理系統看成是一系列性質的集合。對于任意兩個系統，我們都可以從中找到若干對相同或類似的性質，海斯將這些性質稱為積極類比（positive analogy）;同樣，我們也會找到一些性質，在兩個系統間截然不同，甚至在其中一個系統中根本找不到對應的性質，海斯稱之為消極類比（negative analogy）;而那些我們尚不知道它們是否相似的性質稱為中性類比（neutral analogy）。比如在氣體分子與碰撞球的類比中，二者在運動和碰撞中表現出來的性質是積極類比;僅為碰撞球所獨有而氣體分子并不具備的顏色、硬度和光潔度等性質是消極類比;而中性類比的存在則為我們通過這個類比做出新預言提供了空間。[Hesse 1966，p.8]而類比推理的邏輯，在海斯看來，就是從積極類比出發，對中性類比的相似性進行推測，然后對這個推測進行檢驗。如果這種相似性被證實，則將這一對性質歸人積極類比，反之則歸入消極類比。[Hesse 1966，pp. 101-129; Hesse 1964]

此外，海斯還梳理了亞里士多德的類比思想，認為科學類比屬于亞里士多德的第一種類比，即不同類別對象間的類比。[Hesse 1965]她重新定義了形式類比（formal analogy）和質料類比（material analogy）的區分，并強調對科學發現意義更重要的恰恰是迪昂堅決反對的質料類比，而迪昂相對贊賞的形式類比則“對預言毫無用處”。[Hesse 1966，pp. 68-70]這些工作不但對“物理類比方法”這一論題的研究產生了深刻影響，同時也為關于類比的哲學和邏輯學討論帶來了重要進展。就連海斯的批評者此后也大多是以積極一中性一消極三種類比的分析框架為基礎進行立論的。

然而海斯的類比理論中存在幾個嚴重的問題。首先，海斯的解釋使類比似乎變成了一種非常隨意的過程。因為在大多數情況下（如果不是全部），對于任意兩個物體，我們幾乎總能從它們身上找到至少一組積極類比關系，這似乎意味著在任意兩個對象間都可以建立類比關系。事實上，海斯也的確認為物理研究中使用的類比對象是可以隨意更換的。比如在量子力學中，電子既可以被類比為粒子，也可以被類比為波，甚至“來自粒子和波的類比可能會被日益淘汰，它們看起來很可能會被我們尚無法預知其確切性質的其他類比所取代”。[Hesse 1952]

其次，盡管作為對迪昂的反駁和對坎貝爾觀點的繼承，海斯反復重申類比對物理理論具有本質性意義，而不僅僅是一種啟發策略。但她給出的類比推理機制實際上還是把類比放在了一個僅僅是對探索過程有啟發作用的工具性和臨時性的位置上。按照這種機制，類比的意義只不過是提供一系列中性類比供人們檢驗，并分別把它們歸人到積極類比和消極類比的集合中去。一旦所有中性類比都被歸化為積極類比或消極類比，這個類比的生命也就完結了。

最后，海斯給出的類比機制隱含地假定了所有積極、消極和中性類比都是平權的。也就是說當我們判斷一個類比是否可接受時，其中的每一對積極類比和每一對消極類比的影響力都是相同的。但實際上正如彼得·阿欽斯坦（PeterAchinstein）指出的，在絕大多數情況下，“一個特定理論描述的對象都只是在某些方面被與另一個對象做對比”。比如在原子的行星模型中，被拿來類比的只不過是軌道結構這一項性質，而原子的其它性質——它們與行星性質間的類比明顯是消極的——則“根本沒有被當作這個類比的一部分被考慮過”。[Achinstein1964]海斯本人也意識到了這個問題，在她的專著中，一個虛擬的“迪昂主義者”曾經質問，為什么僅憑光的衍射這一個性質，就要對光的微粒說整體拒斥，而不是像其他很多情況那樣，僅僅將這一點歸人消極類比，而保留這個類比的其余部分？對此，作為海斯本人化身的坎貝爾主義者的回答是“……某些性質比另一些更本質”，并以分子的碰撞球模型為例，指出“從力學觀點看”，顏色不是碰撞球的本質性質，而動量是。[Hesse 1966，p.34]但是為什么動量就應該比顏色更加本質？戴維·休·梅勒（David Hugh Mellor） -語點破了問題所在：因為質量和動量“在所有此類物體的力學定律中都被涉及了”;而顏色和溫度“根本沒有被力學定律涉及”。所以我們之所以可以容忍顏色和溫度這些消極類比的存在，既不是一種隨意的選擇，也不是因為它們作為碰撞球所擁有的屬性不如動量本質，而是因為它們對系統力學狀態的求解沒有影響。[Mellor 1968]

三 湯姆森和麥克斯韋的物理類比

歸根結蒂，海斯類比理論的問題與20世紀很多試圖完全以形式邏輯思想來理解科學的嘗試一樣，在于過度抽離了其中的具體物理內容。海斯將一個物理系統理解為若干性質的集合，這種傾向在現代科學哲學中并不少見，但當她完全以對待抽象元素的方式來處理物理性質時，就忽視了二者間的一個重要區別：經典集合論考慮問題時一般要求集合中的元素相互獨立（如果存在非獨立元素，則首先通過操作將其變成所有元素相互獨立的集合）;而一個物理系統所具有的各種性質并不是相互獨立的，事實上，我們總可以找到有限的幾條基本性質，所有其他性質都可以由這些基本性質中的一條或幾條唯一地決定。如果兩個物理系統在這樣的一條或幾條基本性質上具有積極類比關系，那么由這條或這些性質決定的一系列性質的類比必然也是積極的;反之，如果某一條基本性質的類比是消極的，那么與之有關的各種性質的類比也必然是消極的。這個推導是完全決定性的，不需要猜測，更不需要試錯。

湯姆森和麥克斯韋的“物理類比”正是建立在一組這樣的基本類比上——這組類比甚至也許是對物理學研究而言最基本的一組，即兩個物理系統的數學表達形式的類比。

1 湯姆森對靜電力和熱流的類比

物理類比方法，在本文所討論的意義上，首次出現在威廉·湯姆森1842年匿名發表的論文“論熱在勻質固體中的勻速運動，及其與電的數學理論之間的聯系”[Thomson 1942]中。該文也是麥克斯韋類比思想的直接源頭，他不但在“論法拉第力線”中直接引用了這一案例來闡述物理類比方法的意義[Maxwell1864]，而且在1854年11月寫給湯姆森的信中提到：“熱傳導的類比給了我極大的幫助，我相信這是你的發明，至少我從沒在其他地方見過它。”[Maxwell 1954a]對此湯姆森本人也頗為自詡。1854年，作為對法拉第力線理論的響應，湯姆森在補寫了大量腳注后重新發表了這篇論文。在重新發表的題注中他強調，盡管文中的大部分結論已被沙勒、高斯、格林等人通過其他進路搶先提出，但“這些觀點所賴以建立的（靜電力分布）與熱傳導之間的類比，就筆者所知，尚未被其他作者注意到。”

湯姆森論文的目標是給出帶電物體周圍的等勢面與物體所帶電荷之間的定量關系，并以此為基礎求解非球形——具體而言是橢球形——導體表面的靜電力分布。在此之前，庫侖定律確立久已，鑒于其與萬有引力定律同樣遵從平方反比關系，泊松將拉普拉斯討論萬有引力問題時發明的勢函數V引入靜電學，并以此為基礎解決了球形導體表面的靜電分布問題。[Poisson 1811]當時的物理學家還普遍沒有建立勢（ potential）的概念，拉普拉斯和泊松將V定義為“球體內全部分子的總和，除以它們各自到引力作用點的距離”[Laplace 1799]，

空間中任意帶電體，總能找到一個包裹它的等勢面。使物體所帶全部電荷都分布于等勢面上，并達到平衡狀態，則面上任意一點的電荷密度等于原帶電體產生的電場在這一點的場強除以4π丌;表面外一點的場強與原帶電體在同一點產生的場強相等。

這一結論的更普遍形式其實早已被格林和高斯通過解析方法證明，但湯姆森當時并不知道這一點。而他用來證明這一結論的方法則是完全獨特的，即通過與熱傳導的類比。這個類比還有一個好處，那就是如同我們可以把熱傳導的微觀過程理解為分布在一個等溫面上的熱源將熱量傳遞給與它相鄰的等溫面上的分子的連續過程，我們也可以將靜電力在空間中的擴散想象成分布在一個等勢面上的電荷作用于它附近的空間形成與它無限接近的另一個等勢面的過程。事實上，按照湯姆森的理論，對于空間中任意一點，我們都可以找到一個與它無限接近的等勢面，將帶電物體對這一點的作用等價地視為這個等勢面上的電荷對它的作用。這就避免了自牛頓以來一直徘徊于力學領域的一個哲學困難，即超距作用①。這是湯姆森的工作相對于拉普拉斯、泊松，以及高斯、格林的一個重要的獨特之處。而對等勢面概念的依賴可能也構成了湯姆森不得不采用熱傳導類比的原因之一——當時他腦中還不存在明確的電勢概念，所以不得不大量借用等溫面這一概念。

湯姆森建立這個類比的過程是這樣的。首先，對于無限均勻介質中的點狀穩恒熱源，無論從直觀上還是從數學上，容易證明，距熱源同樣遠處的點具有相同的溫度——也就是說必然形成以熱源為球心的球形等溫面。參照泊松對球形導體帶電情況的討論，不難證明，點狀熱源對等溫面外一點的影響可等價于一個均勻分布在該等溫面上的球殼狀熱源，并有：

Pid/t）i2

V2

r

（6）

式中v為球面外一點的溫度，Pi為球殼上的熱量密度，d∞2為球面面元，r.為球面上各面元到球面外一點的距離。這就是湯姆森論文中給出的（2）式，其形式與帶電導體的勢函數公式，即本文中的（1）式完全一致。

這時，湯姆森使用了一個巧妙的步驟。他假設這個球面被一層薄薄的引力性介質包裹，介質的引力密度正比于P1。由此，這層引力介質在球面外一點的勢函數V將正比于該點的溫度v，其在球面外一點的產生的場強F與流過該點的熱流f方向相同，大小成正比。從而，對于介質中的任意一點，只要求出溫度v和熱流f，也就確切地求出了該點的勢函數V和場強F，一個靜電學問題就這樣嚴格地轉換成了一個熱傳導問題，由此產生的后續數學推論，必然同時適用于熱傳導問題和靜電場——事實上，它必然適用于一切可以用方程組（1）、（2）、（3）或（6）、（4）、（5）來描述的物理現象，因為它正是以這一系列方程為基本命題演繹而來的。

這個結論不需要任何試錯，就實際而言湯姆森也并沒有進行過或考慮去進行任何試錯。正如前文提到的，在1854年論文重印時，湯姆森撰寫了一個長長的題注，并補寫了大量腳注，其中詳細追溯了其他科學家的相關工作，如果他曾經哪怕稍微考慮過他結論的實驗驗證問題，那么顯然應該在其中有所提及。但實際上他甚至連實驗這個詞都沒有提到。這是因為，對于湯姆森而言，這是一個嚴格而必然的數學推論，根本不需要訴諸實驗。2麥克斯韋的“論法拉第的力線”

與湯姆孫不同，在麥克斯韋考慮力線與流體之間的類比時，并不存在如（2）～（5）式那樣現成的數學對應關系可供參考。事實上，前者甚至還沒有確切的數學表達方式——那正是麥克斯韋通過“論法拉第的力線”一文所試圖建立的。并且，兩人在使用類比時的目的也不太一樣。湯姆森用傳統上被視為超距作用的靜電現象與一種具有相同數學表達形式的連續過程——熱傳導相類比，以期挖掘出前者的一些尚未被充分理解的性質;而麥克斯韋則是要以那些已經成熟確立的數學物理方程為參照，為一種剛剛被納人物理學視野的全新物理實體構建出數學表達方式。因此，湯姆森可以根據兩組數學公式的一致性直接在兩種物理現象間建立等效關系，最多只需要一個系數，而麥克斯韋則需要另一種策略。

不過對于麥克斯韋而言，也并非全無頭緒。在“電的實驗研究”第28輯中，法拉第以他獨特的表述方式對力線做出了如下描述：

3071. 一根磁力線可以被定義為這樣一根線，我們可以用一根非常小的磁針來描述它，當這根磁針沿著與它長度相應的兩個方向中的任何一個移動，而磁針恒為移動路線的切線……

3072.這些線……在相反的方向上具有相反的性質和狀況……

3073.還有一點對于這些力線的定義同等重要，那就是它們代表了一個確定的和不變的力的數量……線上一個給定部分的任意截面所包含的力的總量總與同一根線的任意截面上的力的總量確切相等，無論線的形狀如何變換，也無論它們在下一處聚攏還是分散。[Faraday 1852a]

其中第三段陳述至為重要，這使力線成為了一種可以被定量理解的物理實體，而不再僅僅是定性概念。法拉第同時給出了充分的定量實驗證據為以上陳述——尤其是第三條陳述提供支持。

在緊接著的另一篇論文“論磁力線的物理特性”中，法拉第又補充了有關磁力線定量性質的另一陳述：

3259.……（磁鐵）外部和內部的力線在數量上保持相同，無論第二塊磁鐵或軟鐵存在還是被移開。改變的僅僅是外部力線的排布（disposition）;它們的總量，以及因此，它們的存在，保持相同。[Faraday 1852b]

此前的很多討論實際已隱含了這一理念，但一直沒有明確表述出來。顯然，這一陳述符合作為物理學基本假設之一的守恒律原則的期待，同時法拉第，如他一貫的風格，為這一陳述給出了堅實的實驗基礎。將這條陳述與上一條結合起來，并推廣到靜電力的情況，可表述如下：

由確定的磁極或帶電物體所發出的力線根數保持不變，且單一力線包含的力的數量自始至終保持不變。

盡管法拉第的論述所直接針對的是磁力線，但他在論文將要結尾的地方又寫到：“無論我們援用什么概念來表示這種力，它最終應該把電力包括在內，因為這兩種力的關系是如此密切，以至于一種表示方法它們兩個應該都能用。”[Faraday1852a]而在“論磁力線的物理特性”中，他更分別討論了不同種類力的力線，包括萬有引力和靜電力。[Faraday 1852b]因此當麥克斯韋在1854年開始將注意力轉移到電學上時，一開始就是以力線圖景來理解電現象的。[Maxwell 1854b]

相對于法拉第，麥克斯韋對力線概念作了一點小小的改進。法拉第在描述力線時大量使用了“聚攏”、“分散”、“排布”這樣的表述，直觀上給人以力線在空間中不連續排列，力線與力線被不含力線的空間彼此隔絕這樣的印象;而麥克斯韋則要求“以曲線填滿全部空間，用它們的方向指示任意一個指定點的方向。”[Maxwell 1864]這個改動是順理成章的，因為很明顯，無論對于電場還是磁場，在空間任意一點都可以測到它的場強，并不存在任何場強為O的縫隙，因此力線當然應該是充滿整個空間的。由此，鑒于從單一源頭發出的力線的根數保持不變，對于——比如點電荷電場而言，相比于電力線隨著與電荷距離的增加越來越稀疏的圖景，更貼切的想法是認為電力線變粗了，但它所攜帶的靜電力的量始終保持不變，力線橫截面上的面密度降低。

這就是麥克斯韋撰寫“論法拉第的力線”時所掌握的力線的基本圖景，而把它們翻譯成數學語言實際上并不困難。鑒于前人在數學物理領域的豐富遺產，麥克斯韋甚至不需要自己動手構建新的公式。如果說湯姆森的類比是已知兩種物理現象的數學表達形式一致，藉此建立兩種現象的對應關系;那么麥克斯韋所要做的就是在眾多已知的數學物理公式中選擇一組與他的要求確切相符的。

正如湯姆森對熱學的熟悉，麥克斯韋精通流體力學，在他剛開始接受數學物理訓練時那就是課程中最重要的部分之一。他也熟悉湯姆森的工作，后者正是麥克斯韋在電磁學領域的引路人，同時當時已成為除法拉第之外的力線理論最重要的鼓吹者，并且他也已經進一步澄清和發展了他在“論熱在勻質固體中的勻速運動”中觸及的等勢面概念。在上述論文中，湯姆森已經使用了靜電力與流的類比，并且使用了通量等概念。因此流體的類比成為了麥克斯韋的一個很自然的選擇。

相對于湯姆森的熱流，麥克斯韋選擇用液流——確切地說，一種嚴格遵循且只遵循以下規定的不可壓縮流體的液流來進行類比：

流體的一部分在任意瞬間占據一個給定的體積，則在接下來的任意瞬間，它將占據一個相等的體積。[Maxwell 1864]

這樣做的優點在于，可以將力線所涉及的定量問題完全轉換為直觀的、可以用基本幾何學定律嚴格求解的幾何學問題，并且不需要依賴諸如熱傳導理論這樣的性質假設。

麥克斯韋由此建立起了力線與通過毛細管的液流之間的類比。基于基本的幾何學原理和麥克斯韋賦予液體的不可壓縮性質，單位時間內通過一根毛細管上任何一個橫截面的液體流量必然相等，而為了保證這一點，隨著毛細管在不同位置上的粗細變化，液流通過時的流速將與所通過的截面面積保持反比例關系，前者正對應于法拉第所說的力線所包含的力的數量，后者則對應于空間中某一確定點的場強。

這一模型已經滿足了法拉第對力線的描述。但尚不能把電勢、電動勢，以及他從湯姆森那里學到的——等勢面等至關重要的概念包括進去。在這個問題上，流體力學中的壓強概念提供了一個完全貼切的類比對象。正如液體內部的壓強差概念包括進去，后者用這個概念來解釋電磁感應現象。然而與其說這是電現象與流體現象之間的“消極類比”，倒不如說這是由于麥克斯韋沒有為他的不可壓縮流體賦予相應的性質。在后來的工作中，他再次依據需要調整了模型，問題也就迎刃而解了。

四 物理類比方法與麥克斯韋的“數學分類”

綜上所述，無論湯姆森的靜電力一熱流類比，還是麥克斯韋的力線一毛細管類比，都不是僅憑甲性質存在就臆測乙性質也存在的猜謎一試錯式類比，與所謂的“取象比類”式“類比”更完全沒有可比性。他們的物理類比方法實際上仍然屬于演繹推理的范疇，尤其麥克斯韋的類比，所援用的幾乎都是最基本的幾何推理，這些過程的數學嚴格性決定了其結果的嚴格性。

當然，對這種嚴格性的論證同樣需要一個先驗條件來支撐，那就是相信數學公式能夠表述物理世界，或者更直接地說，對數學結構與它所表述的物理現象之間的同一性的信念。因為嚴格地說，數學公式本身也只是對物理世界的一種形式類比，而兩種由完全不同的質料——理念的和物理的——構成的事物之間的形式類比何以可能，本身就是一個比本文所討論的問題更加困難的議題。[Lambert2011]但是對于現代的數理科學家，特別是對于湯姆森、麥克斯韋等劍橋數學物理傳統的繼承者而言，這又是一個必須默認的前提，因為如果連這一點都不承認，那么自《自然哲學之數學原理》以來的全部數理科學就都成了空中樓閣。

另一方面，對于麥克斯韋來說，物理類比方法的意義絕不僅僅止步于一種在確保結論可靠的前提下相對簡便的推理方法，也不僅僅是借助一個成熟研究領域中的知識為尚未被充分探索的新領域提供洞見——這當然包括在麥克斯韋使用物理類比方法的目的當中，但同時在他的目的中，也包括要讓后者對前者提供洞見，以及更重要的“使它們互為闡釋”。[Maxwell 1864]

更進一步，兩個乃至更多不同領域中的現象具有幾乎相同的數學表達方式的事實，以及這種現象的廣泛存在，使麥克斯韋逐漸意識到，可以打破具體物質構成的樊籬，完全從數學結構出發，將具有相同數學表達形式的現象當成同一種對象來研究——這就是他的“數學分類”（Mathematical Classification）思想。這一思想成熟于1870年左右，他先后在1870年秋[Maxwell 1871a]和1871年春[Maxwell 1871b]的兩次演講中闡述了這一思想。其中后一次演講可以視力他確立完整的數學分類思想的綱領性文件，他在文中提出，存在兩種對物理量進行分類的方法，一種是慣常的，按照它們所屬的物理學分支，如聲、光、電、熱、力……分類——他稱之為物理分類法;另一種就是根據數學或日形式類比來分類，即數學分類法。他還提到前人對電現象與磁現象的類比，以及湯姆森的靜電力·熱流類比，指出：“很明顯，所有這種類比都依賴于一種更基本的天性的原理”——而這種更基本的天性，對于麥克斯韋來說，顯然就是它們的數學天性。

在今天，這一“數學分類”的理念，盡管很少得到明確論述，但實際上早已在整個科學領域——不僅僅是物理學中——廣泛使用，并幾乎已成為缺省配置了。用著名物理學家費因曼（Richard Feynman）的話說——“同方程同解”（Thesame equations have the same solutions） [Feynman 1963]，這已成為幾乎所有數理科學家奉行的一條最樸素真理。今天的每個物理系學生學術訓練中最重要的部分之一就是熟記一大堆數學物理方程，并學會在遇到某一問題時正確地選出其中一個套用。其中最大名鼎鼎的包括波動方程、拉格朗日方程、哈密頓方程，等等。而同一方程的跨學科使用更加引人注目，比如滲透理論同時適用于鐵磁性、果園里的真菌侵染擴散、森林火災擴散，乃至螢火蟲閃光同步等各種問題，而這還遠非最奇特的例子。[Humphreys 2004，67-72]

物理類比方法與“數學分類”思想的結合使麥克斯韋在某種意義上與作為問題始作俑者的亞里士多德產生了某種奇妙的共鳴。在亞里士多德那里，類比同樣是與“類”的概念密切結合在一起的。并且亞里士多德提出的對事物進行劃分的兩種方法——根據特殊事物的共同x特征確定它們的種，如人、馬、鳥等等;和“類比”的方法，將“烏賊的利鰭、魚的脊骨，以及動物的骨頭”歸于一類[亞里士多德2003，頁，338-339]-和麥克斯韋的物理、數學兩種分類方法形成了意味深長的對應關系。

然而借助從麥克斯韋身上獲得的洞見反觀亞里士多德，可以發現后者恰恰在一個問題上語焉不詳。即：當一個人使用類比或日“例證”的時候，比如，在利用“忒拜反對福奧克斯的戰爭是壞的”這一命題來論證“反對忒拜的戰爭是壞的”的時候，使二者成其為一類的共同屬性——反對鄰邦的戰爭——與“壞”這個詞項間有無必然的因果關系。

對于麥克斯韋而言，這一點是明確的。麥克斯韋，包括湯姆森，通過物理類比方法所論證的東西，與論證所涉及的兩種物理現象的共同特征——即它們的數學形式——之間存在必然的因果聯系，最終的結果是根據這些因果聯系——而不是根據看上去的相似性——導出的。而對于亞里士多德的“例證”而言，問題正在于“反對鄰邦的戰爭”與“壞”這兩個詞項間的因果關系沒有得到確證。

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