談數學思想在教學中的滲透

馮杰華

摘要：初中數學蘊含了許多經典的數學思想，它是解決數學問題的指導思想與基本策略。抓住數學思想方法，是提高解決問題能力的根本所在。因此，對學生進行數學思想的滲透，可以使學生真正成為學習數學的主人。

關鍵詞：數學思想；分類；應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0004

數學思想是數學內容的進一步提煉和概括，是對數學內容的本質認識，是數學發現、發明的關鍵和動力。初中數學的主要數學思想是數形結合思想、分類討論思想、化歸思想、整體思想等。以下是筆者在教學活動中運用數學思想教學的一些體會：

一、數形結合思想

數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，以實現數形結合。數形結合是數學解題中常用的思想方法，它可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質。數學大師華羅庚曾經說過：“數離形，缺直觀；形離數，難入微。”因此，在數學課堂教學中，教師應引導學生將數形有機地結合起來，發揮數與形各自的優勢，從而使學生更好地找到解決問題的有效途徑。

例1. 某公司推銷一種產品，設x（件）是推銷產品的數量，y（元）是推銷費，圖3-3-1表示了公司每月付給推銷員推銷費的兩種方案，看圖解答下列問題：

（1）求與y的函數解析式。

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費的。

（3）如果你是推銷員，應如何選擇付費方案？

解：（1）y1=20x，y2=10x+300。

（2）y1是不推銷產品沒有推銷費，每推銷10件產品得推銷費200元，y2是保底工資300元，每推銷 10件產品再提成100元。

（3）若業務能力強，平均每月保證推銷多于3O件時，可選擇y1的付費方案；否則，選擇y2的付費方案。

圖像在上方的說明它的函數值較大，反之較小；當然，兩圖像相交時，說明在交點處的函數值是相等的。

二、分類討論思想

在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異，分各種不同情況予以分析。這種分類思考是一種重要的數學思想，也是一種重要的邏輯方法，同時又是重要的解決問題的策略。分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領會其實質，對于加深基礎知識的理解，提高分析問題、解決問題的能力十分重要。

例2. 已知直角三角形的兩邊長分別是3和4，求第三邊的長。

解：（1）3和4是直角邊時，則第三邊是斜邊，利用勾股定理容易得到斜邊是5。

（2）3是直角邊，4是斜邊時，則第三邊是直角邊，仍用勾股定理得到第三邊是■ 。

例3. 王叔叔家有一塊等腰三角形的菜地，腰長為40米，一條筆直的水渠從菜地穿過，這條水渠恰好垂直平分等腰三角形的一腰，水渠穿過菜地部分的長為15米（水渠的寬不計），請你計算這塊等腰三角形菜地的面積。

分析：本案例是無附圖的幾何問題，在此情況下一般要考慮多種情況的出現，需要對問題進行分情況討論。我們應仔細分析題意、挖掘題目的題設、結論中可能出現的不同情況，然后采用分類思想加以解決。

解：（1）當等腰三角形為銳角三角形時（如圖1），由勾股定理，得AE=25m

由DE∥FC，得△ADE∽△AFC

∴■=■，FC=24m，S△ABC=■×40×24=480（m2）

（2）當等腰三角形為鈍角三角形時（如圖2），同理可得S△ABC=■×64×24=768（m2）

點撥：使學生對勾股定理、相似三角形的判定及性質等知識的掌握上升為解決問題的一種能力，并納入已有的認知結構，利用知識產生遷移，成為新的知識生長點。

在教學中，教師應注意抓住問題的契機，適時地滲透分類思想，培養學生的分類意識，以提高學生分析、解決問題的能力。

三、化歸思想

化歸思想就是化未知為已知、化繁為簡、化難為易。如將分式方程化為整式方程，將幾何問題化為代數問題，將四邊形問題化為三角形問題等。實現這種轉化的方法有：待定系數法、配方法、整體代入法以及化動為靜、由抽象到具體等。

例4. 如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖3-1-3，根據勾股定理，則a2+b2=c2。若△ABC不是直角三角形，如圖3-1-4和圖3-1-5，試猜想a2+b2與c2的關系，并證明你的結論。

證明：（1）當△ABC是銳角三角形時，如圖3-1-4，過B作BD⊥AC，交AC于D。

設CD為x，則有BD2=a2-x2

根據勾股定理，得（b-x）2+a2-x2=c2

即a2+b2-2bx=c2。∵b>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2>c2。

（2）當△ABC是鈍角三角形時，如圖3-1-5，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D。

設CD為x，則有BD2=a2-x2

根據勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2

（上接第4頁）

即a2+b2+2bx=c2。∵b>0，x>0，

∴2bx>0， ∴a2+b2

勾股定理是我們非常熟悉的幾何知識，對于直角三角形三邊具有：a2+b2=c2的關系，那么銳角三角形、鈍角三角形的三邊又是怎樣的關系呢？教師可以引導學生通過作高這條輔助線，將一般三角形轉化為直角三角形來確定三邊的關系。

四、整體思想

整體思想的表現形式主要有整體聯想、整體設元、整體配方、整體展開、整體補形、整體改造、整體代換、整體求導等。

例5. 已知x=■-1，求■的值。

解：因為x=■-1，（x+1）2=（■）2，所以x2+2x=2。

因此，原式=■=■=-1。

用整體思想解題不僅過程簡捷明快，而且富有創造性。在數學課堂教學中，教師引導學生運用整體思想解決實際問題，可使學生在進行數學知識和實際生活雙向建構的過程中，體會到數學的價值，享受到數學學習的樂趣，體驗到充滿生命活力的學習過程。

數學思想是數學內容的進一步提煉和概括，是對數學內容的本質認識，是解決數學問題的指導思想和基本策略。因此，教師在教學中要體會教材例題、習題以及練習中所體現的數學思想和方法，培養學生用數學思想解決問題的意識，使他們成為數學的主人。

參考文獻：

[1] 鄭毓信.數學思維與數學方法論[M].成都：四川教育出版社，2001.

[2] 除 駿.淺談知識的傳授與思想方法的教學有機結合[J].初中數學教與學，2006（12）.

（作者單位：廣東省高要市金渡鎮華僑初級中學 526108）