提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力

季菊

【摘要】 數(shù)學(xué)認(rèn)知能力是人類最重要的認(rèn)知能力之一. 而課堂是教師與學(xué)生雙邊的活動(dòng)，課堂的目標(biāo)就是為了給學(xué)生營造輕松、快樂的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣. 結(jié)合教學(xué)實(shí)際，筆者闡述了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的幾點(diǎn)建議，以供探討.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)認(rèn)知能力；內(nèi)涵；策略；反思

在教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生善于解決常規(guī)問題，而不善于解決非常規(guī)的問題，更不善于發(fā)現(xiàn)和提出問題. 我們也經(jīng)常聽學(xué)生說，課上講的時(shí)候能聽得懂，回家作業(yè)不會(huì)做；也經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，自己反復(fù)強(qiáng)調(diào)的題，考試時(shí)仍然死搬硬套，表述時(shí)邏輯混亂等，究其原因，是學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面的能力略顯不足. 這種教學(xué)上的“后天失調(diào)”現(xiàn)象嚴(yán)重影響著創(chuàng)新型人才的培養(yǎng). 因此，重視對學(xué)生認(rèn)知能力的培養(yǎng)，是課堂教學(xué)中的重中之重.

一、采用多種策略，培養(yǎng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“認(rèn)知”是一種重要的心理活動(dòng). 數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，就是對數(shù)學(xué)知識(shí)（經(jīng)驗(yàn)）再度呈現(xiàn)時(shí)的認(rèn)知能力. 培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)知能力的關(guān)鍵在于教師. 如果教師課堂問題情境常規(guī)化，思維過程簡單化，那么只會(huì)降低學(xué)生的認(rèn)知水平. 因此，教師要更新教育思想，改進(jìn)教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)任務(wù)建立在學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)之上，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，采用多種策略培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)興趣，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力打下基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是“興趣”，“興趣”是求知欲的源泉. 在導(dǎo)入新課時(shí)，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，設(shè)置相應(yīng)的問題情境，讓學(xué)生在一個(gè)一個(gè)問題中集中精力，產(chǎn)生參與的動(dòng)機(jī)和自主探究的欲望，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力. 如：學(xué)習(xí)“垂徑定理”時(shí)，投影留園的圓洞門，問：“留園的大門可以看作是什么幾何圖形？”學(xué)生回答是“弓形”，老師拿出已經(jīng)準(zhǔn)備好的弓形紙片，讓學(xué)生對折，又問：“對折后，可以得出哪些相等的量？”學(xué)生回答：有弧相等、弦相等. 老師繼續(xù)問：“對折后得到的線段是什么？還具有什么性質(zhì)？”由此得到垂徑定理的性質(zhì). 又比如教學(xué)“同類項(xiàng)”時(shí)，可以這樣問：“物以類聚，人以群分”告訴我們什么道理？接著讓學(xué)生回憶家里的衣櫥和廚房里的碗櫥，讓學(xué)生回答：這些告訴我們什么？再由此引出同類項(xiàng)的概念. 這樣的教學(xué)活動(dòng)，利用學(xué)生熟悉的實(shí)物或生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷由具體實(shí)物抽象成幾何圖形的過程，既發(fā)展了學(xué)生的幾何直覺，逐步建立實(shí)物與圖形的關(guān)系，又使學(xué)生產(chǎn)生新奇感和成就感，使學(xué)生對新知識(shí)的學(xué)習(xí)充滿熱情，為數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的加強(qiáng)打下良好基礎(chǔ).

2. 引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)的遷移過程，加強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如果教師能有效地利用知識(shí)的遷移，不但有利于鞏固已學(xué)得的知識(shí)、技能和概念，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)能力. 特別是學(xué)生對已學(xué)知識(shí)已經(jīng)牢固掌握，利用已學(xué)知識(shí)去分析、探討相似內(nèi)容的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的類比，是有利于知識(shí)和技能的正向遷移的. 如：在學(xué)習(xí)一元一次不等式的解法時(shí)，可以讓學(xué)生回憶一元一次方程的解法，并找出兩種解法之間的異同點(diǎn)；又如：學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，先回憶一元二次方程的知識(shí)，找到它們之間的聯(lián)系等. 在教學(xué)中，可采用“以類比促遷移”，引導(dǎo)學(xué)生由此及彼，“以舊學(xué)新”來掌握新知識(shí)，達(dá)到加強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的目的.

3. 指導(dǎo)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文，提高數(shù)學(xué)認(rèn)知能力

任何一種知識(shí)的掌握和技能的形成，都有一個(gè)由理解到表達(dá)的過程. 所以在平時(shí)的教學(xué)過程中，指導(dǎo)學(xué)生去撰寫數(shù)學(xué)小論文，內(nèi)容可以是學(xué)習(xí)過程中的新發(fā)現(xiàn)，可以是解題過程中由困惑到解惑的過程，也可以是數(shù)學(xué)解題方法的總結(jié)，如一題多解或一題多變，等等. 將學(xué)生的小論文進(jìn)行課內(nèi)交流，選擇優(yōu)秀的推薦發(fā)表在校刊或向雜志社投稿，學(xué)生的寫作熱情高漲. 練習(xí)寫作小論文，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的推理過程產(chǎn)生了極大的興趣，又讓學(xué)生在勤奮努力不斷進(jìn)取的過程中積累豐富經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，再加以及時(shí)總結(jié)，可以使經(jīng)驗(yàn)變得更系統(tǒng)，教訓(xùn)記得更深刻. 而且寫小論文的過程還是學(xué)生不斷探索創(chuàng)新的過程，它要求學(xué)生在千變?nèi)f化的問題里，用科學(xué)的態(tài)度去觀察、分析、整理，從而把握本質(zhì)、掌握規(guī)律，并用來指導(dǎo)解決其他數(shù)學(xué)問題，從而提高了數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

二、通過觀察、聯(lián)想、驗(yàn)證等方法解題，完善數(shù)學(xué)認(rèn)知能力

觀察是一種感性認(rèn)識(shí)，是一種直覺思維過程，是我們認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑. 聯(lián)想是由一種事物想到另一種事物的一種綜合思維過程，在科學(xué)活動(dòng)中起到“腳手架”的作用，因此，在教學(xué)過程中，讓學(xué)生在反復(fù)地使用“觀察—聯(lián)想—驗(yàn)證”的思路中，尋找到解決問題的正確途徑，擴(kuò)大數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的培養(yǎng).

1. 觀察——準(zhǔn)確解題的前提條件

細(xì)致的觀察有助于正確地解題，解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，邊觀察邊思考，在觀察中找出問題的特點(diǎn)，從而使問題順利解決. 如：

例1 已知：關(guān)于x的一元二次方程（a - b）x2 + （b - c）x + c - a = 0的兩根相等，求證：2a = b + c.

分析 仔細(xì)觀察方程，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x = 1時(shí)，a - b + b - c + c - a = 0，這說明x = 1是一元二次方程的根，據(jù)此，可以找到準(zhǔn)確的解題途徑.

2. 聯(lián)想——簡捷解題的一把金鑰匙

聯(lián)想是數(shù)學(xué)解題中的一種思維方法，即根據(jù)問題中所提供的信息，展開廣泛的聯(lián)想，使問題由繁到簡、由難到易、由數(shù)到形、由未知向已知轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到快速規(guī)范、準(zhǔn)確簡捷解題的目的.

如：由■聯(lián)想到勾股定理，由a2 = （b + c）（b - c）可以聯(lián)想到相交弦定理或者射影定理，由a2可以聯(lián)想到面積公式等.

例2 已知（b - c）2 - 4（a - b）（c - a） = 0，且a ≠ 0，求■的值.

分析 由于題設(shè)條件與根的判別式Δ = b2 - 4ac相類似，聯(lián)想到構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程（a - b）x2 + （b - c）x + c - a = 0，由Δ = 0可知方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，這樣就將例2轉(zhuǎn)化為例1，并求得結(jié)果為2.

通過觀察、聯(lián)想、驗(yàn)證等方法解題，為學(xué)生的認(rèn)知能力的完善奠定相應(yīng)的基礎(chǔ). 可見，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力并不等于專門研究各類難題的解題技巧. 正確的方法應(yīng)該是，低起點(diǎn)，讓學(xué)生參與決策，并且可以用上他們自己的解題思路. 當(dāng)學(xué)生遇到障礙時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生自己去排除障礙. 從而積累更多的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，逐步向高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力轉(zhuǎn)化.

三、利用反思教育，鞏固數(shù)學(xué)認(rèn)知能力

反思是一種較為高級的思維活動(dòng). 反思在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力中有著不可低估的作用. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生雙方不僅要盡可能多地暴露思維過程，而且要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，只有如此，才能使學(xué)生在紛繁中理出頭緒，在歧路前明確方向，在多種思路中選擇最佳.

1. 概念教學(xué)的反思

在學(xué)習(xí)概念的過程中，由于各種原因，常常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且錯(cuò)誤的原因比較隱蔽，學(xué)生往往摸不著頭緒. 此時(shí)，教師的點(diǎn)撥應(yīng)注意要充分暴露失誤的原因，讓學(xué)生從中獲得反思的對象信息，在反思中彌補(bǔ)知識(shí)上的不足和思維上的缺陷. 如：在教學(xué)“有理數(shù)與無理數(shù)”時(shí)，知道了π是無理數(shù)后，要求學(xué)生思考：“■，■，2π是無理數(shù)嗎？”在部分學(xué)生做錯(cuò)后，提醒學(xué)生相互質(zhì)疑，反思這個(gè)問題，找出問題的關(guān)鍵是什么. 通過學(xué)生對概念的反思，能更好地掌握知識(shí)，鞏固數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

2. 解題過程及規(guī)律的反思

在解題過程中，教師一方面要參與指導(dǎo)，為學(xué)生做出示范，另一方面要注意引導(dǎo)學(xué)生自己去反思，諸如審題時(shí)要選擇正確而又簡便的解題思路，計(jì)算（或證明）后要審視自己的解題過程（或證明過程）. 另外，對一些常見的規(guī)律要讓學(xué)生自己歸納出來，這樣，學(xué)生的認(rèn)知能力才能在原有的基礎(chǔ)上有所提升.

如：已知函數(shù)y = x2 + x的圖像向右平移a個(gè)單位后得到函數(shù)y = x2 - 3x + 2的圖像，求a的值.

很多同學(xué)在解這道題時(shí)，都是把函數(shù)y = x2 + x變形為函數(shù)y = （x + 0.5）2 - 0.25，再利用左加右減的法則，得到函數(shù)y = （x + 0.5 - a）2 - 0.25，再把函數(shù)展開，去求a的值. 但是這里的計(jì)算非常復(fù)雜，很難求得a的值. 這時(shí)，可以提醒學(xué)生另辟蹊徑，不能再用常規(guī)方法去解題了. 可以設(shè)置如下問題，來引導(dǎo)學(xué)生反思：（1）拋物線在左右平移時(shí)，對稱軸會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？如何變化？（2）對稱軸平移的距離與函數(shù)左右平移的距離之間有什么關(guān)系？這時(shí)學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，利用兩個(gè)函數(shù)的對稱軸去求a的值要比常規(guī)方法簡單多了.

這樣層層遞進(jìn)的提問，引導(dǎo)學(xué)生反思解題的過程，總結(jié)解題的規(guī)律，使學(xué)生茅塞頓開，思維順暢，啟迪了學(xué)生的智慧，鞏固了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力.

總之，利用課堂實(shí)例來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，既讓學(xué)生從心理上更加接受，能夠積極地參與到課堂中來，讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，幫助他們樹立自信，又教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)的方法與思維，更利于建設(shè)和諧高效的初中數(shù)學(xué)課堂.