數(shù)形結(jié)合思想在向量問題求解中的應(yīng)用

林明霞

摘要：新人教A版教材一直堅持從數(shù)和形兩個方面建構(gòu)和研究向量。所以，我們在研究向量問題或用向量解決問題時，應(yīng)樹立數(shù)形結(jié)合意識，充分挖掘條件的幾何意義。本文舉例說明了數(shù)形結(jié)合思想在求解幾類向量問題時的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；向量；求解；應(yīng)用

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）09-0140

一、求解向量的模和角度的有關(guān)問題

例1. 已知向量■，■夾角為45°，且■ =1，2 ■-■ =■，則 ■ =

分析：這種題目的常見做法是，將2 ■-■ =■兩邊平方，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題。

解：如圖1，作■ =2 ■， ■ =2 ■，∠AOB=45°，則■ =■，■ =2，設(shè)■ =x，根據(jù)余弦定理可得■2=

22+x2-2·2·x·cos45°，得x=3■。

例2. 已知兩個單位向量■，■的夾角為60°，■ =t■+（1-t）■若■· ■=0，則t=

分析：本題利用數(shù)量積知識能算出t的值，然而利用幾何法更加一目了然。

解：如圖2，作 ■ =■，■=■，■=■ =t■+（1-t）■即■=t■，則點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線。因?yàn)椤?=■ =1且夾角為60°，所以△OAB為正三角形，所以■=1，又因?yàn)椤觥?■=0，即OC⊥OB，所以在Rt△COB中，∠COB=60°，OB=1，所以，BC=2，那么t=2。

二、求解向量最值或取值范圍的問題

例3. （2008.浙江）設(shè)■，■是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 ■滿足（■ -■）·（■ -■）=0，則■ 的最大值等于（ ）

A. 1 B. 2 C. ■ D. ■

分析：該題將條件（■ -■）·（■ -■）=0展開，利用數(shù)量積能得到答案，但利用幾何法更加簡潔。

解：如圖3，■ =■，■ =■，■ =■，■ =■-■=■ -■，■=■-■=■ -■則由題意得CA⊥CB又OA⊥OB，則點(diǎn)O和點(diǎn)C都在以AB為直徑的圓上，所以■ max=■max=■=■，故選C。

例4. 已知向量■=（2，0），■=（2，2），■ =（■cosα，■sinα）則向量■與■夾角的取值范圍為（ ）

A. [0，■] B. [■，■]

C. [■，■] D. [■，■]

分析：本題若按照一般求角的方法來做很難操作，但是利用幾何法非常容易。

解：■=■+■ =（2+2cosα，2+2sinα），則點(diǎn)A在以點(diǎn)C（2，2）為圓心，半徑為■的圓（x-2）+（y-2）上。如圖4，則當(dāng)OA與圓C相切時， ∠AOB分別取得最大、最小值。因?yàn)镺C=2■，AC=2，AC⊥OA，所以∠AOC=30°，又∠COB=45°，所以∠AOB最大為75°，最小為15°，故選D。

三、求解向量恒成立問題

例5. （2005.浙江）已知■ ≠■，■=1，對任意的t∈R，恒有 ■ -t■≥■ -■，則（ ）

A. ■ ⊥■ B. ■ ⊥（■ -■）

C. ■ ⊥（■ -■） D. （■ +■） ⊥（■ -■）

分析：本題采取代數(shù)法和幾何法都可以解決。代數(shù)法是通過將■ -t■≥■ -■兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式恒成立問題，但計算上容易出錯。

解：如圖5，■=■，■=■，有■ -t■≥■ -■恒成立，即■ -■表示點(diǎn)A到向量■所在直線的最短距離，所以有■ ⊥（■ -■）成立，選C。

例6. （2013.浙江）設(shè)△ABC， P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=■AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有■ ·■≥■·■，則（ ）

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90° C. AB=AC D. AC=BC

分析：本題方法多樣，但是很多學(xué)生無從下手，究其原因是對 ■ ·■≥■·■的本質(zhì)不了解。而大多采用代數(shù)方法，計算麻煩。

解：利用公式 ■· ■=■，則■ ·■≥■·■化為■≥■

如圖6，取BC的中點(diǎn)M，則有■2≥■2，即■≥■，即點(diǎn)M到直線AB的距離以MP0最短，所以有P0M⊥AB，取AB中點(diǎn)N，則P0M∥CN，所以CN⊥AB，所以CB=CA，選D。

向量是數(shù)形結(jié)合的典范，在平常的教學(xué)中，我們應(yīng)更注重向量幾何意義的教學(xué)，讓學(xué)生樹立利用數(shù)形結(jié)合法求解向量問題的意識。

（作者單位：浙江省蒼南縣錢庫高級中學(xué) 325804）