基于ARIMA模型的全國社會消費品零售總額分析與預測

【摘要】社會消費品總額反映一定時期內人民物質文化生活水平的提高情況，反映社會商品購買力的實現程度，以及零售市場的規模狀況。社會消費品零售總額是研究居民生活水平、社會零售商品購買力、社會生產、貨幣流通和物價的發展變化趨勢的重要資料。本文利用ARIMA模型對全國社會消費品零售總額進行分析，并利用模型預測，結果顯示本文建立的模型能夠較為準確的描述和預測社會消費品總額的變化情況。

【關鍵詞】ARIMA 全國社會消費品零售總額 時間序列分析

一、模型介紹

模型結構一個序列{Xt}經過d階差分后成為平穩序列，而且能利用ARMA模型對差分后的平穩序列建模，則稱序列{Xt}的模型結構為求和移動平均模型（auto regressive integrated moving），簡稱ARMA（p，d，q），其中d為差分階數，p為回歸階數，q為移動平均階數，模型的具體表達式為：

二、全國社會消費品零售總額的實證分析

（一）數據來源及統計特征

本文選取2004年1月至2012年3月全國社會消費品的月度數據。繪制全國社會消費品的月度數據（記為序列ww）柱狀圖，圖3.1顯示序列ww的均值為8880.74，中位數為8202.5，標準差為3605.195，樣本偏度為0.536612，樣本峰度為2.203222，J-B統計量為7.146667，相伴概率為0.028062，因此可以拒絕序列ww為正態分布的原假設。

圖1 時間序列ww的統計柱狀圖

隨后檢驗序列ww的穩定性，在SPSS中對季節差分序列進行游程檢驗（以數據的平均值劃分），檢驗結果顯示|ww|=9.066>1.96，所以序列ww具有季節性，是非平穩序列。

（二）序列的平穩性處理

為了消除序列ww的趨勢性，對序列ww做一階差分得到序列ww1。選擇無截距項和趨勢項的模型對ww1進行單位根檢驗。檢驗t統計量的值是-1.753338，小于各個顯著性水平下的臨界值，所以拒絕ww1不存在單位根的原假設。也就是說，序列ww1存在單位根，因此，序列ww1是非平穩的，序列ww的趨勢性沒有徹底消除。

為進一步消除趨勢性，對序列ww1做二階差分得到序列ww2，然后選擇無截距項和趨勢項對ww2進行單位根檢驗，檢驗結果顯示：t統計量的值是-11.71001，大于各個顯著性水平下的臨界值，所以接受ww2不存在單位根的原假設。也就是說，序列ww2不存在單位根，因此，序列ww的趨勢性已經消除。

但是，當滯后期k=12時，序列ww2的自相關系數是0.680，與0有顯著差異，當滯后期k=24是，序列ww2的樣本自相關系數也較大為0.614。表明序列具有周期為12個月的季節波動。因此，對差分序列ww2進行長度為12的季節差分：ww3（t）=ww2（t）-ww2（t-12），得到ww3（t）。

對序列ww3的穩定性進行檢驗，檢驗結果顯示|ww2|= 2.332>1.96，所以接受原假設，也就是說序列ww3仍然是不平穩序列。當k=12和k=24時，樣本的相關系數偏大，這說明序列經過季節差分之后仍然具有季節性。

（三）序列ww3的零均值檢驗

圖2 序列的特征分析

圖2顯示：ww3的均值為1.50122，可以接受均值為0的假設，表明序列ww3為零均值序列，所以對序列ww3建立成績季節模型。

（四）模型的識別與初步定階

序列ww2長度為12的一階季節差分后，仍具有季節效應，存在季節AR算子U（BS）及季節MA算子V（BS），所以建立ARIMA（p，1，q）×（1，1，1）12模型。

根據Box-Jenkins建模思想，可以通過模型ARIMA（3，2，1）×（1，1，1）、ARIMA（3，2，1）×（1，1，0）、ARIMA（3，2，1）×（0，1，1）、ARIMA（2，2，1）×（1，1，1）、ARIMA（2，2，1）×（1，1，0）、ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）、ARIMA（3，2，2）×（1，1，1）、ARIMA（3，2，2）×（1，1，0）和模型ARIMA（3，2，2）×（0，1，1）這9種模型對序列進行擬合。

（五）參數估計和模型的選擇

結合九種模型的AIC值和剩余平方和的大小來看，模型，ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）擬合效果較好。

表1 模型的參數

從相伴概率來看，ARIMA（3，2，1）×（1，1，1）中的ψ3ν1都不能通過顯著性水平為0.05的假設檢驗，因而接受值為零的原假設。應將這幾個系數對應的變量剔除，重新進行回歸分析。

改進后的模型為ARIMA（2，2，1）×（1，1，0），模型所有系數的相伴概率都基本為零，可以拒絕值為零的原假設。記ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）的剩余平方和為A0，模型ARIMA（2，2，1）×（1，1，0）的剩余平方和為A1，用F統計量來考查兩種模型之間是否具有存在明顯差異。

F0.05（4，77）=2.5787，顯然F1

（六）模型的適應性檢驗

檢驗結果顯示：t統計量的相伴概率幾乎為零，在各置信度水平下都可以拒絕原假設，由此認為ARIMA（2，2，1）×（0，1，1）模型充分擬合了原時間序列。

三、模型的預測

下面利用建立的差分方程模型，利用差分方程的預測方法對全國客運量的變化情況進行預測。對于上面已經建立的模型可以轉化為：

向前做3步預測，這里，l=3，p=27，q=13。預測結果如下表：

四、結論

社會消費品零售總額是研究居民生活水平、社會零售商品購買力、社會生產、貨幣流通和物價的發展變化趨勢的重要資料。本文利用ARIMA模型對全國社會消費品零售總額進行分析，并利用模型預測，結果顯示本文建立的模型能夠較為準確的描述和預測社會消費品總額的變化情況。為相關部門對社會消費品零售總額的研究提供依據。

參考文獻

[1]位欽，時間序列分析，嵐.時間序列分析與動態數據建模[M].北京理工大學出版社，1988.

[2]賢達.時間序列分析：高階統計量方法[M].清華大學出版社，1996.

[3]應用時間序列分析[M].中國人民大學出版社，2005.

基金項目：中央高校基本科研業務費專項基金（NO.SWJTU12ZT14）；中國鐵路總公司科技研究開發計劃重點課題（2013J1006—B）；成都鐵路局科技研究計劃重點課題（CX1304）。

作者簡介：陳靜靜（1990-），女，山東德州，碩士，研究方向：可靠性理論與研究。