將滲透數學思想進行到底

余艷紅

數學思想是數學的靈魂. 2011年版《數學課程標準》指出：要結合學習數學的教學內容，有目的、有計劃滲透數學思想方法. 這樣，既能使學生更好地理解和掌握教學內容，更能使學生感悟數學思想方法，初步理解教學內容的精神實質，感受數學科學的精髓，幫助學生用數學的眼光看待世界，初步學會思維，發展數學素養. 本文以蘇教版五年級下冊“圓的面積”一課教學為例，談談如何基于數學思想的教學.

一、目標中明晰數學思想

小學數學教材體系有兩條基本線索：一條是明線索，就是清清楚楚地寫在書上的數學知識；另一條是暗線索，就是蘊含在教材中的數學思想方法. 因此，就需要教師在鉆研教材時把數學思想方法從隱含教材背后中挖掘出來，以便在教學目標中明確每個數學知識所要滲透的數學思想方法. 這樣讓數學思想方法在教學目標中明確，滲透才有方向. 如，“圓的面積”一課，在教學目標的定位時，筆者就要考慮轉化、極限思想的滲透，就要明確在引導學生經歷把圓轉化成已學過的平面圖形的過程自然無痕滲透轉化、極限思想方法. 目標是教學的靈魂，教學的方向，心有明晰的數學思想的目標，才能在預設中凸顯，過程中落實.

二、設計中凸顯數學思想

教學目標中明晰了數學思想方法，進一步就要在教學設計時確立數學知識與數學思想方法的對接點，把滲透數學思想方法凸顯在教學設計的每一個環節. 如，“圓的面積”預案中，筆者在教學過程的每個環節中凸顯數學思想方法：（一）回憶，喚醒轉化思想. 讓學生回憶已學過平面圖形面積公式的推導過程，喚起學生對探究平面圖形方法的回憶與再認識，啟發學生對轉化思想的思考與運用. （二）探究，體驗轉化思想. 引導學生合作交流，探究圓的面積公式推導的一般方法，經歷其轉化過程. （三）演示，感受極限思想. 利用多媒體課件的演示，讓學生感受極限思想. （四）反思，梳理數學思想. 在反思環節，除了回憶我們學了什么知識，還讓學生說說是如何獲得這些知識的，什么思想起了很大的作用.

三、過程中孕育數學思想

2011年版《數學課程標準》確定了兩類目標：一類是結果性目標，指向是基礎知識與基本技能；另一類是過程性目標，指向是數學基本思想和基本活動經驗. 因為數學思想方法是屬于過程性目標，只有在教學過程中滲透、孕育. 因此，在引導學生經歷圓面積推導的過程中，就要通過觀察、猜想、實驗、分析、綜合、抽象、概括等活動讓學生體驗到知識背后負載的方法、蘊含的思想. 如，“圓的面積”中例8的教學是探究圓的面積推導過程，是孕育轉化、極限數學思想的重要環節，也是本節課教學的重點和難點，在此，教師一定要舍得花時間，讓學生經歷圓的面積的推導過程.

（一）回憶，喚醒轉化思想

師：同學們，我們以前研究一個新圖形的面積時都用過哪些方法？比如，研究平行四邊形.

生：把平行四邊形沿高剪開，平移轉化成長方形.

師：這里我們利用了什么方法，把新的知識變成舊的知識進行研究？

生：轉化的方法.

師：看來，轉化是一種非常好的研究問題的方法. （師板書：轉化）今天，我們要研究圓的面積的計算方法，應該怎么辦？

生：也可以應用轉化的方法把圓轉化成已學過的圖形進行研究.

師：你的想法非常有道理，就按你的想法來研究.

（二）探究，體驗轉化思想

1. 引導學生同桌合作，依次將圓形紙片平均分成2份、4份、8份、16份，并拼成一個近似的平行四邊形.

2. 引導學生想象：如果把圓平均分成32份，拼成的圖形會有怎樣的變化？在學生充分交流的基礎上，通過多媒體演示驗證學生的想象.

3. 再次引導學生想象：如果把圓平均分成64份、128份拼成的圖形會有怎樣的變化？使抽象難懂的極限思想生動地外化為一個“無限趨近”的過程. 學生經歷多次操作、多次想像、多次驗證，感受了轉化和極限思想方法，印象深刻.

（三）觀察，尋找兩圖關系

師：觀察圓轉化成長方形的示意圖，你發現了什么？

生：兩個圖形的面積相等，長方形的寬是圓的半徑，長方形的長是圓周長的一半.

師：你真善于觀察.

師：誰再來完整地說一遍？

（四）歸納，領會推導過程

1. 教師引導學生說：把圓沿半徑剪開拼成一個近似的長方形，長方形的長是圓周長的一半，用字母πr表示，長方形的寬是圓的半徑，用字母r表示. 因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積 = 圓周長的一半 × 半徑，用字母表示S = πr × r = πr2.

2. 學生試說：結合演示，請幾名學生說一說推導過程.

3. 同桌互說：針對各自拼成的圖形互說推導過程.

4. 默想過程：閉起眼睛回想圓的面積的推導過程.

四、練習中內化數學思想

練習是鞏固知識、形成技能的重要環節，也是數學思想方法的獲得過程和應用過程. 數學思想方法在例題的教學中是屬于滲透、孕育階段，在練習中則進入了明晰的階段. 這是一個從模糊到清晰的飛躍. 而這樣的飛躍，則要依靠系統的練習來實現. 因此，教師要根據實際的教學內容，科學設計練習，彰顯數學思想.

（一）專項練習

把圓沿半徑剪開拼成一個近似的（ ） ，長方形的長是（ ），用字母（ ）表示，長方形的寬是（ ），用字母（ ）表示. 因為長方形的面積 = 長 × 寬，所以圓的面積 = （ ），用字母表示S = （ ） = πr2.

（二）聯想練習

1. 看到這些圖形的條件你能聯想到圓的什么？

2. 看到下列圖形的條件你聯想到圓的什么？可以求出圓的什么？

比如，要引導學生說，看到長方形的長15.7 cm，我聯想到這15.7 cm就是圓周長的一半，即πr = 15.7，可以求出r = 15.7 ÷ 3.14 = 5，進而求出圓的面積；或看到長方形的寬5 cm，想到圓的半徑就是5 cm，可以求圓的直徑、周長、面積.

通過回憶圓面積的推導過程，看圖形逆向聯想圓的什么的多層練習，有意識地把數學思想滲透在練習中，既突出重點又突破難點，強化了學生對圓的面積推導過程的認識，又內化了數學思想，真可謂一箭雙雕. 所以，教師對習題的設計也應該從數學思想方法的角度加以考慮，盡量多設計一些能使不同學習水平的學生都能解答的習題.

五、拓展中深化數學思想

根據知識的重點、難點設計蘊含數學思想的拓展性練習，進一步體驗、深化數學思想方法.

（一）選一選

圖中圓的半徑為r，長方形的長為πr，甲、乙兩塊陰影部分的面積相比較. （ ）說一說你選擇的理由.

A. 甲的面積大

B. 乙的面積大

C. 一樣大

D. 無法比較

（二）解一解

1. 把一個圓形紙片剪拼成一個近似的長方形，長方形的長等于12.56 cm，這個圓形紙片的面積是多少平方厘米？

2. 把一個圓形紙片剪拼成一個近似的平行四邊形，平行四邊形的高等于6 cm，這個圓形紙片的面積是多少平方厘米？

3. 圖中圓的面積與長方形的面積相等，已知圓的周長是62.8 cm，長方形的寬是多少厘米？

六、反思中提升數學思想

課尾反思梳理是提升數學思想不可忽視的環節. 數學思想隨著學生對數學知識的深入理解，表現出一定的遞進性. 在課尾的小結，適時對數學思想方法進行概括和強化，不僅可以使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在的規律，而且可使學生逐步體會數學思想方法的精神實質. 如，“圓的面積”課尾反思梳理環節，除了引導學生回憶，這節課我們學習了什么知識，更重要的是要引導學生反思：這節課我們是如何推導出圓的面積公式的？及時幫助學生回憶圓的面積的推導過程，再一次使學生能清楚地意識到：轉化是解決問題的有效方法. 同時，把問題向課后延伸：同學們，課堂上由于時間關系我們僅探究了把圓轉化成長方形或平行四邊形來推導圓的面積，其實還可以把圓轉化成三角形、梯形，請同學們利用手中的圓形圖片課后繼續研究.

總之，基于數學思想的教學，這是2011年版課標倡導的理念. 為了有效地落實這一理念，在數學教學中就要有意識地滲透數學思想，讓我們的課堂教學擁有思想的脊梁，真正實現數學思想是數學教學的靈魂. 當然，在滲透數學思想的過程中，還要注意滲透的系統性和反復性.