對一道“綜合與實踐”實際問題的理性思考

邵則強

“綜合與實踐”學習將幫助學生綜合運用已有的知識和經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活密切聯系、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以發展他們解決問題的能力，加深對所學內容的理解，體會各部分知識之間的聯系.

1. 結合實際情境，經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程，并在此過程中，嘗試發現和提出問題.

2. 會反思參與活動的全過程，將研究的過程和結果形成報告和小論文，并能進行交流，進一步獲得數學活動經驗.

3. 通過對相關問題的探討，了解所學過知識（包括其他學科知識）之間的關聯，進一步理解有關知識，發展應用意識和能力.

問題提出：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人.為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數為：1 + 3 = 4（如圖①）。

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×2=7（如圖②）.

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1 + 3 × 3 = 10（如圖③）.

（4）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（3）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是1 + 3 × （10 - 1） = 28（如圖④）.

拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍、綠五種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是 .

（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數是 .

（3）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n < 20），則最少需摸出小球的個數是 .

拓展二：在不透明口袋中裝有m種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：

（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是 .

（2）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n < 20），則最少需摸出小球的個數是 .

問題解決：（1）請把本題中的“實際問題”轉化為一個從口袋中摸球的數學模型.

（2）根據（1）中建立的數學模型，求出全校最少需抽取多少名學生.

理性思考：

（1）關注模型的建立，培養建模能力.

（2）重視數學問題的設置，積累數學活動經驗.

（3）滲透數學思想方法，提高合情推理水平.

（4）關注學生數學建模活動的評價，實現過程性評價的激勵功能.