高等數學形象化教學方法探析

楊顯東

摘 要 分析、闡述高等數學形象化教學原則，結合教學實踐論述在教學中如何合理使用形象化教學方法，將抽象的數學理論知識形象化，以突破教學難點，啟迪學生思維，達到良好的教學效果。

關鍵詞 高等數學；形象化；教學原則；教學方法

中圖分類號：G642.4 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2014）10-0094-03

高職高等數學抽象理論占了相當大的部分，這些抽象的理論使學生難以理解，學生感到學數學枯燥無味，甚至望而生畏。這樣一個嚴峻的客觀現實需要改變，否則，高等數學這門高職高專的基礎課程很難達到為專業課服務及培養學生數學素養的目的。

面對當前高職高專的數學教育教學現狀，怎樣才能使學生學進去、學懂學通，較好地使用高等數學知識解決實際問題呢？筆者認為高等數學的形象化教學方法是突破點，因為形象化教學可以建立感性認識與理性認識的緊密聯系，使學生能思維清晰地進入到抽象知識的領域中去，在這一過程中理解掌握數學知識。

1 形象化教學原則

所謂形象化教學是指在教學過程中借助于各種視聽手段，以科學準確的材料、淺顯生動的例子、直觀簡潔的圖形來表達所要講述的抽象概念及定理的一種教學方法。對于數學來講，這種教學方法的本質就是數與形的結合，以動或靜的“形”表現、反映抽象的“數”，從而達到將抽象理論形象化并使學生理解掌握的目的。

數學教學活動是一種特殊的認知活動，其特殊性主要表現為學生學習數學的過程是在教師的指導下有目的地重復“發現”前人所總結的數學知識、經驗的過程。這一過程應充分地體現從具體到抽象、從感性到理性的飛躍。在這一過程中，教師應充分利用各種方法，化抽象為具體、形象，在重點難點問題上排除學生的思維梗阻，激發學生的思維，使學生理解、掌握、應用所學知識。

數學抽象理論的形象化教學就是要使學生可以從具體的、可感知的形象中，體悟出抽象的概念以及理論的本質含義。形象化的作用，直接體現在促進學生的記憶與理解，加強學生對抽象概念與原理的還原能力，進一步提升學生的思維深度與廣度。

首先，教師在形象化教學中使用的形象化材料、信息，必須與學生的認知結構具有相似性、相關性，能夠啟迪學生的思維，觸發學生聯想，使學生進入所學知識的教學情境。

其次，教師在形象化教學中使用的形象化材料、信息，必須準確反映相關的概念、原理的本質。不能使用似是而非，反映問題不準確的相關材料、信息。

再次，教師在形象化教學中使用的形象化材料、信息，必須注意到能使學生逐漸掌握化抽象為形象的逆向思考問題的方法，在教師的引導下能夠積極思維，建立已有知識與新的抽象知識內容的緊密聯系，從而完成從形象到抽象的過程。

2 形象化教學方法

將抽象的理論知識形象化，應從理論知識的本質入手，抓住學生難以理解的關鍵點，準確地刻畫知識之間的關系，以恰當的邏輯根據、直觀的形象化材料與信息反映理論知識的內容。這種直觀的形象化材料、信息清晰反映知識的來龍去脈，解決學生理解問題的障礙，使學生順利地通過從形象化向抽象化的過渡。

具體理論知識的形象化教學，要根據理論知識的自身特點進行形象化的設計。同類的理論知識可以從相同的角度出發，也可以從不同的角度出發，使用針對性相當的直觀的形象化材料、信息。不同類型的理論知識，一般用不同的方法去處理。從某種意義上講，形象化教學材料、信息的使用直接影響形象化教學的效果，教師在教學實踐中應不斷研究。

動態幾何直觀使問題的本質明確清晰 傳統的“粉筆加黑板”的教學手段，難以進行動態的、直觀形象的處理，有很多的數學理論知識“只能意會，不易言傳”，只能在教師的引導下，學生發揮充分的想象去認識理解。這種想象狀態下的知識的理解對于學生來說是困難的，學生的理解有時是片面的、含混不清的，甚至是錯誤的。

信息技術的發展、多媒體技術的普及使得數學問題的動態直觀形象變得非常的容易。教學中教師可以使用信息技術營造所學習知識的動態環境，使用多媒體技術、數學軟件將數學知識內容動態化、可視化、趣味化，把變量數學的運動變化過程活生生地展現在學生面前，使學生在觀察中受到思維的啟迪，理解知識、發現規律，抓住問題的本質，進而透徹理解，學懂學通。

比如在學習傅里葉級數時，學生搞不清為什么一個周期函數可以用一個級數去逼近？為什么可以用一系列的三角函數的和去逼近它？為此，用數學軟件做了一個課件，這個課件可以形象地演示三角級數逼近周期函數的動態過程，這一過程直觀形象地展示在學生面前，使得學生對級數逼近周期函數的理解既準確又全面。

利用多媒體動畫手段，可以把抽象概念的形成過程充分地展示出來，這既包括展示各種情況下數量關系的變與不變，更包括“數”與“形”的內在抽象關系。同時，多媒體手段的應用可以根據教學的需求進行控制，學生在這種定制化的教學情境中，即便教師不用更多的語言講解，學生也會受到啟發而自我總結出數學規律。實際教學實踐中，在講解極限與定積分的概念時，使用這種方法收到非常好的效果。

講解解析幾何的空間圖形，一直是一個教學難點。由于空間圖形難以描繪，因此普通講解方式，需要學生具有豐富的抽象思維能力和空間想象能力才能領會。計算機圖形與動畫的輔助教學優勢，在這里得到充分發揮。應用計算機輔助手段，柱面、拋物面、旋轉曲面等幾何形狀可以用繪制動畫圖形的方式非常準確地表現出來，使原本靜止抽象難以繪畫的圖形生動、形象、易懂。

靜態幾何直觀使問題形象具體 對于高等數學教學，圖形是最好的簡明清晰的直觀教具。圖解是解決問題的一種良好策略。好的圖形反映數學問題具體形象，好的圖解直擊問題本質。以圖啟思、以圖解難是高等數學特點所決定的一種好的教學方法。

靜態的幾何直觀借助幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。這種感知是學生建立知識間聯系的極好條件，在這種感知中學生建立數學概念、理解數學原理。

比如，在講解微分中值定理時，用圖1所示直觀圖去講解非常有效。通過圖形的展示，即說明了羅爾定理的本質，又自然地引出了拉格朗日定理，并且揭示了羅爾定理與拉格朗日定理的聯系與區別。學生在這種情況下，“數”與“形”渾然一體，理解與記憶的效果是非常好的。

又比如在講解求函數的極值時，閉區間上的連續函數的極值怎么求？用圖2可以非常清晰地啟發學生得出求解的基本方法。圖象反映出閉區間上的連續函數的極值點只可能在函數的兩類點處取得，即函數的駐點與函數的不可導點。

在講解求閉區間上連續函數最值時可以使用類似的方法，教師設計幾幅圖象，圖中包含圖象的最高點或最低點在區間的端點、函數的駐點、函數的不可導點取得的情況；讓學生觀察圖象，在教師的引導下得出求解函數最值的方法：求出區間端點、函數的駐點、函數不可導點的函數值，比較大小以確定最值。

教師在教學中應特別注意的是，圖象應典型、直觀反映數學問題本質，學生應通過對圖象的觀察，讀出數學的意義，進而抽象出數學的概念與原理。

教學語言形象生動，直接影響學生對問題的正確理解 教師的教學語言應準確、形象、生動。教師的形象化語言是聽覺和視覺相互結合的語言藝術，要求教師必須對教學內容進行深刻的理解、感受、體驗，通過恰當的比喻、通俗的語言把數學知識的形象化展現給學生，促使學生深入理解知識，建立知識間的聯系，達到使學生學懂學通的目的。

比如，在解釋某區間內函數處處可導時，在配合函數圖形的情況下，通俗形象的語言表述為：在這個區間內函數圖象上的任何一點都有不垂直于x軸的切線。這樣，學生會很快建立函數可導與圖象的關系，達到深刻理解函數處處可導的意義。

比如，無窮小的比較是個知識難點。表示當x→2時，α是比β高階的無窮小。形象化的解釋是當x→2時，α向零趨近的速度比β快得多；打個比喻就是，α坐著火箭趨向于0，而β步行趨向于0。同階無窮小與等價無窮小可以做類似比喻。

形象化資料的積累加速學生對抽象理論的理解 將抽象的理論形象化，需要學生具備必要的形象化資料，而這些資料應源于學生已有的理論知識與實踐知識的積累。形象與抽象是相對的，而非絕對的。某一抽象的理論已被學生掌握，對他們來說，就是新的抽象理論的形象化資料了。從某種意義說，形象化資料的積累過程也是抽象理論知識的積累過程。

學生數學形象化資料的積累過程中，教師應有意識地注意兩方面的東西：一是典型的數學理論形象化的基本方法，這種方法有很好的遷移性，使得學生可以在學習相關理論知識時自覺使用；二是典型的數學理論形象化的實例，這種典型的實例說明問題直觀、反映問題本質，并具有與其他知識相互聯系緊密的特點，可以使學生舉一反三、觸類旁通。

在教學實踐中，教師應把握形象化教學原則，正確使用形象化教學方法，運用信息技術設計適應學生的形象化教學情境，啟發學生思維，以達到使學生理解理論知識、掌握數學基本方法的目的。

參考文獻

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