三角函數教學中如何突顯數學思想

劉芷含

【摘要】數學思想方法的教學是數學教學的靈魂，也是數學教學的難點，教師應根據新課程標準的要求提煉出數學思想方法，教學過程要以揭示數學思想方法為主線，不同的數學思想方法在不同的階段有著不同的處理方法.

【關鍵詞】三角函數；思想方法；課堂教學

三角函數的教學一直是高中數學教學的重點，也是體現“雙基”的典例，然而教學效果卻不盡如人意.究其根源，過去的教學大綱片面強調三角恒等變形技巧的訓練，過于強調推理的嚴謹性和運算的準確性，但缺乏實際背景的支撐，即忽視了三角函數的主干作用，忽視了數學思想方法的研究.現在高中新課程標準明確提出三角函數是描述周期變化的重要數學模型，強調數學建模，強調幾何直觀，強調知識之間的聯系.然而在高中三角函數中涉及的數形結合、數學建模、向量思想、轉化與化歸等諸多數學思想方法，如何從數學的形式演繹體系中挖掘出來，教學過程中如何處理才能突顯其作用？

一、超越形式演繹，挖掘數學思想

數學是由問題驅動的，問題解決的過程包含了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題四個步驟，其中又伴隨著邏輯推理和理論抽象.而這些都是受到一系列數學思想方法控制和引導的.由此數學思想方法的主導地位就十分突出了.

張奠宙先生曾指出：“數學的學術形態，是形式化的演繹體系，數學教育的任務是將這種學術形態轉換為學生易于接受的教育形態.教育形態的靈魂就是數學思想方法.”數學思想方法能給冰冷的數學注入火熱的思考.

二、內隱操作，感悟數學思想

對于三角函數的處理，《國家高中數學課程標準（實驗版）》（以下簡稱《課程標準》）將重心放在強調數學建模和加強幾何直觀兩點上.一方面，《課程標準》突出三角函數的實際背景和應用，即強調三角函數的模型作用；另一方面，突出幾何直觀對理解抽象數學概念的作用，即發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓直觀地認識和理解由任意角的三角函數定義延伸出的整個演繹系統.因此，教師要緊扣這兩點展開教學.模型思想和數形結合思想在這個階段的主要教學策略是“讓學生探索、構建與掌握數學知識和技能”，隱藏在背后的數學思想方法基本上是由學生在探索、構建與掌握知識中去“感悟”.

1.模型思想

三角函數是刻畫周期現象的重要數學模型.學習數學模型的最好方法是經歷數學建模的過程.教學過程中可根據學生的生活經驗來創設情境.例如，通過單擺、彈簧、圓上一點的運動以及波浪、潮汐、四季變化等實際背景，使學生感受圓周運動的廣泛性，認識圓周運動的變化規律，順勢提問：函數是描述事物變化規律的模型，什么樣的函數才能反映圓周運動的周期性呢？這樣既解決了引入任意角的三角函數的必要性問題，又讓學生感悟了模型思想.在研究三角函數性質后，注意運用這一模型刻畫和描述實際問題，數學來源于生活，高于生活，模型可用來解決包括原型在內的更加廣泛的問題.

2.數形結合思想

從初中階段學生所認識的銳角到任意角，從銳角三角函數到任意角的三角函數，在知識、方法和思維上都有很大的跨越，教學的重點就是在學生已有認知結構中找到與之有內在聯系的“固著點”.首先要讓學生理解終邊坐標定義，由“取點——求距離——算比值”三個步驟組成.然后引入單位圓，將比值簡化為坐標.在對概念的內涵、外延、變形、應用進行講解時，突出強調三角函數的幾何意義，整個概念教學過程中，讓學生深刻感悟幾何直觀的妙用.當然，對單位圓的認識不能一步到位，需在后續的三角函數在各象限內的符號、同角三角函數的關系式、誘導公式等的教學中循環上升，逐步加深在單位圓中研究三角函數的本質內涵的認識和理解，同時提高應用意識.

三、主動運用，積累數學思想

《課程標準》處理三角恒等變換的重點在于讓學生體會向量在處理三角函數問題中的工具作用以及向量與三角函數的聯系、數與形的聯系、三角恒等變換公式之間的內在聯系.知識之間的聯系這條明線是由數學思想方法這條暗線串聯起來的，三角恒等變換的核心內涵就是轉化與化歸、函數與方程、數形結合、分類討論等數學思想方法.數學是“做”出來的，在本階段的教學中，要突出教師的導向性作用，既要使用顯性而明確的語言概括出數學活動背后的數學思想，還要構造一些數學問題進行訓練，以增強運用數學思想的意識，并在“做”中不斷積累經驗.

1.向量思想

兩角差的余弦公式是一個基礎命題，如果由單位圓的坐標特點進行圖形建構和變換來論證，其中的“單位圓”會對理論構建提出“嚴謹性”的質疑.《課程標準》建議用平面向量的數量積的坐標表示作為論證兩角差的余弦公式的基礎.這樣既突出向量在解決三角函數問題中的工具作用，又解決了幾何論證的直觀性與數學知識的嚴謹性的矛盾.教學過程中可將兩種方法進行對比，孰優孰劣，一目了然.但要注意課堂時間的控制，一定不要在幾何論證上深挖洞.

2.轉化與化歸思想

三角恒等變換蘊含的公式繁多，每個公式又有不同的形態，這些看似零散的公式可用轉化與化歸等數學思想方法進行聯結，升華成一個有規律的系統的知識鏈條.在處理三角恒等變換問題時，轉化與化歸具體體現在尋求已知與未知、條件與結論、新知與舊知的內在聯系，化復角為單角，化未知為已知，化“異名”為“同名”，化切、割為弦，化復雜為簡單，降維等.其實質都是利用分析與綜合建立已知與未知的聯系.練習是學好三角恒等變換的必要環節，在學生“做”的過程中明確指出數學思想，讓學生邊“做”邊感悟，“做”后反思感悟.