高中生解數學題過程中的不當的直覺思維分析

陳勇

【摘要】根據高中生解數學題常有的三種失敗境界，從直覺思維的角度分析了其解題過程中常犯的幾類錯誤，分別得出了其教學應對措施.

【關鍵詞】高中數學；錯誤的；直覺思維；措施

【中圖分類號】G633【文獻標識碼】A

我們都知道，在數學的解題過程中，知識、方法、思想三者都很重要.而我們數學課堂教學，其核心就是培養學生的數學思想，提高高中生數學解題能力.因此，培養學生數學解題能力的研究成為國內外數學教育工作者研究的活躍話題之一.在文獻＼[1＼]-＼[6＼]中，賈廣利等就數學解題過程中的整體思想、變式訓練、習題教學、逆向思維、應用問題、分層教學等做了研究，研究得細致，實用價值很高.本文將從高中生解題過程中使用不正確的數學直覺思維方面進行分析研究.

很多時候我們發現，當問到一些學生為什么沒有做對某個數學題時，他們通常有三種回答：第一種，沒感覺看不懂題或者看錯了題，所以不會做；第二種，我有點感覺，好像看懂了題，我會做，但我還是沒算出來；第三種，我感覺極好，我好不容易做了出來，但最后結果還是算錯了.之所以出現以上這三種回答，原因是多方面的，但回答中都提到一個很重要的詞語就是“感覺”，即數學感，數學感覺錯誤或者根本沒有數學感是導致他們解不出或解錯數學題的直接原因之一.特別是第二、三種錯誤，很可能是用了不當的數學感.這里所說的數學感就是一種數學直覺思維.直覺思維是一種直接的、突然的和創造性認識事物本質的特殊心理活動.縱觀高中數學教學的全過程，學生在解題的過程中出現不當的直覺思維即數學感錯誤，可能出現在以下幾個方面.

一、概念的濫用或掌握不牢

概念是對數學對象的高度抽象與概括，它是事物最本質特征的反映，每一個概念都有其定義時的背景，若對其背景視而不見，就會產生一種不可小視的錯覺.

我們先來看一個例子：

例1復數z滿足（3-4i）z=4+3i，則z的虛部為（ ）.

A.4iB.4

C.45iD.45

學生一看到這個題，會出現兩種錯誤，第一種是概念不清，不知道4+3i是什么意思，自然憑感覺猜就可能選B了.第二種就是正確計算出z=35+45i，但記不清復數的虛部是否帶i，可能直接就選出C了.在高中復數這個部分內容簡單，在教學和高三的復習中我們往往會忽視這一點，而高考題通常有這樣一個選填題，學生解題也認為簡單，會一晃而過，于是就出現了類似的直覺錯誤.

在教學過程中，當我們遇到一個基本概念時，我們應該讓學生思考，我們抓住概念的本質了嗎？概念的產生有無特殊背景和附加條件呢？如果想好這幾個問題，那么犯這個直覺思維錯誤的可能性就不大了.

而且，在數學的學習過程中，我們必須重視數學基本概念、基本公式、基本法則等的學習與理解，重點要在運用上下功夫.無論任何題型，都是從數學的基本知識中衍生出來的.因此，只有掌握了扎實的基礎知識，才能“以不變應萬變”，在解題時才有利于鍛煉學生的獨立思考能力，有利于提高學生分析問題和解決問題的能力，減少犯直覺錯誤的幾率.

二、定理的應用上，類比推理的誤導

例2在某判斷真假命題的選擇題中，有這么一個選項：設z1，z2是復數，若z1=z2，則有z21=z22.

很多學生一看就認為是真命題，因為他們知道在復平面上復數可以和平面向量對應，而且在向量的運算中，我們有：a2=a2.但復數中，z2=z2成立嗎？復數的模和復數的平方有什么區別呢？復數和向量有什么本質的區別？本題正確答案是假命題，事實上，z是一個實數，z2是一個復數，它很可能是一個虛數，潛在本質上有很大的區別，讓學生弄清這一點，這類的直覺錯誤就不會發生了.

定理、公式、性質等是對數學對象本質屬性的反映，它是快速、準確解題的基礎，但每一個公式、定理等均有其成立的特定條件和背景，如果僅依靠形式上的相似就將結論進行類比遷移，而缺少對公式、定理的理解，就容易形成錯覺.因此，教學過程中，在遇到有聯系的類似問題時，不僅要讓學生弄清楚它們的共同點，更重要的是要讓學生弄清它們的不同點和本質上的差別，特別是在高三的復習中，在學生似乎對每一個知識點都很熟悉的前提下，不搞清這一點，出現這類錯誤直覺就很正常了.

三、需要分類討論的問題中，解數考慮不清

這類包括漏解和多解兩種情況：

例3不等式（a-2）x2+（a-2）x-4<0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是.

學生一看到這個問題，就直覺感到這是一個二次不等式的恒成立問題，等式左邊的二次函數值小于零滿足開口向下且與x軸無交點，于是很自然得出：

a-2<0Δ=（a-2）2-4（a-2）（-4）<0-14

這樣做對嗎？不等式的左邊一定是一個二次函數嗎？當a=2時，不等式變為-4<2也是恒成立的.這個題的正確答案是-14

再來看一個多解的例子：

例4已知凸n邊形的各內角成等差數列，公差為5°，且最小內角為120°，則n=（）.

A.8B.9或16

C.16D.9

本題一看就是一個基礎題，由n邊形的內角各公式和等差數列的求和公式，有

（n-2）180°=120°·n+n（n-1）2·5°.

學生很容易解得n=9或n=16，就直覺地選出了B.本題的解中兩種情況是否都成立呢？事實上，當n=16時，最大內角為195°，這與凸n邊形矛盾，故選D.

一解還是兩解甚至是多解，不同的選擇反映了對數學對象本質了解的程度不同，這就造成了解答中出現增解或漏解的情況.而出現這種情況，往往是由于審題不嚴密造成的.教學過程中，我們既要讓學生認真審題考慮到多種情況，又要讓學生分析每一種情況解出來的結果是否都符合題意，多看看題目是否還有其他的限制條件尤為重要.