例說高三數學“說題”教學

莫定勇　劉小紅

【摘要】隨著課改的深入，《數學課程標準》的落實，高三數學的授課方式有了較大的變化，筆者試驗了“說題”教學方式.“說題”的主要內容是：說知識、說思路、說步驟、說變式、說反思.其中說反思包含有反思解題的根據、關鍵、思路和思想方法.本文以一例說明“說題”教學方式，交流“說題”體會.

【關鍵詞】例說；說題；說題的內容

一、問題的提出

隨著新課改的不斷深入，高中數學的授課方式有了很大的改變.但是，在日常高三數學教學中，傳統的授受式仍占很大比重，多數課堂還是老師講，學生聽，老師講得多，學生自己鉆研得少.課上老師講的聽懂了，可一到自己做題時，尤其是略微有一點難度的題，就感覺束手無策了.這是為什么？

普通高中《數學課程標準》（簡稱《課標》）的基本理念要求：“學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.”《課標》目標指出：“學生通過不同形式的自主學習、探究活動、體驗數學發現和創造的歷程”，“提高數學表達和交流的能力”，“提高學生的數學學習興趣，形成批判性的思維習慣，體會數學的美學意義”.從而“樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”.

怎樣改變高三“授受”式教學，實現《課標》目標，提高高三數學復習課的課堂效率，需要改變我們的教學方式，筆者通過實驗認為，采用“說題”教學是一種很好的教學方式.

二、說題的內容

說題，就是把讀題、分析、解答和反思的思維過程按一定程序說出來.也就是使學生從各個角度積極地思考，暴露學生的思維全過程，使學生主動獲取知識，提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力.具體地說，說題應包括如下內容：

1.說題意.主要指題目的條件和結論，條件與結論之間的關系，特別要注意挖掘隱含條件.

2.說知識.即題目的條件和結論所涉及的知識點（包括定義、公式、法則、定理、方法和原理等）.

3.說思路.即說條件、結論間的聯系和轉化，說自己的想法和猜測，說其他的解法和思路.

4.說步驟.即說每種思路解答的步驟、格式和表述.

5.說變式.說題目條件或結論進行適當變化之后，與原題目的區別和聯系.說檢查解題的思想，升華為觀念.

6.說反思.

（1）反思根據.反思每種解法是如何想到的，這樣想的根據是什么.

（2）反思關鍵.反思每種解法的關鍵點和特別注意點，反思解法的“得意”之舉、“失敗”之因.

（3）反思思路.反思不同思路的區別、聯系和優化.

（4）反思思想.反思不同解法所涉及的數學思想和數學方法.

7.說總結.說題目的來源、背景和前后知識的聯系、價值以及解法的一般化和推廣.

三、說題的實例

例設x，y∈R，則（x+y）2+（x-1y-1）2的最小值為（）.

A.14B.12C.22D.2-12

1.說題意

題目已知x，y∈R和式子（x+y）2+x-1y-12，求式子的最小值.式子隱含著條件平方和、二元二次式.

2.說知識

平方和可被看作兩點間距離的平方，平方和也可被看作平均數不等式的一部分；二元二次式可看作是把一個元視作已知數，另一個元視作變量的一元二次函數.所以，涉及有兩點間的距離公式、平均數不等式、二次函數和用導數求最值的相關知識.

3.說思路

思路一：把原式看作x的二次函數，由于其圖像開口向上，所以它的頂點縱坐標即為最小值.思路二：把原式看作點Px，x與Q-y，1y+1的距離的平方，即求PQ2的最小值.思路二（變式）：取點Mx，x+1，點N-y，1y，即求MN2的最小值.思路三、利用平均數不等式求最值.

4.說步驟

思路一：原式=2x2+2y-2y-2x+y2+1y2+2y+1.

∵x∈R，∴原式≥1y2+1+2y-2y-2y-224x2=y2+1y2+2y+2y+32

=y+1y+122≥12.

思路二：把原式看作點Px，x與Q-y，1y+1的距離的平方，點P在直線y=x上，點Q在y=-1x+1上.欲求原式的最小值，即求PQ2的最小值.

如上圖：作y=x的平行線與y=-1x+1的右下支相切時，切點到y=x的距離即為PQ的最小值.

思路二（變式）：取點Mx，x+1，點N-y，1y，則原式為MN2，而點M在直線y=x+1上，點N在雙曲線y=1x上，由該直線和雙曲線都關于y=x對稱知：N1，-1到點M的距離最小.用導數的知識求y=-1x+1的切線斜率為1的切點.如圖所示：由點到直線的距離公式或四邊形ANBO是邊長的1的正方形可知MNmin=22， ∴原式≥12.

思路三：原式≥（x+y）2+-（x-1y-1）2≥2·（x+y）+（-x+1y+1）22

=（y+1y+1）22≥12.

5.說變式

（2012全國理12）設點P在曲線y=12ex 上，點Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為（）.

A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2（1+ln2）

此題用數形結合的思想，利用導數求出點P或點Q到直線y=x的最小距離的2倍即可.升華觀念：遇有函數、幾何等相關的較難題目，首先用數形結合的思想.

6.說反思

（1）反思根據.思路一用了二次函數、三數和的平方及函數y=ax+bx來求最值；對于多元函數，我們求最值的基本思路是減少變量，最好轉化成一元二次求最值，所以思路一的根據是二次函數.

由于原式是平方和，由兩點間距離公式聯想到思路二；它的依據是平方和.

思路三使用了21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22和函數y=ax+bx求最值，由于原式是平方和，又是二元，由平方和想到不等式，由二元想到減少變量，由于消去y有困難，于是想到消去x，不等式中沒有兩數相減，所以變形為相減，由此想到該思路，它的依據是a+b2≤a2+b22.

（2）反思關鍵.思路一的關鍵（一）在于減少變量，化為二次函數；關鍵（二）在于配方，配成三數和的平方.思路二的關鍵在于轉化為兩點間的距離的平方，注意點所在的曲線，另外點取得不恰當，有可能不能正確求解，如取點S（x，-1y），T（y，x+1），則點S，T所在曲線就不能確定.思路三的關鍵在于把 b變為-b，從而消去x，易錯點在于利用這一不等式取等號的條件和多個不等式取最值時的條件.

（3）反思思路.思路一比較容易想到，但計算量較大；思路二較好想，計算量不大，特別是變式解法利用圖形的對稱性就解決了，但細節較多，思維較靈活；思路三難以想到，計算量較小，對基本功要求高，需要構造不等式的條件，思維層次較高.比較三種思路，把代數式子轉化出幾何意義是本題最“得意”之解.

（4）反思思想.思路一用的函數與方程的思想，配方法、數形結合法.思路二用的轉化與化歸的思想和數形結合的思想，導數法、數形結合法.思路三用的轉化與化歸的思想，配湊法.

7.說總結

題目在函數、導數、不等式的交匯處命題，對學生的綜合能力要求較高，體現了數學思維的靈活性和準確性.在高中把“代數式子轉化為其幾何意義”的有： ①把“商”化為“斜率”.②把“二元一次”化為“縱截距”.③把“二元一次的絕對值”化為點到直線的距離.④把“差的絕對值”化為“數軸上兩點間的距離”.

四、說題的體會

1.說題注意兩個矛盾：

（1） 課堂說題時間和教學容量的矛盾.“說題”會占用較多的課堂教學時間，出現說題與課堂教學容量之間的矛盾.所以教師應精心設計題目，嚴格控制題目的數量；點撥、歸納時，要把握實質；總結要力求簡潔、有效，要深化思維、以點帶面、舉一反三.

（2）學生的有效參與和整體提高的矛盾.說題過程所達到的最佳效果，要視全體學生的積極參與，主動思維的狀況.然而學生群體間有優中差的差別，個體能力中又有強弱項之分，因而必須堅持因材施教、因人施教的原則.充分調動全體學生說題的主動性、積極性和創造性，激發求知欲.

1.說題過程要循序漸進，內容選擇要有廣泛性.說題活動大致要經歷三個階段性的發展過程：即教師示范（學生感悟階段）→ 學生模仿（學生體驗階段）→ 學生正式說題（學生掌握運用階段）；應堅持的原則是：難度上—— 先易后難，程序上——先課本后課外，知識上——先點后面，數量上——先單一后成批，廣度上——先封閉后開放.

2.說題教學是高層次的課堂教學，其實質是“說思維”，是充分體現學生主體性的一種舉措，通過說題可以培養學生具備較高的思維能力和良好的思維品質.筆者的教學實踐表明，說題活動還有利于提高學生的數學興趣，有利于提高學生的數學成績，有利于提高學生的聽、說、思、創等綜合數學素養.

【參考文獻】

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