線性代數考研解題技巧

閻家斌

【摘要】線性代數是高等學校理工科各專業和經濟管理類專業的一門重要基礎課，也是各專業考研的一門重要課程.文章結合作者多年教學經驗和對考研線性代數的研究以及學生學習線性代數課程的感受，著重介紹了線性代數考研的一些注意事項和考研試題的特點及解題技巧，也給出了線性代數考研復習的建議.

【關鍵詞】線性代數；考研；試題特點；解題技巧

【中圖分類號】G424.6【文獻標識碼】A

線性代數是高等學校理工科各專業和經濟管理類專業的一門重要基礎課，也是各專業考研的一門重要課程.線性代數的內容不多，但基本概念和性質較多，內容比較抽象，各知識點之間的聯系也比較多.在復習的時候，首先應該由淺入深，先把基礎打好了，然后再考慮進一步提高.第一遍復習要注意在做題的過程中多做歸納、多做總結，使我們所學的知識不是孤立的，能形成一個知識鏈，這一點很重要.然后適當做一點難題，太刁鉆古怪的就不要做了，現在的試題很少有刁鉆古怪的，一般要考的就是最基本的或者是將很基本的內容綜合起來，但是這類題不屬于刁鉆古怪的，其實這類題只要多做一點多看一點，就能提高解題的方法和技巧.

考研數學按專業不同分為三個類別，即數一、數二和數三，但從線性代數角度來看這三個類別幾乎是沒有區別的，近年來，這三個類別用相同題的趨勢越來越明顯.復習中記住這樣一句話：理解基本概念，掌握解題方法，突破典型例題，注重總結歸納.總的來講，要想數學好，要想考高分應該是基礎加題型，基礎是第一位的，題型是第二位的.如果我們有基礎，又能夠掌握住題型的話，那就能夠如虎添翼了.下面我們就線性代數考研試題的特點及解題技巧來分類討論.

一、重視基本概念、基本性質、基本方法的理解和掌握

基本概念、基本性質和基本方法一直是考研數學的重點，線性代數更是如此.從多年的閱卷情況和經驗看，有些考生對基本概念掌握不夠牢固，理解不夠透徹，造成許多不應該的失分現象.這類題往往出在填空題或選擇題中，例如，2013年數一、數二和數三共用的一個選擇題為：

矩陣A=1a1aba1a1與B=2000b0000相似的充分必要條件是（）.

A.a=0，b=2B.a=0，b為任意常數

C.a=2，b=0D.a=2，b為任意常數

我們知道，兩個矩陣相似則它們有相同的特征值，但是，有相同特征值的兩個矩陣不一定相似.而實對稱矩陣必與對角矩陣相似.結合到一起可知，兩個實對稱矩陣相似的充分必要條件是特征值相同.由于這里矩陣B是對角矩陣，且矩陣B的特征值為2，b，0，那么，實對稱矩陣A與B相似的充分必要條件是A的特征值也是2，b，0.

由于矩陣A有兩行相同，顯然有|A|=0，即0是A的特征值.

令|2E-A|=0，易得a=0（因為|2E-A|=-4a），且a=0時總有|bE-A|=0，即只要a=0，矩陣A的特征值為2，b，0.故應選B.

這里注意，如果矩陣A不是實對稱矩陣，矩陣B=200020000，則矩陣A與B相似的充分必要條件是：|A|=0且R（2E-A）=1.這是因為n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是有n個線性無關的特征向量.

二、加強綜合能力的訓練，培養分析問題和解決問題的能力

從近十年特別是近兩年的研究生入學考試試題看，加強了對考生分析問題和解決問題能力的考核，很多題目都出現多個知識點的綜合，因此，要加深對概念、性質內涵的理解和應用方法的掌握.例如，2013年數一、數二和數三共用的一個填空題為：

設A=（aij）是3階非零矩陣，|A|是A的行列式，Aij是A的代數余子式，若aij+Aij=0 （i，j=1，2，3），則|A|=.

由已知，矩陣A每個元素的代數余子式都是該元素的相反數.由行列式按行展開定理知，|A|等于矩陣A任何一行元素平方和的相反數，進一步等于矩陣A所有元素平方和的相反數除3，由于A是非零矩陣，只能知道|A|小于零.

從行列式角度我們已經沒有可以用的手段，怎么辦？我們需要與條件（代數余子式）有關的其他信息.當然，我們要想到一個重要的矩陣——伴隨矩陣.由伴隨矩陣的定義不難得到，此題中矩陣A滿足：A*=-AT.（注意A*=-ATAij=-aij，i，j=1，2，3）

再利用伴隨矩陣的重要性質A*A=|A|E得到-ATA=|A|E，兩邊取行列式，并利用|AT|=|A|可得-|A|2=|A|3，于是|A|=-1.

此題把行列式及其性質、伴隨矩陣及其性質和矩陣行列式的運算性質巧妙地綜合到一起，是線性代數考研的典型題目，1992年考題完全類似，只是條件為Aij=aij.

2013年數一、數二和數三共用的另一個選擇題為：

設A，B，C都是n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（）.

A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價

B.矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價

C.矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價

D.矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價

這里條件是AB=C，且B可逆，容易得到矩陣A與C等價.但我們知道，兩個矩陣的行（或列）向量組等價則這兩個矩陣等價，但反之并不成立.那么如何將矩陣和向量組聯系到一起呢？我們可以利用分塊法，由于矩陣B是在后面乘矩陣A，我們只要將矩陣A和C按列分塊，然后由AB=C可得C的列向量組可以由A的列向量組線性表示，再利用B可逆得A=CB-1，于是A的列向量組可以由C的列向量組線性表示，即A與C的列向量組等價.

三、注重分析一些重要概念和方法之間的聯系和區別

線性代數的內容不多，但基本概念和性質較多，它們之間的聯系也比較多，要注意通過現象看到問題的本質，把一般問題轉換成熟悉的線性代數問題.例如，2013年數一、數二和數三共用的一道計算題為：

設A=1a10，B=011b，當a，b為何值時，存在矩陣C，使得AC-CA=B，并求所有矩陣C.

看上去此題就是解矩陣方程的問題，但它和一般解矩陣方程問題是不同的.首先與未知矩陣C乘積的矩陣A不一定可逆，另外即使A可逆，由于矩陣乘法不滿足交換律，我們也無法把C用A，B來表示.另一方面，題中既然問何時存在矩陣C，并求所有矩陣C，說明這樣的矩陣C不一定存在，存在時也不唯一.

分析到此，我們應該有了解決問題的方法，首先由已知不難看到矩陣C是一個二階方陣，只要令矩陣C的四個元素為四個變量代入AC-CA=B就得到關于這四個變量的含有常數a，b的線性方程組，問題轉化為討論四元線性方程組何時有解并求通解的問題.這是線性代數非常熟悉的問題.但要知道，考研題絕對不會直接讓你討論四元線性方程組何時有解并求通解.

四、充分利用所學知識，力求把問題簡化

如果遇到運算特別復雜的情況，應該想一想有沒有其他方法加以簡化，考研中一般不會出現運算特別復雜的問題.例如，2013年數一、數二和數三共用的另一道計算題為：

設二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，記α=（a1，a2，a3）T，β=（b1，b2，b3）T.（1）證明二次型 f 對應的矩陣為2ααT+ββT；（2）若α，β正交，且均為單位向量，證明 f 在正交變換下的標準形為2y21+y22.

此題大多數考生都是將二次型中兩個平方項展開，合并以后寫出二次型的矩陣，再將2ααT+ββT算出結果進行比較，當然可以得到結果，但是十分復雜.很多考生都把計算過程寫到其他題的答題紙上了，給判卷工作帶來很多麻煩（現在是利用電腦判卷）.遇到這種情況，首先想到一定有其他簡便方法.實際上（1）題只需證明f=xT（2ααT+ββT）x，其中x=（x1，x2，x3）T.而由a1x1+a2x2+a3x3=αTx=xTα，b1x1+b2x2+b3x3=βTx=xTβ，直接得到f（x1，x2，x3）=2xTααTx+xTββTx=xT（2ααT+ββT）x，這就證明了（1）.

（2）題是二次型的重要內容，由于二次型在正交變換下變成標準形，標準形的系數一定是二次型矩陣的所有特征值，所以只需證明矩陣2ααT+ββT的特征值為2，1，0.

由于α，β正交，且均為單位向量，所以αTβ=βTα=0，αTα=βTβ=1，于是有：

（2ααT+ββT）α=2α，（2ααT+ββT）β=β.

即：1和2都是矩陣2ααT+ββT的特征值.又由于

R（2ααT+ββT）≤R（2ααT）+R（ββT）≤R（α）+R（β）=2，

所以，0是矩陣2ααT+ββT的特征值.這就證明了題（2）的結論.

我們這里以2013年考研線性代數試題進行了分析，實際上考研線性代數都具有這樣的規律，只要學習中從這幾個方面認真總結，一定會提高線性代數的解題能力，在考試中取得好成績.