數學建模思想探討數學建模思想探討

顏胤豪

【摘要】“模型思想”的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立二次函數表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義.這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識.這是《課標》關于模型思想的一段描述.因此，各地中考試卷都有二次函數建模及其應用類問題.結合2013年全國各地中考的實例，我們從下面五方面進行二次函數關系式建立方法的探討：（1）應用待定系數建立二次函數關系式.（2）應用等量關系建立二次函數關系式.（3）應用幾何關系建立二次函數關系式.（4）應用分段分析建立二次函數關系式.（5）應用猜想探索建立二次函數關系式.

【關鍵詞】二次函數；數學建模；分類思想的應用；數形結合和分類思想的結合

一、應用待定系數建立二次函數關系式

待定系數法是解決求二次函數解析式問題的常用方法，求二次函數解析式是初中階段待定系數法的一個主要用途.這種方法適用于已知二次函數類型（或二次函數圖像）的一類二次函數建模問題.確定曲線方程就是要確定方程中x的系數與常數，我們常常先設它們為未知數，根據點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數與常數，寫出表達式.這是平面解析幾何的重要內容，是求曲線方程的有效方法.而二次函數可以根據題目所給條件的不同，設成一般式y=ax2+bx+c（a，b，c為待定系數），頂點式y=a （x-h） 2+k（a，k，h為待定系數），交點式y=a （x-x1）（x-x2）（ a ，x1，x2為待定系數）三類形式.根據題意（可以是語句形式，也可以是圖像形式），確定出a，b，c，k，x1，x2等待定系數，求出二次函數解析式.

例1（2013年天津市10分）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線l，頂點為點M.若自變量x和二次函數值y1的部分對應值如下表所示：

（1）求y1與x之間的二次函數關系式.

（2）若經過點T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點，線段AM的垂直平分線交直線l于點B，點B關于直線AM的對稱點為P，記P（x，y2）.

①求y2與x之間的二次函數關系式；

②當x取任意實數時，若對于同一個x，有y1

考點分析探究性，二次函數綜合題，單動點問題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數性質，由實際問題引發的數學問題，菱形的判定和性質，勾股定理，解不等式組，數形結合和分類思想的結合.

分析（1）先根據拋物線經過點（0，94）得出c的值，再把（-1，0），（3，0）代入拋物線y1=ax2+bx+c，求出y1與x之間的函數關系式.

（2）先根據（1）中y1與x之間的函數關系式得出頂點M的坐標.

①直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A與C不重合時，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥直線l，再由點P（x，y2）可知點A（x，t）（x≠1），所以PA=PM=y2-t，過點P作PQ⊥直線l于點Q，則點Q（1，y2），故QM=y2-3，PQ=AC= x-1，在Rt△PQM中，根據勾股定理即可得出y2與x之間的函數關系式.

②根據題意，借助函數圖像.

二、應用等量關系建立函數關系式

等量關系法，又可稱作方程轉化法，即根據等量關系列出含有兩個未知數的等式（二元方程），然后整理成函數形式.這種方法適用于“已知關于變量之間的等量關系（含公式）”類函數建模題.常用的尋找等量關系的方法有：（1）從常見的數量關系中找等量關系.（2）從關鍵句中找等量關系.（3）從題中反映的（或隱蔽的）基本數量關系確定等量關系.

例2（2013年遼寧營口12分）為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加.某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=-2x+80.設這種產品每天的銷售利潤為w元.

（1）求w與x之間的函數關系式.

（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

（3）如果物價部門規定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？

考點分析二次函數應用，由實際問題列函數關系式，二次函數最值.

分析

（1）根據銷售額=銷售量×銷售單價，列出函數關系式.

（2）用配方法將（1）中的函數關系式變形，利用二次函數性質求最大值.

（3）把y=150代入（2）的函數關系式中，解一元二次方程求x，根據x的取值范圍求出x的值.

三、應用幾何關系建立函數關系式

即在幾何問題中，應用幾何中的數量等量關系建立函數關系式.常用的數量等量關系有面積公式、勾股定理、比例線段（相似三角形的相似比）、銳角三角函數、有關圓的公式等.

例3（2013年福建莆田10分）如圖所示，某學校擬建一個含內接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）.矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長AB=4米，∠ABC=60°.設AE=x米（0

（1）求S與x的函數關系式.

（2）學校準備在矩形內種植紅色花草，四個三角形內種植黃色花草.已知紅色花草的價格為20元/米2，黃色花草的價格為40元/米2.當x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用（結果保留根號）？

考點分析二次函數應用，菱形的性質，矩形的性質.

分析（1）連接AC，BD，根據軸對稱的性質，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而進而求出Rt△AEM求出EH，這樣即可得出S與x的函數關系式.

（2）根據（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數關系式，由配方法求最值即可.

四、應用分段分析建立函數關系式

對于自變量的不同的取值范圍，函數有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫作分段函數.它是一個函數，而不是幾個函數.它的函數關系式的建立，就得分段分析，應用前述方法分別進行，最后歸納.

例4（2013年湖北黃岡12分）某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完，該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售數量x（千件）的關系為：y1=15x+900

（1）用x的代數式表示t為：t=▲ ；當0

（2）求每年該公司銷售這種健身產品的總利潤W（千元）與國內的銷售數量x（千件）的函數關系式，并指出x的取值范圍.

（3）該公司每年國內、國外的銷量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

考點分析二次函數的應用，由實際問題列函數關系式，二次函數的性質，分類思想的應用.

分析（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6-x.

根據平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系y2=

100（0

-5t+110（2≤t<6）

及t=6-x即可求出y2與x的函數關系：當0

（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：①0

（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可.

五、應用猜想探索建立函數關系式

當題目中“既沒有已知函數類型，又沒有已知關于變量之間的等量關系（含公式）”時，就要用猜想探究法探求函數關系式.即先得猜想函數的類型，應用待定系數法求出函數關系式，再進行探究.版權歸

猜想探究法包括：

（1）逐一驗證法：根據所學過的三類函數，逐一假設并求出其關系式，然后將其余對應值代入驗證.它是直接從假設函數關系入手，方法最基礎，說理較清楚，但步驟較繁.

（2）描點畫圖法：將已知的各組對應值分別作為點的坐標，在平面直角坐標系中，描出相應的點，觀察點的分布情況，猜想函數類型，求出其關系式，并將其余對應值代入驗證.它是從形的角度分析，較直觀，體現了數形結合思想，但要耗時畫圖.

（3）數據特征法：分析所給數據的變化特征，猜想函數類型，求出關系式，并將其余對應值代入驗證.它是單純從數的角度分析，解題較簡捷，但抽象思維能力要求較高.因此，在做題時，可根據具體問題選擇探索方法.

例5（2013年湖北武漢10分）科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節，科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環境中，經過一天后，測試出這種植物高度的增長情況（如下表）：