數(shù)學(xué)思想在“二次根式”中給力

王福政

處處留心皆學(xué)問，生活中處處有數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的“葵花寶典”.在學(xué)習(xí)“二次根式”這一章時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，是解決“二次根式”問題最給力的“靈丹炒藥”.本文通過實(shí)例著重介紹“二次根式”一章所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，希望能對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)與形結(jié)合來進(jìn)行分析、研究解決問題的一種思想方法.解決“二次根式”數(shù)形結(jié)合問題的方法一般是將“形”的直觀結(jié)合“數(shù)”的細(xì)微，有助于找到解題思路，達(dá)到事半功倍的作用.

例1已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示.

試化簡(jiǎn)：a2+b2-（a-1）2+（b-1）2+（a-b）2.

解析觀察數(shù)軸可知：a>b，0

∴a-b>0，a-1<0，b-1<0.

∴原式=|a|+|b|-|a-1|+|b-1|+|a-b|

=a-b-＼[-（a-1）＼]-（b-1）+（a-b）

=a-b+a-1-b+1+a-b

=3a-3b.

點(diǎn)評(píng)本例先由數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出a，b的符號(hào)，再確定被開方數(shù)中的底數(shù)的值的符號(hào)，最后運(yùn)用a2=|a|進(jìn)行化簡(jiǎn).

二、轉(zhuǎn)化思想

把復(fù)雜的變?yōu)楹?jiǎn)單的，把陌生的變?yōu)槭煜さ?，把未知的知識(shí)變?yōu)橐阎闹R(shí)，把此知識(shí)點(diǎn)變?yōu)楸酥R(shí)點(diǎn)，把綜合的變?yōu)閱我坏?，是?shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).

例2函數(shù)y=1x-1的自變量的取值范圍是.

解析要確定函數(shù)自變量的取值范圍，必須使x的取值范圍滿足如下兩個(gè)條件：①二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；②分式中分母不能為零.

于是有：x≥0，x-1≠0，∴x≥0且x≠1.

點(diǎn)評(píng)把確定函數(shù)自變量的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，而本例確定不等式的根據(jù)為：①二次根式中被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；②分式中分母不能為0，從而實(shí)現(xiàn)此知識(shí)點(diǎn)的有效轉(zhuǎn)化.

三、整體思想

整體思想是指從題目的整體性質(zhì)出發(fā)，著重對(duì)題目的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)題目的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的方法把所研究對(duì)象的具有共同特征的一部分（或全部）看成是一個(gè)整體，把握它們之間的聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.

例3已知：x-1x=2，求x2+1x2+14的值.

解析將已知條件兩邊同時(shí)平方得：x+1x-2=4，

∴x+1x=6，再視x+1x為一整體，并用含x+1x的代數(shù)式表示x2+1x2，

于是有：x2+1x2+14=x+1x2+12=62+12=48=43.

點(diǎn)評(píng)解本例時(shí)，先要將注意力和出發(fā)點(diǎn)放在問題整體結(jié)構(gòu)上，從而觸及問題的本質(zhì)，即把x+1[]x視為一個(gè)整體，從而避開煩鎖的計(jì)算，使問題得以簡(jiǎn)潔快速的解決.

四、換元思想

運(yùn)用數(shù)學(xué)元素的等量代換原理，把某一部分看成一個(gè)整體并用一個(gè)新字母代替來解題的方法稱為換元法.換元法的本質(zhì)是引進(jìn)一個(gè)變量，對(duì)原來給定的關(guān)系進(jìn)行分解或組合，達(dá)到把繁、難的計(jì)算簡(jiǎn)化的目的，從而溝通已知與未知，簡(jiǎn)化代數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)的目標(biāo).