一堂導數二輪復習課引發的思考

陳潛勇

【摘要】高考二輪復習是能力提高的重要階段，函數導數向來在浙江省的高考題中占據比較重要的位置.在有些導數題中，往往涉及有關如何構造函數的問題，隱蔽性強，難度大.這需要教師在二輪復習中引導學生如何去破解思維的障礙，做好分析、歸納、總結等一系列的問題，使得學生解題有法可依、有章可循.

【關鍵詞】函數；導數；函數構造

在四五月份的高考二輪復習中，發現很多利用導數研究函數的性質，解決與方程、不等式的有關綜合性問題.在前面已經復習了有關導數中的恒成立問題、存在性問題以及簡單的不等式證明問題，學生的解題能力已經有明顯提升.為了更好地提升學生的思維能力，提高導數題的綜合解題能力以及對知識探求的興趣，特安排了這樣的一堂有關導數條件下函數構造問題的二輪復習課.故這是一篇由高考二輪復習課之后整理的論文，難免認識較淺，分析不到位，不足之處請讀者諒解.

函數構造的靈感來自哪里？在高中數學里并沒有詳細介紹有關各種題的解法，也沒有經過系統的訓練，它是分散在解題過程中的，所以教師在二輪復習過程中的引導很重要.直接給出函數很容易，但要求學生學會如何去想到要構造這樣的一個函數確實很難的.問題的本質是如何觀察分析這個導數式與函數的哪些性質有關聯，哪些因素會促發我們的靈感呢？本文從導數的運算法則、初等基本函數的結構形式、基本初等函數的結構變換以及綜合性問題等四方面來詳細分析此類問題.

一、和差積商導數運算公式構造新函數

這類問題是在導數關系下根據導數式的整體結構形式特征，利用導數的四則混合運算法則構造函數，然后利用函數的基本性質特別是單調性來研究兩個數的大小、不等式的解或不等式的證明問題.

例1設函數f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）>0且g（3）=0，則不等式f（x）·g（x）<0的解集是（）.

A.（-3，0）∪（3，+∞）B.（-3，0）∪（0，3）

C.（-∞，-3）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（0，3）

分析此類題無論在一輪復習還是二輪復習中較為常見，基本功扎實的學生應該容易發現這個積的導數的結構形式.直接構造函數F（x）=f（x）·g（x），再結合函數的奇偶性和單調性，結合圖像可以得到C為正確選項.

例2（2014名校創新沖刺卷一）已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的導函數，且xf′（x）-f（x）>0在（0，+∞）內恒成立.

（1）若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范圍；

（2）設x0是f（x）的零點，m，n∈（0，x0），求證：f（m+n）f（m）+f（n）<1.

分析第（1）問直接代入利用變量分離變為a>lnx-1x2max就可以解決，得到a>12e3.

第（2）問，看此題的這個導數不等式xf′（x）-f（x）>0，直接是較難得到的.但看到這個差式，可以聯系到差的導數式，但是這個差的函數式又構造不出來，不過有關差的還有一個公式就是商的導數式里有涉及，故聯系到商的導數式，構造函數F（x）=f（x）x，求導F′（x）=xf′（x）-f（x）x2>0，很妙，出現這個結構式了，馬上會令人興奮.其實無非是幾個公式在起作用，有加號的看加乘，有減號的看減除.接下去可以得到F（x）=f（x）x在（0，+∞）上單調遞增且F（x0）=f（x0）x0=0，x∈（0，x0），F（x）<0，x∈（x0，+∞），F（x）>0，又m

f（m+n）m+n>f（m）m且f（m+n）m+n>f（n）n，化簡即可得到結論.