2013年福建數學（文）高考題22題評析

馬中明

【摘要】筆者參加了2013年福建高考數學試卷的評卷工作，負責文科第22題的批改，在評卷過程中發現了很多學生的共性問題，如基礎知識掌握不牢、知識點記憶混淆、基本運算不過關等，同時看到了一些學生在分析解決問題上的獨特視角，對我今后的教學工作很有啟發.

【關鍵詞】高考；評卷；基礎；規范；思想滲透

一、試題

（文22）已知函數f（x）=x-1+aex（a∈R，e為自然對數的底數）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；

（Ⅱ）求函數f（x）的極值；

（Ⅲ）當a=1時，若直線l：y=kx+1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值.

對本題的評價：

本題主要考查函數與導數，函數的單調性、最值、零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想.

題目的優點是第一問比較基礎，易得分，另外本題的三問之間沒有直接聯系，即使第一問錯，第二問也可以做對，即使前兩問都做錯了，也不影響第三問的解答，改卷過程中就有很多學生雖然一、二問都得0分，但是第三問依然可以得1分或2分.

題目的第一問對于學生來說還是比較容易入手，只要求導正確并能將切線平行于x軸轉化為斜率k=0就可以求出a的值，這3分比較容易得；第二問求極值表面上看比較簡單，但這6分并不易得，主要原因是要應用分類討論的思想，如果沒有對a進行分類討論而直接令導數為0，求出x=lna（這個結果要有意義，a必須大于0），再判斷出其為極小值點并求出極小值，得0分（在這一點上改的比較嚴格）；第三問的標準解答讓評卷老師覺得比較有爭議，給的兩種標準解答當然都是正確的，但是在評卷前的討論過程中，老師們提出了在我們平時教學中最常用的分離變量的方法（即把要求的參數單獨分離到等式或不等式一邊），并大致給出了解題過程，題組長（大學教師）利用中午時間將這種解法完善并給出評分標準，在后來的評卷過程中發現用標準解答中的兩種方法來解決這一問的學生微乎其微，解答正確的學生幾乎都是用的分離的方法來解決的，這讓我覺得比較困惑，按理說標準解答應該是最常規解法，大部分學生應該采用的方法，可最后大部分學生用的方法沒有出現在標準解答之中，這是否意味著這道題的出題者在這一問的設置上并沒有立足于我們中學數學的教學實際來命制試題呢？

優秀的解法：

本題第一、二問沒有創新解法，都是和標準解答相同.

第三問除了給出的兩種標準解答及后來補充進去的解答外，還有以下兩種解法：

（法一）將問題轉化為方程（k-1）x=1ex無實數解，再轉化為左右兩邊的函數圖像無交點問題，接下來結合圖像知（畫出圖形），當k-1>0時，一定有交點，當k-1=0，即k=1時，無交點，因為本題要求的是k的最大值，所以就不用考慮k<0的情況了，直接得到k的最大值為1.

（法二）將問題轉化為k=1+1xex無實數解，然后去研究g（x）=1+1xex的值域，然后確定k的取值范圍，最后得到k的最大值.

二、典型錯誤及其錯誤分析

1.第一問中的錯誤

（1）求導錯誤.正確的導函數應為f′（x）=1-aex或f′（x）=1-ae-x或f′（x）=1-aex（ex）2，非常多的學生的錯誤解答為f′（x）=1+aex，這個錯誤最典型，主要是對除法的求導法則記憶錯誤或應用錯誤或粗心大意，也有一部分學生不注意書寫規范，把導數寫成f′（x）=1-aexex2，這樣寫的雖然能得到正確結果，但因為求導錯誤，整問0分，另外需要注意的是只要求導錯誤，即使接下來寫出f′（1）=0也不得分（我問了題組長不能得分的原因，得到的回答是如果求導錯誤由這個式子得到的關于a的方程不能解出正確的a值）.

（2）切線平行于x軸，應為f′（1）=0，典型錯誤為很多學生寫成f′（1）=1.

（3）計算粗心錯誤.由f′（1）=0得到1-ae=0得到a=e，非常多學生得到a=1.

（4）題意理解不清.一些學生看到點（1，f（1）），馬上得到f（1）=1這樣的錯誤結論，雖然代入后得到的答案和正確答案相同.

2.第二問中的錯誤

（1）不分類討論.這一問中出現最多的錯誤就是不對a進行分類討論，正確的解答應該分a>0，a≤0（也可分開a=0和a<0）討論，相當多的學生在這一問中沒有分類討論，看到求極值就想到令導函數為0去求解，本題中即令f′（x）=1-aex=0得到ex=a，接下來直接得到x=lna，而這個式子中若a≤0是無意義的，在評卷的過程中許多學生沒有分類討論的思想，他們的解答過程只需在前面加上“當a>0時”便可以得4分，沒有就是0分，非常可惜.在教學過程中應該經常強調分類討論的思想，要讓學生看到參數頭腦中馬上要有是否需要對其分類討論的思想.

（2）分類討論a>0時，解f′（x）=0得到x=lna，在接下來的列表或文字表述時將增減區間顛倒，極小值寫成極大值導致錯誤，求解不等式的能力需要加強.

（3）定義域判斷錯誤.函數的定義域應為R，部分學生因為在求解的過程中出現lna對數形式，把定義域錯誤地認為是（0，+∞），這在接下來求遞增遞減區間時就會少掉（-∞，0）的部分導致失分.

（4）不認真審題.本問要求求函數的極值，一部分學生只求出了極值點，沒有求出極值，或者寫出的單調遞增遞減區間都是對的，但是沒有回答極值，導致被扣分，另外本題在回答時標準答案中要求回答出極小值，并寫出“無極大值”，最初在制定評分細則時是要求沒有寫出無極大值扣1分，后來和理科的導數題目統一，沒寫出也不扣分，但這一點應在教學中引起重視，要求學生嚴格按照規范做答.

3.第三問中的錯誤

（1）這一問中只要把直線與曲線沒有公共點轉化為方程無實數根（無實數解）便可得到1分，但是相當多的學生得到了方程，但沒有說明無實根，很可惜.

（2）在運用零點存在性定理時只說明了在區間端點處的函數值異號，沒有說明函數連續不斷被扣分，在解答題中這個條件是不能省略不寫的（這一點在平時的教學中我們好像也沒有特別強調）.

（3）得到方程說明無實數解后，雖然很顯然方程為一個超越方程，但還是非常多的學生錯誤地用判別式Δ<0來解決問題.

三、對以后教學的復習備考建議

1.注重基礎

從這道高考題的最后一題可以發現，第一問對導數的幾何意義的考查很基本，從評卷中的錯誤解答可以看出很多學生對于導數的求導公式和法則記憶錯誤或混淆，對于平行于x軸的直線的斜率為0類似這樣的基礎知識掌握不清楚，所以在高三一輪復習中應該對各個板塊中的基礎知識詳細講解，不能覺得學生在高一與高二已經學習過了就一筆帶過，不要只注重提高，基礎打牢了才能提高，而且應該經常安排滾動練習來及時回顧已復習過的知識點.

2.強調規范

評卷過程中發現很多因為答題不規范造成的不必要失分情況，比如把導函數錯誤地寫成f′（x）=1-aexex2（正確應為f′（x）=1-aex（ex）2），學生知道是ex的平方，但是沒有加括號，只能算是求導錯誤而被扣分，同時也影響到第二問的解答；還有在求極值時求出極小值后也要說明沒有極大值；再比如運用零點存在性定理時幾個條件都要一一列出.這些細節，規范的問題要在平時的教學中經常強調，在每天的作業中都要嚴格要求學生的解題規范，這樣經過長期訓練后才能在高考中達到好的效果，規范問題也是要把功夫下在平時，而不是在高考考場上再去注意，形成習慣后不需要刻意去注意也能寫出規范完美的解答.

3.正確引導

高三復習中教師應該經常在課堂中引導全體學生（差生也一樣），對于高考中的解答題，即使是最后一題的第一問甚至第二問也都考查的是比較基本、基礎的知識，更不要說倒數第二、第三題，只要基礎打牢了，后面大題的基礎分數是絕對可以拿到的，評卷中發現最后一題還是非常多的學生放空（69.8%），如果能夠在我們的高三整個復習過程中經常引導學生不要有“最后一題一定是難題，我一定不會做，所以我就連看都不看了”這種錯誤思想，讓所有學生都能保證倒數第一、二題的第一問拿到分數，那我們的平均分就會有很大的提高.

4.思想滲透

教師應該在平時的復習中，尤其是在講評試卷習題時注重高考中考查的數學思想方法的滲透，比如數形結合思想、分類討論思想、化歸與轉化思想等等，這要靠平時的點滴滲透才能扎根于學生的腦中，而不是說專門弄個講座來講這個思想那個思想，這次高中文數的最后一題的第二問只要平時有分類討論的思想，知道要對a進行分類討論，得到滿分6分并不難，但是如果平時沒有滲透訓練，不對a進行討論，這一問便一分沒有.