淺談在教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展

樸永梅

學(xué)生的智力結(jié)構(gòu)以思維能力為核心，數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程不能僅僅理解為向?qū)W生傳授知識(shí)，而應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程的教學(xué). 教師與學(xué)生的交往、互動(dòng)，師生雙方的相互交流、相互溝通、相互啟發(fā)，在這個(gè)過(guò)程中教師與學(xué)生分享彼此的思考、經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，交流彼此的情感、體驗(yàn)與觀念，豐富教學(xué)內(nèi)容，求得新的發(fā)現(xiàn)，從而達(dá)成共識(shí)、共享、共進(jìn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)和共同發(fā)展.

一、教師以鼓勵(lì)的態(tài)度關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展

教學(xué)中教師要照顧到學(xué)生的實(shí)際情況（即基礎(chǔ)），鼓勵(lì)學(xué)生自省，覺(jué)察學(xué)生的思維困難之處，幫助把新知識(shí)與已學(xué)過(guò)的知識(shí)相聯(lián)系. 根據(jù)布魯納的認(rèn)識(shí)發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識(shí)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過(guò)已知的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)“從外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲(chǔ)存，也就是說(shuō)，學(xué)生能從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識(shí)來(lái)吸納新知識(shí)，即找到新知識(shí)的“媒介點(diǎn)”，這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識(shí).

例如：不等式■ ≥ ■（定理：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)）的證明. ① 與圓的知識(shí)相聯(lián)系：以a + b長(zhǎng)的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C，使AC = a，CB = b，由Rt△ACD∽R(shí)t△DCB得到不等式. ② 與數(shù)列的知識(shí)相聯(lián)系：把■看作是正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，■看作是正數(shù)a，b的等比中項(xiàng).

華羅庚教授曾說(shuō)過(guò)：不要只給學(xué)生看做好了的飯，更要讓學(xué)生看做飯的過(guò)程. 數(shù)學(xué)教學(xué)要設(shè)法使課本知識(shí)“活”起來(lái)，課堂教學(xué)不是堆砌知識(shí)的積木，而是用一系列的思維活動(dòng)把知識(shí)貫穿起來(lái)，使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)深化發(fā)展的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 特別對(duì)學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，差錯(cuò)人皆有之，教師要讓學(xué)生充分“暴露問(wèn)題”，然后順其錯(cuò)誤認(rèn)真剖析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn)和創(chuàng)造性思維的火花，在加深理解的基礎(chǔ)上對(duì)不同的答案展開(kāi)討論，引導(dǎo)動(dòng)手操作、自主探索和合作交流，學(xué)生在這種氛圍中，接觸困惑，明確自己的思想，并且有機(jī)會(huì)分享學(xué)生的想法，在親身體驗(yàn)和探索中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，解決問(wèn)題，理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法，疏導(dǎo)思維，學(xué)生可以大膽表達(dá)自己的想法，思想顧慮消除了，思維也就可以更活躍.

二、利用圖形演示直觀發(fā)展數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“學(xué)生將探索基本圖形（直線形、圓）的基礎(chǔ)性質(zhì)及相互關(guān)系，進(jìn)一步豐富對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和感受，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗(yàn)交換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體的位置的方法，發(fā)展空間觀念. ”“推理與論證的學(xué)習(xí)主要從以下幾個(gè)方面展開(kāi)：在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)過(guò)程中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理的思考與表達(dá)；在積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與掌握了一定的圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，從幾個(gè)基本事實(shí)出發(fā)，證明一些有關(guān)三角形、四邊形的基本性質(zhì)，從而體會(huì)證明的必要性，理解證明的基本過(guò)程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想. ”注意數(shù)形結(jié)合，把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，變抽象為直觀.

例如：教學(xué)不等式這堂課，以2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案引入，本屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是公元3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖.

根據(jù)圖形特點(diǎn)和直角三角形的勾股定理，通過(guò)運(yùn)算得到基礎(chǔ)不等式a2 + b2 ≥ 2ab，以幾何畫板演示量與量之間的關(guān)系，直觀明白不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)b = a時(shí)不等號(hào)取‘=號(hào)”的意義.

蘇聯(lián)心理學(xué)家達(dá)維多夫認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力從具體導(dǎo)向抽象更為有效. 日本的杉原一昭說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是從具體到抽象的教學(xué)，這種教學(xué)不只是簡(jiǎn)單地從實(shí)物到符號(hào)，而是經(jīng)過(guò)實(shí)物—外部言語(yǔ)—內(nèi)部言語(yǔ)幾個(gè)階段的. 并且，數(shù)學(xué)的直線、圖表等也被賦予實(shí)物和符號(hào)的中間位置. 王仲春教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)思維是指人類關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決各種實(shí)際問(wèn)題的思考過(guò)程. ”例如：探究函數(shù)y = Asin（ωx + φ）的圖像中φ、ω、A對(duì)圖像的影響，以幾何畫板演示動(dòng)圖說(shuō)明三個(gè)變量變化，原有圖形是如何變化的，學(xué)生在做這方面問(wèn)題時(shí)，頭腦中就有了直觀印象，不用機(jī)械記憶它們的規(guī)律.

三、課堂教學(xué)上強(qiáng)調(diào)學(xué)生思維的整合

著名的數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾主張“教會(huì)學(xué)生思考”，將“有益的思考方式和思維習(xí)慣”放在數(shù)學(xué)教學(xué)的主要位置，教給學(xué)生死板的知識(shí)，還不如教給學(xué)生生動(dòng)活潑的思維方法. 例如：（1）收斂數(shù)列一定有界，可有界數(shù)列不一定都收斂. （2）無(wú)窮小量的極限等于零，或說(shuō)零是無(wú)窮小量，但并不等于無(wú)窮小就是零. 還要根據(jù)教學(xué)實(shí)際，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的知識(shí)加以組織整理，使知識(shí)逐步完善、系統(tǒng)化，并找出規(guī)律性的東西. 如在公式和法則的學(xué)習(xí)中，要指導(dǎo)學(xué)生注意公式的運(yùn)用范圍、公式的來(lái)龍去脈以及相關(guān)公式之間的邏輯體系，例如：三角函數(shù)的和角公式、倍角公式、半角公式、和差化積公式、積化和差公式等，構(gòu)成了一個(gè)邏輯關(guān)系緊密的公式體系，記住了和角公式，其他公式都可以由此推導(dǎo)出來(lái).

在教學(xué)中既要注意使知識(shí)在層次上不斷深化，幫助學(xué)生把新知識(shí)及時(shí)納入已有的知識(shí)體系，特別要注意數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系和聯(lián)系，逐步形成和擴(kuò)充知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，有意識(shí)地啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從不同的方向，變換思維角度進(jìn)行廣泛的探索與求解，融會(huì)貫通知識(shí)，探尋到最簡(jiǎn)、最優(yōu)的解決問(wèn)題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維容易變通. 又如，“求證：兩條平行線a，b和同一平面α所成的角相等. ”因?yàn)橹本€與平面由于位置關(guān)系的不同，所成的角有不同的定義方式，當(dāng)證明時(shí)應(yīng)按不同的位置關(guān)系分層討論，教師要明確指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思考要仔細(xì)分析，分類討論不能重復(fù)、不能遺漏，分層次、不越級(jí)討論，思維活躍的同時(shí)，避免沒(méi)有條理 .

四、正確領(lǐng)會(huì)題意引導(dǎo)合情推理發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

現(xiàn)在是“應(yīng)試教育”，不能題海戰(zhàn)術(shù)，而是每做一題理解其意思，進(jìn)而思維活躍，能從一題可以衍生出很多題，很多思維方法、思路.

思維能力在解題過(guò)程中的表現(xiàn)就是學(xué)生思維活動(dòng)的反映. 思維能力在解題過(guò)程中主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：其一是能正確領(lǐng)會(huì)題意，明確解題目標(biāo)；其二是能尋找到實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的方向和合適的解題步驟；其三是能通過(guò)合乎邏輯的推理和運(yùn)算，正確地表述解題過(guò)程. 正確地領(lǐng)會(huì)題意，明確解題目標(biāo)，是開(kāi)展思維活動(dòng)的前提.

例如：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上.

即：已知∠BAC在平面α內(nèi)，點(diǎn)P？埸α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E，F(xiàn)，O，PE = PF，求證：∠BAO = ∠CAO.

變式：經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，設(shè)它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，求證這條斜射線在平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線. 改變題型，制作變式，學(xué)生在不同的類型題中注意到在應(yīng)用三垂線時(shí)，一定要先確定出定理所必需的幾個(gè)元素：一找平面，二定垂線，三找斜線，則射影自見(jiàn)，可熟練掌握三垂線定理與逆定理，不斷深化對(duì)定理的認(rèn)識(shí).

五、日常生活中積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

20世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)應(yīng)用的巨大發(fā)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的顯著特征之一. 當(dāng)今知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代，數(shù)學(xué)正在從幕后走向臺(tái)前，數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合使得數(shù)學(xué)能夠在許多方面直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，同時(shí)，也為數(shù)學(xué)發(fā)展開(kāi)拓了廣闊的前景.

例如：以物理實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象引入，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中單擺對(duì)平衡位置的位移y與時(shí)間x的關(guān)系、交流電的電流y與時(shí)間x的關(guān)系等都是形如y = Asin（ωx + φ）的函數(shù)（其中A，ω，φ都是常數(shù)）. 圖7是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交流電的電流y隨時(shí)間x變化的圖像，將測(cè)得的圖像放大如圖8，可以看出它和正弦曲線很相似，由此引出課堂內(nèi)容.

在有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，直接應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決了一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 例如，運(yùn)用函數(shù)、數(shù)列、不等式、統(tǒng)計(jì)等知識(shí)直接解決問(wèn)題，函數(shù)可表示一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系，也可顯示人口數(shù)量的變化規(guī)律等. 也有通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，嘗試用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決問(wèn)題.

此題可綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、解析幾何等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也可以考查方程思想、分類討論思想等重要數(shù)學(xué)思想方法.

教師要不斷加強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)和提高，不斷提升自己的學(xué)科或領(lǐng)域知識(shí)、能力水平，學(xué)習(xí)加工學(xué)科或領(lǐng)域發(fā)展史上推動(dòng)學(xué)科或領(lǐng)域發(fā)展的問(wèn)題，深入理解探究教學(xué)的本質(zhì)，掌握一些教學(xué)方法和技巧，還要掌握豐富的教育學(xué)與心理學(xué)知識(shí).