小學數學課程統整：從理解到行動

摘要：在課程改革已然行進十多年的今天，作為課程實施者的教師對于課程的理解仍然是片面與狹隘的。文章從課程研究者與實施者的雙重角度，解讀了小學課程統整的現實需求、理性思考與探索實踐。從“教”的課程到“學”的課程，從“學”的課程到“研”的課程，從“研”的課程到“創”的課程，深入闡述了課程統整中三個層次的具體策略。

關鍵詞：小學數學；課程統整

中圖分類號：G622 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2014）05-0039-05

收稿日期：2013-03-12

作者簡介：王嵐，常州市武進區清英外國語學校（江蘇常州，213161）副校長，教育碩士，中學高級教師，常州市小學數學學科帶頭人，武進區名教師。

關于課程的定義，眾說紛紜，仁智各見。課程是教學的科目，課程是學習的進程，課程是有計劃的教學活動……而在一線教師的眼中，課程又是什么？從理想的課程到可能的課程，從可能的課程到現實的課程，在教、學、研中，我們收獲著個性化的理解。

一、源自一種呼聲——讓教學從問題走向研究

【現象1】三年級下冊《認識小數》第一課時。

師小結：像0.1，0.3，2.1，7.8....這樣的數都是小數。

生舉手示意：我在超市里看到過零點九十九，是不是小數呢？

另一生：小數是不是都是很小的數呢？

師：這些問題都很有價值，我們在后面的學習中一起研究。

【現象2】三年級教師期初集體備課。

師1：本冊教材共分為十個單元，分別是……

師2：從教材編排來說，各單元內容分散安排是充分考慮到學生認知發展與數學邏輯體系的。

師3：但板塊分割過多過細，也出現了一些現實問題。一個學期多達十個單元，像“認識分數”“觀察物體”這樣的單元都只有兩三課時。教學中有蜻蜓點水之感。

師3：“統計和可能性”和“觀察物體”，在不同年級多次出現，就要避免在同一個層面上無謂重復。

師4：是呀，教什么？教到怎樣的程度？對于我們這些一線教師來說是一個值得研究的課題。

為什么而教（學）？教（學）什么？怎樣教（學）？一直是教者常問常新的三個本原問題。從現象1來看，這位教師無疑已經在課堂上做出了自己的回答，不越雷池半步，不肯定不否定不追問，而以“這些內容我們在后面的學習中一起研究”作為搪塞，這樣的現象不僅在家常課中司空見慣，就是在某些名優教師的展示課中也可管中窺豹。而現象2中，教師們已然遇到或者預見到可能出現的問題，以教材為藍本的課程與以師生為主體的課程之間顯然還有很大的差距，而文本課程與現實課程之間的鴻溝，需要師生攜手逾越。

面對現實的問題，基于理性的思考，我們以課題組為研究單位，開啟了一段課程統整的研究之旅。

二、源自一種覺醒——讓教者從系統視野出發

從系統論的觀點出發，世界是眾多關系的集合體，是普遍聯系的整體。從這個意義上來說，教師需要建構關于數學內容、教學對象以及教學過程的系統視野。

（一）數學世界中的“木林森”

數學世界對于教師而言究竟是什么？是一棵蔥郁的大樹？是一片茂密的樹林？還是一望無際的森林？不同的人有不同的答案。“一葉障目”者有之，“只見樹木，不見森林”者更是比比皆是。如果我們把教師的專業知識結構按本體性知識、條件性知識和實踐性知識進行分類，那么對應的分別是學科知識、教育理論、教學經驗。教育理論積淀日益豐厚、教學經驗逐步增長的同時，決定著數學學科本質導向的學科知識卻常常被人淡忘。小學數學教師要做到“深入”與“淺出”，不僅要系統了解小學數學的知識結構，同時也要跳出小學視域對幾何學、代數學、概率論等有所了解；不僅要知道數學知識的呈現方式，還要能明了知識的核心思想、來龍去脈與教育價值。

（二）兒童視域中的“點線面”

數學課程改革的一個總方向，就是讓數學教學回歸教育的本體——兒童。數學既是學生成長的需要，又是學生成長的載體。每一個兒童的數學學習都是基于自身經驗，用自己獨特的思維方式進行意義建構的過程。從這個意義上來說，教師不僅需要關注兒童學習什么，還要關注兒童怎樣學習，以及如何促進兒童積極學習。需要教師明確兒童成長的關鍵點，明晰兒童認知的發展線，明辨兒童發展的立體面，讓數學伴隨兒童發展、陪伴兒童成長。

（三）教學空間中的“長寬高”

教學空間不應是閉塞的，而應是開放的。教學過程不應是線性的，而應是立體的。兒童學習的數學不應是數學知識的簡單匯集，而是通過對數學知識的原味解讀、數學學習的原態發生、數學思維的原質提升，構建出具有數學教學意義的立體空間。通過拉升長度（研究的時效性）、拓展寬度（學習的延展性）、提升高度（數學的思想性），構建出獨富數學特質的“長寬高”三維教學空間，使得兒童在數學學習中能夠獲得智慧的啟蒙、素養的滋潤和生長的力量。

三、源自一種行動——讓課程從實踐深處創生

（一）從“教”的課程到“學”的課程

從“教”的課程到“學”的課程的轉變，是教者中心到學習者中心的轉變，是從教材中心到學習載體的轉變。這樣的轉變，需要教者與學習者在共同商議的基礎上進行。

1.條狀重組

將教材中零散的內容縱向打通，根據其內在的邏輯結構以及學生的認知發展序列，重組兩個或兩個以上的內容點，從簡到繁，由易到難，形成一個易于使學習者學習與掌握的貫穿多個教學內容的知識結構。在進行條狀重組時，既可以跨課時進行重組，也可以跨單元進行重組，甚至可以跨學期、跨年段進行條狀重組。

條狀重組的三個原則：

（1）緊密聯系性原則。重組的兩個或兩個以上的內容點，必須在知識結構中位于同一知識鏈中。

（2）合理發展性原則。通過重組加工后的內容，對于學習者而言并沒有刻意增加難度，而是更利于學習者同化與順應，完善認知結構。

（3）差異選擇性原則。對于重組的內容，不同學習基礎的學習者有權利選擇適合自己的學習方式與學習進度。

如：整數乘法在蘇教版中是這樣編排的。二上：認識乘法、乘法口訣、表內乘法。求幾個幾是多少的實際問題，求一個數的幾倍是多少的實際問題。二下：兩位數乘一位數，乘加、乘減兩步計算的實際問題。三上：三位數乘一位數，連乘計算的兩步實際問題。三下：兩位數乘兩位數，乘法的驗算。通過條塊重組后，在前期研究一位數、兩位數、三位數乘一位數的基礎上，可引導學生自我探索，你還想計算幾位數乘一位數，舉例試一試，再說說你是怎樣想的？從而通過不同學習者的廣泛舉例，觀察比較歸納總結，得出任意多位數乘一位數的算理與算法。

2.塊狀重建

與條狀重組相對應的則是塊狀重建。將教材中零散的橫向兩個或兩個以上的內容點，按其內在的類特征組成一個整體，引導學生類比遷移，從而把握特征形成結構。塊狀重建，以思想方法統領內容體系，以思維方式統領教學體系。

塊狀重建的三個原則：

（1）熟悉化原則：可以將后續內容點（陌生的問題）轉化為先學的內容點（熟悉的問題），也即可以運用熟悉的知識、經驗和問題來解決。

（2）簡單化原則：可將后續內容點（復雜的問題）轉化為先學的內容點（簡單的問題），通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。

（3）遷移化原則。橫向的兩個或兩個以上的內容點，其本質的思想方法是類通的，在新內容的學習過程中，可以進行正遷移。

如在圖形的面積、體積計算中，運用塊狀重建進行思考：圓可以分成一些相等的扇形，再拼成一個近似的長方形，從而推導得出圓面積計算公式；直圓柱的兩底面是半徑相等的圓，因此可以把圓柱底面分成若干個相等的扇形，按底面扇形大小切開，再拼成一個近似的長方體，從而導出圓柱體體積計算公式。在圓面積與直圓柱體積的推導過程中，塊狀重建有利于通過類比遷移獲得從平面圖形研究到立體圖形探索的新跨越。

3.立體重構

無論是縱向溝通還是橫向聯系，對教材內容進行的都是精加工。當我們把視野放寬到整個年級、整個學段，甚至兒童的整個生活中去時，你會發現無論是橫向重組還是縱向重構，雖然構成了知識鏈與知識塊，但仍然受限于局部。

而立體重構，對教材內容則是進行深加工。條塊結合，立體重構，需要教學者與學習者共同將視野拓展到更寬、更大、更深處，立足于數學發生發展的脈絡、立足于學生認知發展的序列，審視、再造、創新結構鏈、結構塊到結構網，甚至是結構體。

約瑟夫·D·諾瓦克（Joseph D.Novak）于20世紀70年代，在康奈爾大學（Cornell University）發展出概念圖繪制技巧。當時，Novak教授將這種技巧應用在科學教學上，作為一種增進理解的教學技術。他認為，概念圖是用來組織和表征知識的工具。它通常將某一主題的有關概念置于圓圈或方框之中，然后用連線將相關的概念和命題連接，連線上標明兩個概念之間的意義關系。下圖就是Joseph D.Novak概念圖模型[1]。在數學教學上，借助概念圖，同樣可以幫助學生建立網絡化知識結構。一個正確的概念圖，就是學習者頭腦中數學知識結構的準確投射。概念圖能有效促進概念間的橫向與縱向聯系，通過穩定的整體性概念框架幫助學習者鞏固輸入正確輸出。在整理與復習中，教師可以引導學生自我構建內容概念圖，在舊知基礎上提出新的探索話題，真正做到溫故而知新。

（二）從“學”的課程到“研”的課程

從“學”的課程到“研”的課程的轉變，是學習者中心到研究者中心的轉變，是從學習內容到研究載體的轉變。這樣的轉變，更彰顯學習者、研究者的本體作用，更強調作為人的發展的主動性、持續性。

1.教材內容與生活現實的溝通

教材內容源于人們的現實生活世界，同時又是人類生活經驗的高度濃縮與抽象。數學中的規律、性質、概念、定義、法則等，源于生活又高于生活。溝通教材內容與生活世界，意義在于實現“形式化”思維的質性提升，從而引導學生真正“數學地”思維。在此過程中，需要引導學生用數學的眼光去觀察生活現實，發展數學問題，揭示數學概念，歸納數學規律，建構數學模型，并逐步感悟提煉出解決問題的有效策略。

如：前例中認識小數就可以借助生活現實重組內容，基于現實經驗認識小數的產生，同時基于十進分數的含義，借助價格單位及長度單位理解小數的意義。通過單位正方形到單位線段的抽象，進而過渡到數軸，引導學生將單位線段平均分成十份，一百份，一千份.....認識一位、兩位、三位小數。在此過程中，基于現實，又高于現實；基于生活，又上升為模型。

2.課程內容與學生經驗的鏈接

兒童不是空著腦袋走進課堂的，而是帶著生活中各種各樣對于數學的理解進入課堂的。在現實生活中，兒童已經收獲了很多帶有數學味兒的實踐經驗，在此過程中發展了許多非正式的數學認知。學生的數學學習并不是獨立于他們所生活的復雜社會環境中的一個體系，家庭、公園、超市都是發生數學學習的天然課堂。雖然在此過程中兒童獲得的經驗不一定是完整和科學的，但基于“街頭數學”建構“學校數學”體現的是對學生經驗的應有尊重。學校數學學習就是讓這種新舊知識之間有機連接，將學生經驗與課程內容發生有效鏈接，從而不斷完善學生的經驗系統，形成更為科學、正確、豐富的認知結構。

3.學習內容與兒童實踐的對接

兒童的學習是基于經驗的，同樣兒童在學習中也是獲得經驗的。而這種經驗在很大程度上依賴于兒童的數學學習實踐。在新課程標準從雙基走向四基的今天，我們更加關注到“基本的活動經驗”的重要性。兒童視閾中的數學不應簡單地等同于數學知識的匯集，不應被看做無可懷疑的真理的集合，而應主要被看做兒童的一種“創新性建構”。兒童的數學學習，是數學研究的“準實驗”。活動是兒童的經驗建構的重要方式。在真實的有意義的情境活動中學習數學，讓數學學習成為“真實的數學研究”，更為符合兒童心智的發展。如：《認識人民幣》中構建超市購物的實踐情境，通過顧客與營業員的角色扮演，付款購物的情境感知，賦予生活情境以數學性，讓兒童在問題解決的過程中經歷真正的“兒童的”數學學習活動。

（三）從“研”的課程到“創”的課程

從研的課程到創的課程的轉變，是課程實施者到課程創生者的轉變，是從課程內容轉換到課程體系重構的轉變。這樣的一種創生，不僅屬于敢于開拓的教師，也屬于敢于創造的每一位學習者。

1.做好課程統整的加減乘除

課程與教學究竟是什么？當很多人還在做著勻速圓周運動的時候，作為課程研究者的教師已經開始描繪屬于課程的美麗螺線。北京星河實驗小學的馬芯蘭老師，以100道典型數學問題作為主題，囊括小學數學的應知應會。而在語文界，一個星期學完一冊教材早已不再是新聞。無論是怎樣的改革路徑，在統整課程中，創生課程需要做好加減乘除。

（1）加：增加挑戰性

針對不同學習者的不同需求，根據最優化發展原則，讓每個學習者在相同的學習時間內獲得自身所能得到的最大收益。讓每一節數學課都充滿研究的意蘊，讓每一個課堂都充滿挑戰的快樂，讓每一個學習者都感受到數學學習的價值與意義。

（2）減：刪減重復性

在進行數學課程的內容統整時，常常涉及到對不同課時、不同單元、不同學期、不同年段的內容進行調整、補充與替換。因此，系統性思考必不可少。尤為重要的是，在各個年段統整的過程中，要避免炒冷飯、夾生飯現象，做到減少重復，杜絕無效。

（3）乘：遷移結構性

課程的統整，是內容的統整，是結構的統整，也是方法的統整。在此過程中，可以遷移的不僅是內容的結構、教學的結構，更是方法的結構。數學學科中的性質、規律、公式、定理等，大多可以遵循“發現問題——進行猜想——驗證猜想——獲得結論——模型運用”這樣的“數學知識再創造”過程。

（4）除：提煉思想性

授人以魚，不如授人以漁。一種答案管一下子，一種方法管一陣子，一種思想管一輩子。問題解決策略包含三個層次：即數學基本思想方法、解題方法或解題技巧以及介于這兩者之間的策略本身。在統整課程的過程中，不僅要關注過程，更要關注方法，同時引導學習者反省認知，將方法提升為策略，將策略升華為思想。

2.創新數學課程的主題單元

課程的創新，不僅體現在教學素材的選擇、教學方法的選用、教學過程的選定，更為宏觀是在融通內容、融合經驗、融會資源的基礎上進行主題單元構建，從而推進系列化的學習與系統化的研究。從主題單元的產生來源可以分為兩類，一類是結構生長式：以知識本身的生長為線索，另一類是主體探究式：以學習者的關注點為線索。

（1）結構生長式

以數學知識內容的生長為研究序列主線，從核心關鍵點出發，形成研究網絡。結構生長式課程設計既是一種課程理念，又是一種教學模式。如：在有關長方體和正方體的內容教學時，可以將長方體和正方體的認識、表面積、體積等整合為主題課程單元“走進長方體的世界”（如上圖）。在此學習過程中，師生共同構建出一個開放的挑戰性環境，指向學生自主學習能力的提升、學習型團隊的構建與自我反思意識的增強。

結構生長式主題課程的展開，重點在于從核心關鍵點處，根據內容的特點生發出新的研究點，并整理形成研究網絡圖。

（2）主體探究式

在關系思維的視域中，宇宙是其一切事物的相互聯系的整體，如果每一個人都能與這一背景建立聯系，經驗到自己與世界聯為一體，人類的生活才能完滿和富有意義。從整體教育的角度來解讀，學習被看做是有機的經驗過程，進行關聯是課程加工的核心。[2]而這需要教師能夠熟悉學生所學習的全部內容，實現學科知識的綜合或再組織。

主體探究式的課程主題單元，以主題為鏈接的中心，以兒童為研究的核心，在學生經驗范圍內共同選擇確定主題，讓學生能探索、解釋，并在此過程中獲得豐富的數學學科甚至多學科學習的體驗，其結構如下圖所示。

確定主題后，通過研究與該主題相關的概念，并輔之以多樣的活動，幫助學生體驗世界，透過經驗建構有意義的個人知識。如“春游”主題中，可以結合位置與方向感受“四面八方”的相對位置，滲透“速度、時間、路程”“單價、數量、總價”的函數關系，結合“加法”“減法”“乘法”“除法（余數根據現實需要進行處理）”的四則運算，同時綜合運用24時計時法、計量單位的認識等。在此過程中，體現自選的課程、生長的課程、合作的課程，通過內容的統整、資源的統整、目標的統整，實現經驗的統整與能力的統整。

課程研究無止境，課程統整有境界。鐘啟泉先生在《追尋課程與教學的本真意義》中寫道：“課程因被窄化為‘公共的知識和‘預設的計劃屏蔽了兒童與其生活的交往；教學因被固化為知識傳遞的特定程序與步驟泯滅了師生的探究性與創造性，學習因被矮化為機械的接受和訓練放棄了兒童應有的自主且負責任的創造性行為。”而我想說，在追尋課程與教學本真意義的路上，理想不會虛化、課程不會窄化、教學不會固化、學習不會矮化、兒童不會物化，每個人——每位教師、每位學生都在統整課程，又或者他們本身已然是課程的一部分。

參考文獻：

[1]裴新寧.概念圖及其在理科教學中的應用[J].全球教育展望，2001（8）.

[2]安桂清.整體課程論[M].上海：華東師范大學出版社，2007：11-13.

責任編輯：丁偉紅

Primary School Mathematics Integration： Understanding and Action

WANG Lan

（Wujin Qingying Foreign Languages School， Changzhou 213161， China）

Abstract： Even today with over ten years of curriculum reform， teachers， as implementors of curriculum， are partial and incomplete in understanding curriculum. This essay， from two angles of researchers and implementors， construes the realistic demand of primary school curriculum integration， rational thinking and exploration. Also， the three-level concrete strategies in the integrating of curricula are analyzed from teaching to learning， from learning to studying， and from studying to creating.

Key words： primary school mathematics； curriculum integration； understanding； action