領會數(shù)學思想 感悟解題方法 實現(xiàn)問題轉化

徐輝

【摘要】 數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識、基本技能的本質體現(xiàn).本文就解三角形中常用的數(shù)學思想：方程數(shù)學、轉化數(shù)學、分類思想以及數(shù)形結合進行歸納介紹，期望對一線教師的教學有所幫助，給中考復習備考的學生一些啟迪.

【關鍵詞】 解直角三角形；數(shù)學思想方法

一、方程思想

方程思想，是指將所研究的數(shù)學問題中已知量與未知量之間的數(shù)量關系轉化為方程（或方程組），從而解決問題. 方程思想在解直角三角形的題目中起著很大的作用，當不能利用直角三角形的邊角關系直接求解時，可通過設未知數(shù)，利用已知條件及有關性質、定理等，建立方程（或方程組）求解.

例1 如圖1，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊D的俯角為45°，又知河寬CD為50米，現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求纜繩AC的長.（結果保留根號）

解 作AB⊥CD，交CD的延長線于點B.

∵ ∠ACB = ∠CAE = 30°，∠ADB = ∠EAD = 45°，

∴ AC = 2AB，DB = AB.

設AB = x，則BD = x，AC = 2x，CB = 50 + x.

∵ tan∠ACB = ■，∴ AB = BC·tan 30°，

∴ x = ■（50 + x），解之得x = 25（1 + ■）.

∴ AC = 50（1 + ■）米.

即纜繩AC的長為50（1 + ■）米.

點評 此題首先需要進行數(shù)學模型的構造，構造出Rt△ABC和Rt△ABD，然后利用三角函數(shù)列方程求解，體現(xiàn)了“數(shù)形結合思想”和“方程思想”.

二、轉化思想

轉化思想是解數(shù)學問題的一種常見的、重要的策略方法，將未解的問題轉化成已有知識范圍內(nèi)可解的問題，從而揭示出未知與已知間的內(nèi)在聯(lián)系，將復雜問題簡單化，使問題得以解決.

1. 化解斜三角形問題為解直角三角形問題

例2 如圖2，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB = 2（單位：千米）.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.

（1）求點P到海岸線l的距離；

（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向.求點C與點B之間的距離.（上述兩小題的結果都保留根號）

答：廣告牌CD高約2.7米.

點評 此題綜合考查了仰角、坡度的定義，通過添輔助線能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵.

三、分類思想

分類討論是中學數(shù)學的重要思想，它對于訓練學生思維的條理性和深刻性有著重要的作用.在分類討論時，我們把一個數(shù)學問題的研究對象按一定的標準分為幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上就是“分而治之，各個擊破”的策略.在幾何問題中，由于圖形中點、線位置的不同，可能產(chǎn)生不同的情形或位置關系，使得所求問題有幾種不同的結果，因而解答過程必須進行分類討論.

分析 顯然在解題之前我們需要把已知的文字條件通過畫圖轉化為圖形.從條件可以看出，已知條件給出的是邊、邊、角.而這三個條件是無法確定一個三角形的，所以我們要分類討論.

解 分高CD在△ABC內(nèi)及外兩種情況計算：

如圖6，高CD在△ABC內(nèi)，

點評 本例明是求三角形的面積，實質是求AB邊上高的問題，根據(jù)解斜三角形的添線經(jīng)驗，我們可以通過作垂線，把問題進一步轉化為解直角三角形的問題.但由于AB的長不確定，因此，△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，盡管高CD的長度是定值，但是其面積隨AB長的變化而變化，所以，解答過程必須進行分類討論. 當然，解直角三角形的問題，除了應用到上述數(shù)學思想外，我們還常常會用到其他的方法.

四、數(shù)形結合

數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，用數(shù)形結合方法可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，能夠變抽象的數(shù)學語言為直觀的圖形，變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質.有一些文字解答題，單從文字上去理解解讀，學生會有一定的困難，若將文字條件轉化為圖像，結合圖像再來解答，那么問題就變得非常簡單直觀.在解直角三角形的問題中，這類問題很多.

點評 本題是最基本的解直角三角形問題，學生只需要根據(jù)條件畫出圖形，直接根據(jù)三角函數(shù)的定義便可求得.數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系與空間形式和諧地結合在一起的方法. “數(shù)”與“形”之間密不可分，它們相互轉化，相輔相成.

數(shù)學思想方法是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識化為能力的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學觀念，促成創(chuàng)新思維的關鍵.因此，我們切不能忽視數(shù)學思想與方法，在教學的各個環(huán)節(jié)中要及時滲透數(shù)學思想與方法，有效提高數(shù)學教學質量和學生的素養(yǎng).