洛爾中值定理的推廣及應用

付淑娟 李杰

摘 要：洛爾中值定理是數學分析中一個基本定理，洛爾中值定理及其推廣形式在數學分析中應用十分廣泛。本文將展示洛爾中值定理的各種推廣形式及其在數學分析中的靈活應用，并清晰指出各種推廣形式之間的蘊涵關系及發展關系。

關鍵字： 洛爾中值定理 應用

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 文章編號：1674-3520（2014）-01-0049-02

洛爾定理：若在上連續，在內可導，且，則， 使。

一、洛爾定理在無窮區間上的推廣

若在處處可導，且， 則，使

證明：（i） 若a， b均為有限值，構造函數

則在上連續，在 上可導，且則，有

（ii） 若我們試圖通過一個變換將無窮區間變換為有限區間。

設，，使 則條件變為

研究函數

二、洛爾中值定理在函數的推廣

如果給函數本身加強條件，則有洛爾定理在函數意義上的推廣，即所謂的拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒展式。

拉格朗日中值定理：若在上連續，在內可導，則存在，使得。

當時即洛爾定理。

柯西中值定理：若和在上連續，在內可導。

且則存在，使 。

當時，此定理即為拉格朗日中值定理。

泰勒展式：若在的某鄰域內有直到階的導數，且存在，則

（于與之間）稱為拉格朗日余項。

泰勒展式是拉格朗日中值定理的推廣。

應用舉例：設在上可微，<0，<0，≤。

試證：在內有相異兩個根。

證明：∵≤，在上不恒單調減小；

∵<0，在的右鄰域單調減小；

∵連續，使=。

由拉格朗日中值定理，

-==0，<<。

由此，=0，為的一個根。

又：<0，在的左鄰域單調減小，

∵連續，在上不恒單調減小，使，

由拉格朗日中值定理，

==0，<<，

∴=0，為的另一個根。

又例：設在二次可微且有界，證明：使。

證明：（i） 若≡0，則=，則，恒有點存在。

（ii）0，不失一般性，設>0，是任一點。

斷定，不可能嚴格單調。

否則，設嚴格單調，因此有>0或者<0。

由泰勒展式：

（于與之間）。

當>0 ，取>則>+，；當<0，取<

則<+，。

這兩種情況均與在上的有界性矛盾，

∴不可能嚴格單調。

∴，使=，由洛爾定理，，有。

一般情況下，洛爾定理通常用于求方程或解的存在性；拉格朗日中值定理用于證明含有函數改變量的問題及某些不等式的證明，在證明函數的二階或二階以上的導數的性質時，通常用泰勒展式。我們說，中值定理溝通了函數及其各階導數之間的關系，一般遇到用導數來研究函數性態的問題，都要想到中值定理。

三、洛爾定理推廣到多元函數情形

設點集：

定理：設→滿足以下條件

（i）在上連續， （ii）在內可微，

（iii）存在非零向量使有

·=0，（·為內積）則一點使（這里為矩陣）即

與向量組正交。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.《數學分析》（上）高等教育出版社.2003

[2]張志軍編著.《數學分析中的一些新思想與新方法》蘭州大學出版社.1997