羅爾中值定理及其應用

張笛

【摘要】微分中值定理是高等數學微分學的核心內容，本文在羅爾中值定理的基礎上，給出了羅爾中值定理在有限區間上的推廣形式，并給予了證明.此外，通過例題分析闡述了羅爾中值定理的具體應用.

【關鍵詞】羅爾中值定理；區間推廣；應用

引 言 微分中值定理是微分學的理論基礎，也是微分學的基本定理之一，更是研究函數性態的重要工具；羅爾中值定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特例，也是對二者證明和理論分析的基礎.本文給出了羅爾中值定理在有限區間上的推廣及其在解題中的應用.

一、羅爾中值定理

若函數f（x）滿足以下條件：

（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續；

（2）f（x）在開區間（a，b）內可導；

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

二、羅爾中值定理的幾何意義

在每一點都可導且端點高度相等的連續曲線y=f（x）上存在這樣的點Mξ，f（ξ），使得過M點的切線y=f′（ξ）x-ξ+f（ξ）平行于x軸（或平行于端點的連線lAB），如圖所示.

三、羅爾中值定理在有限區間（a，b）上的推廣

若函數f（x）在開區間（a，b）內可導，且在區間端點處單側極限存在，即limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A，則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0.

證明 方法一（反正法） 假設不存在點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0，即函數f′（x）在區間（a，b）內無零點，故由導函數零點定理的推論知，f′（x）在區間（a，b）上函數值恒正或恒負，即f′（x）>0或f′（x）<0，x∈（a，b），所以，f（x）在區間（a，b）上嚴格單調.顯然，這與已知條件limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A相矛盾，所以，假設不成立，即上述命題得證.

方法二 構造函數F（x）=f（x）x∈（a，b）

Ax=a，x=b，此時函數F（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，且F（a）=F（b）=A，所以，由羅爾中值定理知在（a，b）內至少存在一點ξ，使得F′（x）=f′（ξ）=0.

方法三 若f（x）是區間（a，b）上的常值函數，即f（x）=A，x∈（a，b），結論顯然成立.若f（x）不是區間（a，b）上的常值函數，則必存在一點x0∈（a，b）使得f（x0）≠A.①當f（x0）0，使得a+δf（x0），于是f（x）在區間a+δ，b-δ上有最小值，設最小值點為（ξ，f（ξ）），ξ∈a+δ，b-δ，因f（x）在開區間（a，b）內可導，所以，ξ必為函數的極小值點，故由費馬定理知f′（ξ）=0.②當f（x0）>A時，據函數極限不等式性質知，存在δ>0，使得a+δ

四、羅爾中值定理在解題中的應用

（一）證明至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）關于ξ的函數

分析 采用原函數法構造函數F（x），使得F′（x）=c（c為實常數），且F′（x）是與f（x）相關的函數.

例1 設f（x）在閉區間0，π2內可導，且fπ2=0，證明：存在一點ξ ∈0，π2，使得f（ξ）+f′（ξ）tanξ=0.

分析 把ξ換成x，即需證明f（x）+f′（x）tanx=0，由微分方程知這是一階線性可變量分離型微分方程，經恒等變形得dydx=-ycotx，易得方程的通解f（x）sinx=c，故構造函數F（x）=f（x）sinx即可.

證明 由分析知構造函數令F（x）=f（x）sinx，顯然，F（x）在區間0，π2內可導，又F（0）=Fπ2=0，所以，F（x）滿足羅爾中值定理條件，故由羅爾中值定理知存在一點ξ ∈0，π2，使得F′（ξ）=0，即上述結論成立.

例2 設f（x）在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f（0）=f（1）=0，f12=1.證明：（1）存在一點η∈12，1，使得f（η）=η.（2）對任意常數λ∈-∞，+∞，存在一點ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ[f（ξ）-ξ]=1.

分析 把ξ換成x，即需證明f′（x）=λf（x）-λx+1，由微分方程知這是一階線性非齊次型微分方程，經恒等變形得dydx=λy-λx+1，由常數變易法求得其通解（f（x）-x）e-λx=c，故構造函數F（x）=（f（x）-x）e-λx即可.

證明 （1）令g（x）=f（x）-x，又g12=f12-12=12>0，g（1）=f（1）-1=-1<0，故由連續函數零點定理知，存在η∈12，1，使得g（η）=0，即f（η）=η.

（2）由分析知構造函數令F（x）=（f（x）-x）e-λx，由題意知F（0）=F（η）=（f（η）-η）e-λη=0，所以，F（x）滿足羅爾中值定理條件，故由羅爾中值定理知，存在點ξ∈（0，η），使得F′（ξ）=0.即上述結論成立.

（二）證明在開區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（n）（ξ）=0，（n>1且n∈N）

分析 尋找點x1，x2使得[x1，x2][a，b]，對函數f（n-1）（x）在區間[x1，x2]上運用羅爾中值定理即可.

例3 設g（x）在區間[a，b]內存在二階導函數，且g（a）=g（b）=g（c），對任意c∈（a，b），證明：至少存在一點ξ∈（a，b），使得g″（ξ）=0.

證明 由題意知g（x）在區間[a，c]和[c，b]上都滿足羅爾中值定理，對g（x）在這兩個區間上分別運用羅爾中值定理，即存在點x1∈（a，c），x2∈c，b，使得g′（x1）=g′（x2）=0，由題意知g′（x）在區間[x1，x2]上也滿足羅爾中值定理，故由羅爾中值定理知，至少存在一點ξ ∈（x1，x2）（a，b），使得g″（ξ）=0.故上述命題得證.

（三）方程根的討論

例4 討論三次函數f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）的導函數f′（x）在（-∞，+∞）上零點個數，并指出零點所在區間.

解 顯然由f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）知其導函數f′（x）是（-∞，+∞）上連續可導的二次函數，由題意知f（1）=f（3）=f（5）=0，故對f（x）分別在區間[1，3]，[3，5]上運用羅爾中值定理，即存在點ξ∈（1，3），η∈（3，5）使得f′（ξ）=f′（η）=0，所以，函數f′（x）在區間（-∞，+∞）上至少有兩個零點，又因f′（x）是一元二次函數，故其有且僅有兩個零點，分別為ξ，η，其中ξ∈（1，3），η∈（3，5）.

例5 證明：方程2ln（x+1）=x在區間（0，+∞）上有唯一實根.

證明 ①先證存在性.令f（x）=x-2ln（x+1），x∈（0，+∞），由題意知limx→0+f（x）=0，f（1）=lne4<0，limx→+∞f（x）=+∞，故由連續函數零點定理知存在一點ξ，ξ∈（1，+∞）使得f（ξ）=0，即函數f（x）=x-2ln（x+1）在區間（1，+∞）上有一實根ξ.②下證唯一性（反證法）.假設函數f（x）在區間（1，+∞）內存在兩互異實根 x1，x2，不妨設x1

結束語 本文闡述了羅爾中值定理及其在有限區間上的推廣，并結合例題詳細分析了原函數法即通過建立和求解微分方程來構造函數，化抽象為直觀，加深了對羅爾中值定理的理解，有力地提高了羅爾中值定理在解題中的應用能力.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]曹顯兵，劉喜波.高等數學（微積分）輔導講義[M].北京：海豚出版社，2011.