有趣的相似曲線

桂再安

我們學(xué)過(guò)相似三角形、相似多邊形等概念，這些圖形的邊界總是直的，但某些圖形的邊界是曲線，如兩個(gè)圓，邊界是曲線，顯然它們是相似的.還有離心率相等的橢圓、雙曲線相似，任意拋物線都相似.看了文[1]、文[2]、文[3]后，筆者在初等函數(shù)圖像中也發(fā)現(xiàn)了其他的相似曲線.

將曲線對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、平移變換后，不改變曲線形狀.所以下面要討論的問(wèn)題和定義的概念都不考慮曲線對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換等因素.

一、相似曲線的概念

研讀了文[3]后，覺(jué)得可以在初等函數(shù)的前提下，給相似曲線一個(gè)簡(jiǎn)單的定義.規(guī)定文中的曲線符號(hào)為f→：f（x，y）=0.

定義 若點(diǎn)（x，y）為曲線f→1上任意一點(diǎn)，在曲線f→2上都存在與（x，y）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（ξ，η）， 使得（x，y）=σ（ξ，η），（σ>0，σ≠1），則稱曲線f→1與曲線f→2相似，σ稱為f→1到f→2的相似比，記作f→1=σf→2，且相似中心為原點(diǎn).

f→1， f→2， f→3為曲線，有下面的結(jié)論：

（1）若 f→1=σf→2，f→2=τf→3，則 f→1=（στ）f→3.

（2）若f→1=σf→2，則f→2=1σf→1.

定理1 平移一個(gè)圖形f→1到f→2，則f→1與f→2全等，記為f→1=f→2.

曲線f→1：f（x，y）=0按a→=（h，k）平移后的曲線為f→2：f（x-h，y-k）=0.所以有：

推論1 設(shè)曲線f→1：f（x，y）=0與曲線f→2：f（x-h，y-k）=0，則f→1=f→2.

定理2 曲線f→1：f（x，y）=0，f→2：f（σx+h，σy+k）=0（σ≠0，σ，h，k∈R），則f→1=σf→2.

此定理實(shí)際上給出了判定相似曲線的一個(gè)充分條件，在簡(jiǎn)單函數(shù)圖像的判斷上是很有效的，我們也可以把它作為相似曲線定義的有效補(bǔ)充.

推論2.1 曲線f→1，f→2，f→3，若f→1=σf→2，f→2=τf→3，則f→1=（στ）f→3.

推論2.2 若f→1=σf→2，則f→2=1σf→1.

定理3 若f→1=σf→2，g1=σg2，設(shè)曲線F（f→，g→）的方程為F（f（x，y），g（x，y））=0，其中F（f（x，y），g（x，y））表示對(duì)f（x，y），g（x，y）的四則運(yùn)算，則F（f→1，g1）=σF（f→2，g2）.

二、幾種相似曲線及證明

1.所有拋物線都相似.

證明 只要證明開(kāi)口向上、頂點(diǎn)為原點(diǎn)的任兩拋物線都相似即可.

設(shè) f→1：y=a1x2，f→2：y=a2x2，

則f→1：a1y=（a1x）2，f→2：a2y=（a2x）2.

設(shè)f→：f（x，y）=x2-y=0，即f→：y=x2 ，

則f→1，f→2可化為f→1：f（a1x，a1y）=0， f→2：f（a2x，a2y）=0.

由定理2知f→=a1f→1，f→=a2f→2，所以f→1=a2a1f→2.

得f→1，f→2相似，且f→1到f→2的相似比為σ=a2a1.

2.任意兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像相似，任意兩個(gè)指數(shù)函數(shù)圖像相似.

證明 只要證明底數(shù)大于1的兩對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像相似即可.

設(shè) f→1：y=loga1x，f→2：y=loga2x，（a1>1，a2>1），

f→2的方程可化為loga1（ay2）=loga1x.

設(shè) f→3：loga1（ayloga2a12）=loga1（x·loga2a1），

則由定理2得 f→2=（loga2a1）·f→3 ①.

又因 f→3方程可改寫為loga1（a2loga2（a1y））=loga1（x·loga2a1），

化簡(jiǎn)得 f→3：y=loga1x+loga1（loga2a1），

所以得 f→3=f→1 ②.

由①②得 f→2=（loga2a1）·f→1，即 f→1=（loga1a2）·f→2，

得f→1與f→2相似，且f→1到f→2的相似比為σ=loga1a2.

3.函數(shù)y=xα與函數(shù)y=k·xα，（α≠0，α≠1，k>0）的圖像相似.

設(shè)f→1：y=xα，f→2：y=k·xα，則f→1=k1α-1·f→2，f→1到f→2的相似比為σ=k1α-1.

因?yàn)閒→2可化為k1α-1·y=k1α-1·xα.

4.函數(shù)y=ax與函數(shù)y=k·ax，（a>0，a≠1，k>0）的圖像全等.

因?yàn)閥=k·ax可化為y=ax+logak.

5.函數(shù)y=logax與函數(shù)y=loga（kx），（a>0，a≠1，k>0）的圖像全等.

因?yàn)閥=loga（kx）可化為y-logak=logax.

6.函數(shù)f→1：y=logax與函數(shù)f→2：y=k·logax，（a>0，a≠1，k>0）的圖像相似.f→1到f→2的相似比為σ=1k.因?yàn)閥=k·logax與y+k·logak=k·logax圖像全等，而y+k·logak=k·logax可化為1ky=loga1kx.

【參考文獻(xiàn)】

[1]梁義富.離心率相等的圓錐曲線都相似[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（11）.

[2]余學(xué)虎.任意兩條拋物線相似[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（11）.

[3]羅永超，黃朝軍.幾類平面曲線相似的證明.凱里學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（12）.