摘要:本文從生活、文學(xué)藝術(shù)性這兩個方面談了“極限”的概念,讓人們感受到初等數(shù)學(xué)的極限之美。
關(guān)鍵詞:初等數(shù)學(xué) " 極限
“極限”理論的發(fā)展是個艱辛的歷程,“極限”本身在高等數(shù)學(xué)中也是難點之一。能夠引導(dǎo)沒有高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ),甚至是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者從其他方面去感受極限無處不在的美,無疑是一件很有意義的事情。
一、極限之生活樂趣
生活中處處蘊含著極限之美,如我們要測量一枚硬幣的直徑(默認硬幣的直徑是一個常量),但是我們每一次測量的結(jié)果都不一樣,這就叫做測量誤差。測量值不是真值,但是我們可以通過提高儀器的精確度,一步一步地接近真值。如先用米尺,然后用毫米刻度尺,再用游標卡尺,再選用精度更高的游標卡尺等,依次下去。從中,我們可以明顯感受到極限思想,即無法達到真值,但可以無限接近真值。
巧妙運用極限理念,還流傳下來很多佳話。傳說,一位老人臨終前,叮囑將41頭羊要在不能宰殺分割的基礎(chǔ)上,分別按1/2、1/3、1/7依次分給三個兒子。很明顯,41都不能被2、3、7整除。后來,一位智者借給三兄弟一頭羊,數(shù)目變?yōu)?2頭之后再分給三兄弟,恰好為21頭、14頭、6頭。然后恰好剩余一頭自己牽走。這是一件多么奇妙的事情啊!三兄弟都認為占了智者的便宜,可是智者并沒有吃虧。問題出在哪兒呢?我們都知道: " " " " " " " " " " " " " "。如果按照老人的吩咐,必定有1/42頭羊沒有分給三兄弟,所以這 " " " " 1/42頭羊有必要繼續(xù)分下去。依次類推,我們可以輕松地寫出:
老大:
老二:
老三:
學(xué)過數(shù)列極限的學(xué)生很明顯就能看出這三個數(shù)列的極限分別為21、14和6。所以說,這并不是一個巧合,而蘊含著深刻的極限思想。
二、極限之藝術(shù)內(nèi)涵
我國先秦(戰(zhàn)國)時期偉大的思想家、哲學(xué)家和文學(xué)家莊子曾寫道:“一尺之捶,日取其半,萬世不竭。”這句話的意思是說:只有一尺長的東西,每天拿走一半,是永遠也拿不完的。從哲學(xué)的觀點來看,這講的是有限和無限的統(tǒng)一,有限之中有無限,這是一種辯證的思想;從物理的觀點來看,空間是可以無限分割的;從數(shù)學(xué)的觀點來看,一個非零正數(shù)的一半可以無限趨近于零,卻永遠也不可能達到零。簡簡單單的一句話涵蓋了如此多的道理,直到今天,我們依然感嘆莊子思想的偉大,依然陶醉于極限存在而達不到的神奇之中。
詩仙李白在《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中寫道:“故人西辭黃鶴樓,煙花三月下?lián)P州。孤帆遠影碧空盡,唯見長江天際流。”這讓我們體會到這首詩中極限的藝術(shù)性。隨著時間慢慢的推移(t→∞),帆船越來也遠(s→∞),直至帆船在視線中逐漸消失(→0)。此刻,作者的離別之情隨江水翻滾、滔滔不絕(→∞)。可以說,有限、無限與極限在這首詩中被演繹得淋漓盡致,其美實在無法言說。
再如世界上現(xiàn)存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋——趙州橋,其橋面用多塊長方形的石板鋪成,最終形成了非常美的弧線。這不正蘊含了“化曲為直”的極限思想嗎?看來極限這個概念在沒有被明確提出之前,早已經(jīng)體現(xiàn)在眾多的文學(xué)藝術(shù)作品之中。
綜上所述,極限之美無處不在。雖然極限在數(shù)學(xué)上有嚴格的、令人“費解”的定義,但是它的身影卻出現(xiàn)在生活、文學(xué)藝術(shù)等方方面面。本文通過特殊視角介紹了極限的概念,使學(xué)生更好地感知和接受極限之美,以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。
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(作者單位:江西省婺源縣賦春鎮(zhèn)賦春中學(xué))