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初等數學中的極限之美

2014-04-29 00:00:00吳文娟
知識窗·教師版 2014年11期

摘要:本文從生活、文學藝術性這兩個方面談了“極限”的概念,讓人們感受到初等數學的極限之美。

關鍵詞:初等數學 " 極限

“極限”理論的發展是個艱辛的歷程,“極限”本身在高等數學中也是難點之一。能夠引導沒有高等數學基礎,甚至是初等數學學習者從其他方面去感受極限無處不在的美,無疑是一件很有意義的事情。

一、極限之生活樂趣

生活中處處蘊含著極限之美,如我們要測量一枚硬幣的直徑(默認硬幣的直徑是一個常量),但是我們每一次測量的結果都不一樣,這就叫做測量誤差。測量值不是真值,但是我們可以通過提高儀器的精確度,一步一步地接近真值。如先用米尺,然后用毫米刻度尺,再用游標卡尺,再選用精度更高的游標卡尺等,依次下去。從中,我們可以明顯感受到極限思想,即無法達到真值,但可以無限接近真值。

巧妙運用極限理念,還流傳下來很多佳話。傳說,一位老人臨終前,叮囑將41頭羊要在不能宰殺分割的基礎上,分別按1/2、1/3、1/7依次分給三個兒子。很明顯,41都不能被2、3、7整除。后來,一位智者借給三兄弟一頭羊,數目變為42頭之后再分給三兄弟,恰好為21頭、14頭、6頭。然后恰好剩余一頭自己牽走。這是一件多么奇妙的事情啊!三兄弟都認為占了智者的便宜,可是智者并沒有吃虧。問題出在哪兒呢?我們都知道: " " " " " " " " " " " " " "。如果按照老人的吩咐,必定有1/42頭羊沒有分給三兄弟,所以這 " " " " 1/42頭羊有必要繼續分下去。依次類推,我們可以輕松地寫出:

老大:

老二:

老三:

學過數列極限的學生很明顯就能看出這三個數列的極限分別為21、14和6。所以說,這并不是一個巧合,而蘊含著深刻的極限思想。

二、極限之藝術內涵

我國先秦(戰國)時期偉大的思想家、哲學家和文學家莊子曾寫道:“一尺之捶,日取其半,萬世不竭。”這句話的意思是說:只有一尺長的東西,每天拿走一半,是永遠也拿不完的。從哲學的觀點來看,這講的是有限和無限的統一,有限之中有無限,這是一種辯證的思想;從物理的觀點來看,空間是可以無限分割的;從數學的觀點來看,一個非零正數的一半可以無限趨近于零,卻永遠也不可能達到零。簡簡單單的一句話涵蓋了如此多的道理,直到今天,我們依然感嘆莊子思想的偉大,依然陶醉于極限存在而達不到的神奇之中。

詩仙李白在《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中寫道:“故人西辭黃鶴樓,煙花三月下揚州。孤帆遠影碧空盡,唯見長江天際流。”這讓我們體會到這首詩中極限的藝術性。隨著時間慢慢的推移(t→∞),帆船越來也遠(s→∞),直至帆船在視線中逐漸消失(→0)。此刻,作者的離別之情隨江水翻滾、滔滔不絕(→∞)。可以說,有限、無限與極限在這首詩中被演繹得淋漓盡致,其美實在無法言說。

再如世界上現存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋——趙州橋,其橋面用多塊長方形的石板鋪成,最終形成了非常美的弧線。這不正蘊含了“化曲為直”的極限思想嗎?看來極限這個概念在沒有被明確提出之前,早已經體現在眾多的文學藝術作品之中。

綜上所述,極限之美無處不在。雖然極限在數學上有嚴格的、令人“費解”的定義,但是它的身影卻出現在生活、文學藝術等方方面面。本文通過特殊視角介紹了極限的概念,使學生更好地感知和接受極限之美,以培養學生學習數學的熱情。

參考文獻:

[1]朱孝春.極限思想與微積分[J].中國教育與教學, 2006,(3).

[2]趙雪蓮,王詩筠.極限是微積分的核心[J].科技信息,2011,(17).

[3]羅益奎.論極限思想在微積分中的應用[J].現代企業文化,2010,(8).

(作者單位:江西省婺源縣賦春鎮賦春中學)

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