初等數學中的極限之美

摘要：本文從生活、文學藝術性這兩個方面談了“極限”的概念，讓人們感受到初等數學的極限之美。

關鍵詞：初等數學 " 極限

“極限”理論的發展是個艱辛的歷程，“極限”本身在高等數學中也是難點之一。能夠引導沒有高等數學基礎，甚至是初等數學學習者從其他方面去感受極限無處不在的美，無疑是一件很有意義的事情。

一、極限之生活樂趣

生活中處處蘊含著極限之美，如我們要測量一枚硬幣的直徑（默認硬幣的直徑是一個常量），但是我們每一次測量的結果都不一樣，這就叫做測量誤差。測量值不是真值，但是我們可以通過提高儀器的精確度，一步一步地接近真值。如先用米尺，然后用毫米刻度尺，再用游標卡尺，再選用精度更高的游標卡尺等，依次下去。從中，我們可以明顯感受到極限思想，即無法達到真值，但可以無限接近真值。

巧妙運用極限理念，還流傳下來很多佳話。傳說，一位老人臨終前，叮囑將41頭羊要在不能宰殺分割的基礎上，分別按1/2、1/3、1/7依次分給三個兒子。很明顯，41都不能被2、3、7整除。后來，一位智者借給三兄弟一頭羊，數目變為42頭之后再分給三兄弟，恰好為21頭、14頭、6頭。然后恰好剩余一頭自己牽走。這是一件多么奇妙的事情啊！三兄弟都認為占了智者的便宜，可是智者并沒有吃虧。問題出在哪兒呢？我們都知道： " " " " " " " " " " " " " "。如果按照老人的吩咐，必定有1/42頭羊沒有分給三兄弟，所以這 " " " " 1/42頭羊有必要繼續分下去。依次類推，我們可以輕松地寫出：

老大：

老二：

老三：

學過數列極限的學生很明顯就能看出這三個數列的極限分別為21、14和6。所以說，這并不是一個巧合，而蘊含著深刻的極限思想。

二、極限之藝術內涵

我國先秦（戰國）時期偉大的思想家、哲學家和文學家莊子曾寫道：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭。”這句話的意思是說：只有一尺長的東西，每天拿走一半，是永遠也拿不完的。從哲學的觀點來看，這講的是有限和無限的統一，有限之中有無限，這是一種辯證的思想;從物理的觀點來看，空間是可以無限分割的;從數學的觀點來看，一個非零正數的一半可以無限趨近于零，卻永遠也不可能達到零。簡簡單單的一句話涵蓋了如此多的道理，直到今天，我們依然感嘆莊子思想的偉大，依然陶醉于極限存在而達不到的神奇之中。

詩仙李白在《黃鶴樓送孟浩然之廣陵》中寫道：“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下揚州。孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。”這讓我們體會到這首詩中極限的藝術性。隨著時間慢慢的推移（t→∞），帆船越來也遠（s→∞），直至帆船在視線中逐漸消失（→0）。此刻，作者的離別之情隨江水翻滾、滔滔不絕（→∞）。可以說，有限、無限與極限在這首詩中被演繹得淋漓盡致，其美實在無法言說。

再如世界上現存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋——趙州橋，其橋面用多塊長方形的石板鋪成，最終形成了非常美的弧線。這不正蘊含了“化曲為直”的極限思想嗎？看來極限這個概念在沒有被明確提出之前，早已經體現在眾多的文學藝術作品之中。

綜上所述，極限之美無處不在。雖然極限在數學上有嚴格的、令人“費解”的定義，但是它的身影卻出現在生活、文學藝術等方方面面。本文通過特殊視角介紹了極限的概念，使學生更好地感知和接受極限之美，以培養學生學習數學的熱情。

參考文獻：

[1]朱孝春.極限思想與微積分[J].中國教育與教學， 2006，（3）.

[2]趙雪蓮，王詩筠.極限是微積分的核心[J].科技信息，2011，（17）.

[3]羅益奎.論極限思想在微積分中的應用[J].現代企業文化，2010，（8）.

（作者單位：江西省婺源縣賦春鎮賦春中學）