一維層狀直流電測深的反演

摘要：為進一步研究直流電測深反演的問題，解決因受各方面數據的干擾而造成反演問題的多解性，本文研究驗證了水平層狀大地模型的三層模型，用反演流程圖對阻尼最小二乘法進行了反演，通過分析得出反演模型結果對比圖，對直流電測深研究不僅具有理論指導意義，還具有實踐意義。

關鍵詞：一維層狀 直流電測深法 反演

一、直流電測深法理想條件下的一維反演

穩定電流場的電位滿足拉普拉斯方程：

在理想條件下，直流電測深反演過程的算法比較簡單。一般記某一測點下第i個極距處的視電阻率值為 yi，采集的總點數為m。X=（x1，x2…，xn）T是各層深度為hi和真電阻率為pi的參數向量，函數關系fi（x1，x2…，xn）是表示第i個極距下的理論視電阻率值。

在此理想條件下，可通過求解方程組

二、最小二乘法

最小二乘法的目標函數為：

P是模型函數的參數向量，fi（p）是模型函數的第i個采樣點上的電阻率理論值，fi是第i個采樣點的電阻率實測值，m是采樣點的個數。

模型函數fi（p）是參數P的非線性函數，由于很難求出其值，最后高斯提出了一種線性方法，得出：

再以P1作為初始參數值，進行下一次的疊代計算，直到滿足精度要求為止。上述方法被稱為最小二乘法。

三、阻尼最小二乘法

在實際電測深反演中，由于參數個數n一般都遠遠大于7，而當法方程系數陣A的階數大于7時，高斯法迭代解的穩定性較差，而且每步所求解都有很大的誤差，再加上誤差的不斷積累，致使校正結果偏離真實的解，從而使得迭代發散。

于是，馬奎特提出了一種改進方案，即阻尼最小二乘法，該方法結合了最速下降法和最小二乘法兩者的優點。其定義是具有正對角元的對稱優勢陣A是正定的，那就能使實對稱優勢陣A構成的新的陣A+αI也為正定的。其方程為：

即：（A+αI）△P=g

四、直流電測深法模型的反演結果由圖2可以看出，對正演得到的電阻率進行反演的結果與正演得到的電阻率結果非常吻合，反演效果很好。

2.正反演數據結果對比

五、結論

通過分析，筆者得出三點結論：第一，阻尼最小二乘法兼備高斯-牛頓法和最速下降法的優點，彌補了兩者的不足之處；第二，運用阻尼最小二乘法對電測深的數據處理有一定的幫助；第三，最小二乘擬合反演可以實現非線性方程的擬合，對電測深反演發展有很大的促進作用。

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※本文系國家自然科學基金（青年）項目：消除海洋可控源信號噪聲方法研究，批準號：41104074。

（作者單位：東華理工大學放射性地質與勘探技術國防重點學科實驗室）

1.三層水平地層模型的反演結果